数学必修4典型例题

_数学必修4 基础知识与典型例题三角函数精品资料_1.与 终边相同的角的集合： _例1.已知为第三象限角， 则所_在的象限是 ( )2角第一象限角的集合：的(A) 第一或第二象限概2.角度与弧度的互换关系：_(B) 第二或第三象限念(C) 第一或第三象限3.弧长公式： _扇形面积公式： _(D) 第二或第四象限1. 三角函数定义 : 在角终边上任取一点例 2.已知角 的终边经过点P( x, y) （与原点不重合） ，cos 的值 .P( 4, 3) , 求 2 sin记 rx 2y2 ，则 sin_, cos_, tan_2. 各象限角的三角函数值符号:一全二正弦,三切四余弦例3.若是第三象限角, 且coscos, 则是 ()222三角函数sincostan的定义1. 同角三角函数基本关系 :_2. 诱导公式 :公式（一）公式（二）sin(2kx)_;sin(x) _;cos(2kx)_;cos(x)_;tan(2kx)_;tan(x)_;公式（三）公式（四）sin(x)_;sin(x)_;cos(x)_;cos(x)_;tan(x)_;tan(x)_;公式（五）公式（六）精品资料sin(3sin(3x) _:x) _:22(A) 第一象限角 (B) 第二象限角(C) 第三象限角 (D) 第四象限角例 4. 若 cos0, 且sin20,则角的终边所在象限是（）(A) 第一象限 (B) 第二象限(C) 第三象限 (D) 第四象限例 5. 化简：1sin 2 440sin(3) cos() tan(2tan(4) sin( 5)2 cos3 sin例 6. 已知点 P( cos ,sin ) 在直线2xy0 上，试求下列各三角函数式的值 :（ 1） tan(2)3sin 24cos 2._三cos( 3x)_:cos(3x)_:角22函公式（七）公式（八）数sin(x)sin(x公_:_:22)式cos(x)_;cos(x)_;223. 两角和与差公式 :sin()_;cos()_;tan()_;4. 二倍角公式：sin 2_;tan2 _;cos2_ _;降幂公式 ： sin2_cos2_注 :变形公式： sin x cos x1 sin 2 x ；2tan()(1 tantan )tantan,三角函数恒等变形的基本策略: 常值代换：特别是用“ 1”的代换， 1 sin 2cos2= tan 45角的配凑 : 用已知角表示未知角2() () 、 2() () 、2、2、()、22例 7.设(0,) , 若 sin3,则252 cos(4)（）(A) 7(B)1(C)7(D)4552例 8. sin163 sin 223 +sin 253 sin 313()(A)1(B) 1(C)3(D)32222例9. 已 知 tan， tan是 方程x233x40 两根，且，(,) ， 则等 于22( )(A)2(B)2或333(C)2(D)3或33例 10.求下列各式的值： 1 tan 751 tan 75 tan17+tan28+tan17 tan28(30) 30等降次与升次。即倍角公式升次与降幂公式降次。切化弦。例11.已知锐角,满 足辅助角公式：cos= 3,cos( + )=5 , 求 cos .a 2asin xbcos xb2 sin( x )5131. 三角函数的性质：函数ysin xycosxytan x精品资料_一个周期内的图像定义域三值域角函最小正周数期的当且仅当 x=_当且仅当 x=_图函数取最大值1；函数取最大值 1；像最值无当且仅当 x=_当且仅当 x=_和函数取最小值 -1 ；函数取最小值 -1 ；性质增区间：增区间：增区间：单调性减区间：减区间：减区间：奇偶性对称轴方程对称中心2. 函数 yA sin(x) K 的性质：函数yAsin(x)（其中 A0，0）的最大值是，最小值是，周期是，K频率是，相位是，初相是；3. 函数 yA sin(x) k ( A 0,0,0,k0) 的图象的作法：五点作图法，列表取点如下：x03222xy由函数 ysin x 的图像变换得到函数yAsin( x)k （ A0,0 , ）图像：三由函数ysin x 的图像 _ 得函数ysin x 的图像 _ 得函数角ysin(x) 的图像 _ 得函数 yA sin( x) 的图像 _ 得函数函数yAsin(x)k 的图像。