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第四章第四章 因式分解因式分解1.1.多项式的第一项系数为负数时，多项式的第一项系数为负数时，先提先提取取“-”-”号，注意多项式的各项变号；号，注意多项式的各项变号；提公因式法应注意事项：提公因式法应注意事项：2.2.公因式的系数是多项式各项公因式的系数是多项式各项_; _; 3.3.字母取多项式各项中都含有的字母取多项式各项中都含有的_; _; 4.4.相同字母的指数取各项中最小的一个相同字母的指数取各项中最小的一个, , 即即_._.系数的最大公约数系数的最大公约数相同的字母相同的字母最低次幂最低次幂 提公因式法分解因式与单项式乘多项式有提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？什么关系？142nmn(1) (2)4232aamn(3) (4) xxx842234222xxxbabba952952 bab mnmn282 mamama126323互逆关系互逆关系下列多项式中各项的公因式是什么？下列多项式中各项的公因式是什么？232x xx23 2x xx22acabacba2x2x2()ab公因式：公因式：公因式：公因式：公因式：公因式：)(3)(2)2( ;32)1 (cbcbaxax).(2)(7)4();()() 3(nmynmxyxbyxa思考：下列各题中有公因式吗？思考：下列各题中有公因式吗？ 若有，你能指出来吗？若有，你能指出来吗？解：（解：（1 1）x x； （2 2）（）（b+cb+c）；）； （3 3）（）（x-yx-y）；（）；（4 4）（）（m-nm-n）。）。)(3)(2)2( ;32)1 (cbcbaxax).(2)(7)4();()() 3(nmynmxyxbyxa思考：提公因式时，公因式可以是多项式吗？思考：提公因式时，公因式可以是多项式吗？公因式是多项式形式，怎样运用提公因式法分解因式？公因式是多项式形式，怎样运用提公因式法分解因式？尝试把上面的式子因式分解。尝试把上面的式子因式分解。).(2)(7)4();()() 3(nmynmxyxbyxa尝试把上面的式子因式分解。尝试把上面的式子因式分解。a a（x-yx-y）+b+b（x-yx-y）= =（x-yx-y）（）（a+ba+b）。）。7x7x（m-nm-n）-2y-2y（m-nm-n）= =（m-nm-n）（）（7x-2y7x-2y）。）。整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。提公因式法步骤（分两步）提公因式法步骤（分两步） 第一步第一步: :找出公因式；找出公因式； 第二步第二步: :提取公因式提取公因式 ， 即将多项式化为两个因式的乘积。即将多项式化为两个因式的乘积。 用提公因式法分解因式时，公因式可以用提公因式法分解因式时，公因式可以是一个单项式也可以是一个多项式。是一个单项式也可以是一个多项式。例例1 1：把：把3a3a（x+yx+y）-2b-2b（x+yx+y）分解因式；）分解因式；分析：这个多项式就整体而言可分为两大项，即分析：这个多项式就整体而言可分为两大项，即3a3a（x+yx+y）与）与-2ab-2ab（x+yx+y）每项中都含有（）每项中都含有（x+yx+y）因此，可把（因此，可把（x+yx+y）作为公因式提出来。）作为公因式提出来。解：解： 3a3a（x+yx+y）-2b-2b（x+yx+y） = =（x+yx+y）.3a - 2b.3a - 2b.（x+yx+y） = =（x+yx+y）（）（3a-2b3a-2b）例例2:2:把（把（1 1）a(x-3)+2b(x-3)a(x-3)+2b(x-3) （2 2） 分解因式。分解因式。解解: :（1 1） a(x-3)+2b(x-3)a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b)=(x-3)(a+2b)2211xyxy2211xyxy=y(x+1)(1+xy+y)=y(x+1)(1+xy+y)( 2 )( 2 ) 例例3 3 把下列多项式因式分解：把下列多项式因式分解： 1y xyx xy 2y xyx yx 223a xyb yx 334a xyb yx 225a b abababxyyxy xyx xyxyyx 2xyab33a xyb xy 3xyabab abab()()a xyb xy分解下列因式分解下列因式(1) ()();a xyb yx(1) ()()a xyb yx解：()()xy ab分析：本题应用如下关系：分析：本题应用如下关系：（b-ab-a）=-=-（a-ba-b） （b-ab-a）2 2= =（a-ba-b）2 2（b-ab-a）3 3=-=-（a-ba-b）3 3 （b-ab-a）4 4= =（a-ba-b）4 4分解下列因式分解下列因式32(2)6()12()mnnm26() ()2mnmn326()12()mnmn)2()(62nmnm即：当即：当n n为正偶数时（为正偶数时（b-ab-a）n n = =（a-ba-b）n n 当当n n为正奇数时（为正奇数时（b-ab-a）n n = =- -（a-ba-b）n n例例3 3 两个只有符号不同的多项式是否有关系两个只有符号不同的多项式是否有关系, ,有如有如下判断方法下判断方法: :(1)(1)当相同字母前的符号相同时当相同字母前的符号相同时, , 则两个多项式相等则两个多项式相等. . 