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第三章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若ab0,cdbdB.acbcD.adbc解析cd-d0,01-c1-c0.又ab0,a-db-c,ad2x的解集是()A.x|x1B.x|-2x-1,且x0D.x|-2x1解析x+12x,x2+x-2x0,x(x-1)(x+2)0,x|-2x1,故选D.答案D3若x+23x-50,化简y=25-30x+9x2-(x+2)2-3的结果为()A.y=-4xB.y=2-xC.y=3x-4D.y=5-x解析x+23x-50,-2x0的解为x0的解集为()A.x|-1x2B.x|1x2C.x|-2x-1D.x|-2x0为-2x2+2x+40,可化为x2-x-20,解得-1x0,b0)在该约束条件下取到最小值25时,a2+b2的最小值为()A.5B.4C.5D.2解析约束条件x-y-10,2x-y-30满足的可行域如图中阴影部分所示.由图可知,目标函数z=ax+by(a0,b0)取最小值时,最优解为(2,1).所以2a+b=25,则b=25-2a,所以a2+b2=a2+(25-2a)2=5a2-85a+20=5a-4552+4,即当a=455,b=255时,a2+b2有最小值4.答案B8设a0,b0,且不等式1a+1b+ka+b0恒成立,则实数k的最小值等于()A.0B.4C.-4D.-2解析由1a+1b+ka+b0,得k-(a+b)2ab,而(a+b)2ab=ba+ab+24(当且仅当a=b时,等号成立),所以-(a+b)2ab-4,因此要使k-(a+b)2ab恒成立,应有k-4,即实数k的最小值等于-4.答案C9已知x0,y0,xy=8,若z=2x+y-m恒为正数,则实数m的取值范围是()A.(-,4)B.(-,4C.(-,8)D.(-,8解析z=2x+y-m恒为正数,即2x+y-m0恒成立,即m2x+y恒成立,只需m(2x+y)min即可.因为2x+y22xy=8,当且仅当2x=y,即x=2,y=4时,等号成立,所以m8.答案C10某同学解关于x的不等式x2-7ax+3a0)时,得到x的取值范围为(-2,3),如果这个区间的端点有一个是错误的,那么正确的x的取值范围应是()A.(-2,-1)B.12,3C.(1,3)D.2,3解析x的取值区间的两个端点是方程x2-7ax+3a=0的两个根,因为a0,所以正确区间的两个端点的和与积都应是正值,所以正确区间的两个端点都应是正数,所以题目中区间的左端点错误,所以3是方程x2-7ax+3a=0的一个根,把x=3代入该方程解得a=12,所以x2-7ax+3a=0为2x2-7x+3=0,解得另一个解为12.答案B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11若ab0,则1a-b与1a的大小关系为.解析ab0,1a-b-1a=a-(a-b)a(a-b)=ba(a-b)0,1a-b1a.答案1a-b1a12设mR,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|PB|的最大值是.解析由题意,可知点A为(0,0),点B为(1,3).又1m+m(-1)=0,两条动直线互相垂直.由圆的性质可知,动点P(x,y)的轨迹是圆,圆的直径为|AB|=12+32=10.|PA|PB|PA|2+|PB|22=|AB|22=5.当且仅当|PA|=|PB|=5时,等号成立.|PA|PB|的最大值是5.答案513若变量x,y满足约束条件yx,x+y4,yk,且z=2x+y的最小值为-6,则k=.解析画出可行域如图阴影部分所示:画直线l0:y=-2x,平移直线l0,当过A(k,k)时,使得z最小,由最小值为-6,可得3k=-6,解得k=-2.答案-214不等式x2-3x+2x2-2x+10的解集为.解析原不等式等价于(x-1)(x-2)(x-1)20,即x-2x-10,所以(x-1)(x-2)0,x-10,故10,b0,且ab,比较a2b+b2a与a+b的大小.解a2b+b2a-(a+b)=a2b-b+b2a-a=a2-b2b+b2-a2a=(a2-b2)1b-1a=(a2-b2)a-bab=(a-b)2(a+b)ab,又a0,b0,ab,(a-b)20,a+b0,ab0,a2b+b2a-(a+b)0,a2b+b2aa+b.17(本小题满分8分)已知集合A=x1-xx-70,B=x|(x+a)x-(a+2)0.(1)当a=4时,求AB;(2)若AB,求实数a的取值范围.解A=x1-xx-70=x|(x-1)(x-7)0=x|1x7,B=x|(x+a)x-(a+2)0=x|-axa+2.(1)当a=4时,B=x|-4x6,AB=x|1x7x|-4x6=x|1x0恒成立,原不等式等价于3x2+2x+2k(x2+x+1)恒成立,即等价于(3-k)x2+(2-k)x+2-k0恒成立,只要3-k0,(2-k)2-4(3-k)(2-k)0,解得k2.k为正整数,k取1.19(本小题满分10分)某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验,搭载若干件新产品A,B,该所要根据A,B产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排,通过调查,有关数据如下表:每件产品A每件产品B备注研制成本与搭载费用之和/万元2030计划最大投资额为300万元产品重量/千克105最大搭载重量为110千克预计收益/万元8060问:这两种产品各搭载多少件,才能使总预计收益达到最大?最大收益是多少?解设搭载A产品x件,B产品y件,预计收益z万元.则20x+30y300,10x+5y110,xN,yN,可化为2x+3y30,2x+y22,xN,yN,目标函数z=80x+60y.作出可行域,如图阴影部分所示.z=80x+60y可化为80x+60y-z=0,它是斜率为-43的一族平行直线,z60是直线在y轴上的截距.观察图形可知,当直线过点M时,z取得最大值.解方程组2x+3y=30,2x+y=22,得M(9,4).所以zmax=809+604=960.答:搭载A产品9件,B产品4件,才能使总预计收益达到最大,最大预计收益为960万元.20(本小题满分10分)由于浓酸泄漏对河流造成了污染,现决定向河中投入固体碱.1个单位的固体碱在水中逐步溶化,水中的碱浓度y与时间x的关系,可近似地表示为y=-16x+2-x+8,0x2,4-x,2x4.只有当河流中碱的浓度不低于1时,才能对污染产生有效的抑制作用.(1)如果只投放1个单位的固体碱,则能够维持有效抑制作用的时间为多少?(2)当河中的碱浓度开始下降时,即刻第二次投放1个单位的固体碱,此后,每一时刻河中的碱浓度认为是两次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和,求河中碱浓度的最大值.解(1)依题意,可得-16x+2-x+81,0x2或4-x1,2x4.整理得x2-5x+20,0x2或x3,2x4.解得5-172x2或2x3,所以5-172x3.所以,如果只投放1个单位的固体碱,则能够维持有效抑制作用的时间为3-5-172=1+172.(2)设0x1x22,则y1-y2=-16x1+2-x1+8-16x2+2-x2+8=(x1-x2)16-(x1+2)(x2+2)(x1+2)(x2+2).因为0x1x22,所以(x1+2)(x2+2)0.又x1-x20,所以(x1-x2)16-(x1+2)(x2+2)(x1+2)(x2+2)0,所以y1y2.故该函数在区间0,2上是增函数.又该函数在区间(2,4上是减函数,所以当x=2时,河中的碱浓度开始下降,此后,每一时刻河中的碱浓度N=4-x+-16x+2-2-(x-2)+8=14-2x+16x14-22x16x=14-82,当且仅当2x=16x,即x=22时,等号成立.所以河中碱浓度的最大值为14-82.
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