由函数ysin x 的图像 _ 得函数ysin(x) 的图像 _ 得函数ysin(x) 的图像 _ 得函数 yAsin( x) 的图像 _ 得精品资料_函数 y Asin( x)k 的图像。三注： 以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象.角函数 yA sin( x) 的图像和性质以函数 ysin x 为基础 , 通过图像变换来把握 .函数图像变化为ysin x 的单调增区间如 ysinxyAsin( x ) (A0,0) 相应地，函数2 k,2 k变为2kx2k的解集是函数yAsin( x )2222的增区间 .例 12.下列函数中，最小正周期为的是（）2A ysin( 2x)B y tan(2x)C ycos(2x)D ytan(4x)3366例 13.将函数 ysin 4 x 的图象向左平移个单位，得到ysin(4x) 的图象， 则等于（）12A12B3CD312例 14.函数 y2cos( x3)( x 2) 的最小值是（）63(A) 2( B)3(C) 1(D)1例 15.若函数f ( x)sin(x) 的图象（部分）如图所示，则和 的取值是( )(A)1,(B)1,(C)1 ,(D)1 ,633262例 16.已知函数 f x1 cos2x1 sin2x sin x cosx22求 fx 的最小正周期；求 f x的单调递增区间。平面向量精品资料_1. 向量的有关概念（ 1）向量 : 既有 _又有 _的量 . 向量的 _叫向量的模 ( 也就是用来表示向量的有向线段的长度).（ 2）理解零向量、相等向量、单位向量、共线向量、相反向量的概念。r rrr注： 向量不能比较大小，向量可以自由平移, 平移前后的向量相等. 两向量 a 与 b 相等 , 记为 abrr共线向量又称为平行向量。规定: 0 与任一向量共线 . 0 与任一向量垂直。2. 向量的运算运 算图形语言符号语言OA + OB =_加法与OBOA =_减法OA + AB =_实数与向AB = a ， R量的乘积两个向量a ?b_的数量积坐标语言记 OA =( x1, y1), OB =( x1, y2)uuruuur则 OA OB=_uuuruuurOBOA=_记 a =( x, y) ，则 a =_rr记 a ( x1 , y1),b (x2, y2 )则 a b =_注： 根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质22可以简化向量的运算，例如( a b ) 2= a2 a b b ，但要注意两个向量的数量积不满足结合律，即(a ? b)ca(b ? c)3. 运算性质及重要结论：uruur, 那么对于这个平面内任一向量r平面向量基本定理: 如果 e , e是同一平面内两个不共线的向量a , 有且只有一对12ruruur实数 1,2 , 使 a1e12 e2 。ur uur其中 e1 ,e2 叫做表示这一平面内所有向量的_;ur uur平面内任一向量都可以沿两个不共线向量e1, e2 的方向分解为两个向量的和, 并且这种分解是唯一的. 这说明如ruruurruruur果 a1e2e 且 aee , 那么 _.121122向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A( x, y) ，则 OA =_当向量起点不在原点时，若A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) ，则 AB =_中点坐标公式：已知A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) ，则 AB 的中点坐标为 _三角形的重心坐标公式：ABC 三个顶点的坐标分别为A( x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) , 则ABC 的重心的坐标是 _设非零向量设非零向量a( x1 , y1 ), b( x2 , y2 ) ，则 a / brrx2 , y2 ，则 a bax1 , y1 , b_精品资料_两个向量数量积的重要性质： _ ( 求线段的长度 ); _( 求角度 ) 。r rrr r注 : _ 叫做向量b 在 a 方向上的投影。 