如如: a-b : a-b 和和 -b+a -b+a 即即 a-b = -b+a a-b = -b+a (2)(2)当相同字母前的符号均相反时当相同字母前的符号均相反时, , 则两个多项式互为相反数则两个多项式互为相反数. . 如如: a-b : a-b 和和 b-a b-a 即即 a-b = -a-b = -（a-ba-b） (1)a-b (1)a-b 与与 -a+b -a+b 互为相反数互为相反数. . (a-b) (a-b)n n = (b-a)= (b-a)n n (n(n是偶数）是偶数） (a-b) (a-b)n n = -(b-a)= -(b-a)n n (n (n是奇数）是奇数）(3) a+b(3) a+b与与b+ab+a互为相同数互为相同数, , (a+b) (a+b)n n = (b+a)= (b+a)n n (n(n是整数）是整数） （2 2）a+b a+b 与与 -a-b -a-b 互为相反数互为相反数. . (-a-b) (-a-b)n n = (a+b)= (a+b)n n (n(n是偶数）是偶数） (-a-b) (-a-b)n n = -(a+b)= -(a+b)n n (n(n是奇数）是奇数） 1. 1.在下列各式等号右边的括号前填入在下列各式等号右边的括号前填入“+”+”或或“”号，使等式成立：号，使等式成立：(1)(1) (a-b) =_(b-a); (2) (a-b) (a-b) =_(b-a); (2) (a-b)2 2 =_(b-a)=_(b-a)2 2; ;(3) (a-b)(3) (a-b)3 3 =_(b-a)=_(b-a)3 3; ;(4) (a-b)(4) (a-b)4 4 =_(b-a)=_(b-a)4 4; ;(5) (a+b)(5) (a+b)5 5 =_(b+a)=_(b+a)5 5; ;(6) (a+b)6 =_(b+a)6.+ + + + +(7) (a+b) =_(-b-a);(7) (a+b) =_(-b-a);- -(8) (a+b)(8) (a+b)2 2 =_(-a-b)=_(-a-b)2 2. .+ +2.2.把把 12b(a-b)12b(a-b)2 2 18(b-a) 18(b-a)3 3 分解因式分解因式. .解：解： 12b(a-b)12b(a-b)2 2 18(b-a) 18(b-a)3 3 =12b(a-b) =12b(a-b)2 2 + 18(a-b) + 18(a-b)3 3 =6(a-b)=6(a-b)2 2 2b+3(a-b) 2b+3(a-b) =6(a-b) =6(a-b)2 2 (2b+3a-3b) (2b+3a-3b) =6(a-b) =6(a-b)2 2(3a-b)(3a-b)试试看：分解因式试试看：分解因式(x-y)(x-y)2 2+y(y-x)+y(y-x)3.3.下列各式均用提取公因式法因式分解下列各式均用提取公因式法因式分解, , 其中正确的是其中正确的是( )( )A. 6(xA. 6(x2) 2) x(2x(2x)=(xx)=(x2)(62)(6x)x)B. xB. x3 33x3x2 2x=x(xx=x(x2 23x)3x)C. a(aC. a(ab)b)2 2ab(aab(ab)=a(ab)=a(ab)b)D. 3xD. 3xn n1 16x6xn n=3x=3xn n(x(x2)2)D D4.m4.m2 2(a(a2) 2) m(2m(2a)a)分解因式等于（）分解因式等于（）A.A. (a(a2)(m2)(m2 2m) B. m(am) B. m(a2)(m2)(m1)1)C. m(aC. m(a2)(m2)(m1) D.1) D.以上答案都不对以上答案都不对C C5.5.把下列各式分解因式把下列各式分解因式(1)8(1)8 m m2 2n+2mnn+2mn(2)12xyz-9x(2)12xyz-9x2 2y y2 2(3)p(a(3)p(a2 2 + b+ b2 2 )- q(a)- q(a2 2 + b+ b2 2 ) ) (4) (4) -x-x3 3y y3 3-x-x2 2y y2 2-xy-xy
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