数量积的几何意义是数量积a ? b 等于 a 的模与 b 在 a 方向上的投影的积 .uuuurrP ( x , y)= ( xx , yy ) ,若a=( x, y) ，则 a =_; 如果 P ( x , y ),则 PP21 1 12 221 2211 _, 这就是平面内两点间的距离公式.练习：1.河水的流速为 2m/s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s 的速度驶向对岸， 则小船在静水中的速度大小为 ()A 10m/sB 226m/sC 46m/sD 12m/s2.已知AM是ABC 的BC 边上的中线，若AB = a ,AC = b ，则 AM 等于（）A.1 (a -b )B.1 (b -a ) C.1 (a + b ) D.1 ( a + b )22223.rr( x,rr（）已知平面向量 a(3,1) ， b3) ，且 ab ，则 xA 3B 1C 1D 34.已知向量 a (4,2)， b ( x , 3) ，且 a b ，则 x 的值是 ()A 6B6C 9D 125.已知向量 a(3,2) ,b(1,0)rr2b 垂直，则实数的值为 ()，向量ab 与 aA.1B.1C.1D.177666.已知 a 、 b 均为单位向量 , 它们的夹角为60, 那么 |a + 3b | =（）A 7B 10C 13D 47. 已知 a =（3，4）， b =（5，12），则 a 与 b 夹角的余弦值为（）A 63B65C 13D136558.已知向量a，b满足ab，| a | ，b | ，则|2 ab |()1 |2A 0B22C 4D 89.如图，ABC 为等腰三角形，AB30，设， AC 边上的高为 BD 若用 a, b 表示，则表达式为（）ABCD10. 以 A(2 ， 5) ， B(5 ， 2) ， C(10， 7) 为顶点的三角形的形状是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C.等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形11. 已知 | a | 3,| b |5,且 ab12 ，则向量 a 在向量 b 上的投影为（）精品资料_A 12B 3C4D 55rr若向量 a (1,1)， b (2,5)12.， c (3 ， x ) ，满足条件 (8 a b ) c 30，则 x ()A 6B 5C 4D 313.若平面向量b 与向量 a (1,2) 的夹角是 180o ，且 | b |35 ，则 b( )A (3,6)B (3, 6)C (6,3)D (6,3)14.已知向量 a(1,2),b (2,3)，若向量 c 满足 (ca) / b ， c ( ab) ，则 c（）A(7,7)B( 7,7)C(7,7)D( 7,7 )9339399315若 OA =(2,8) ， OB =( 7,2)，则 1AB =_316已知向量 a 3,b (1,2)，且 ab ，则 a 的坐标是 _rr2 ，且 a 与 b 的夹角为 600rr17若 a3 , b，则 ab18在平面四边形uuur uuuruuuruuurABCD 中，若 AB DC，且| AB| BC。| ，则四 边形 ABCD 是 _ 19已知 a3, b4 ，且向量 a，b 不共线，若向量 a + k b 与向量a - k b 互相垂直， 则实数 k 的值为rr(r( 1,0) . 若 xr r20.已知向量 a(cos x,sin x), bcos x,cos x), c，则向量 a 与 c 的夹角为；当 , 9rr6x1的最大值为 时，求函数 f ( x) 2ab.21.2r8r2,rr6,r_,r_,r r已知ab8 , ab4 , 则 aba 与 b 的夹角的余弦值是 _.22.已知a3 ， b2 ， a 且 b的夹角为 60，求 a2ba 3b的值。23. 已知向量 acos A, sin A ， b2,1 ，且 ab ，求 tan A 的值；若 f x cos2xtan A sin xx R ，求 fx 的值域。（ 12 分）24.已知向量 a( cos 3 x , sin 3 x ), b( cos x ,sin x ), 且 x -, .222234（ 1）求 a ?b 及 ab ; （ 2）若 f ( x)a bab , 求 f ( x) 的最大值和最小值.精品资料