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第第9 9节函数模型及其应用节函数模型及其应用考纲展示考纲展示1.1.了解指数函数、对数函数、幂了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征函数的增长特征, ,结合具体实例体结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义长等不同函数类型增长的含义. .2.2.了解函数模型了解函数模型( (如指数函数、如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函等在社会生活中普遍使用的函数模型数模型) )的广泛应用的广泛应用. .知识梳理自测知识梳理自测考点专项突破考点专项突破易混易错辨析易混易错辨析 知识梳理自测知识梳理自测 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读教材导读】 1.1.函数模型应用常见的有哪三种情形函数模型应用常见的有哪三种情形? ?提示提示: :(1)(1)利用给定的函数模型解决实际问题利用给定的函数模型解决实际问题; ;(2)(2)建立确定性函数模型解决实际问题建立确定性函数模型解决实际问题; ;(3)(3)建立拟合函数模型解决实际问题建立拟合函数模型解决实际问题. .2.2.应用函数模型解决实际问题的一般步骤有哪些应用函数模型解决实际问题的一般步骤有哪些? ?提示提示: :(1)(1)审题审题;(2);(2)建模建模;(3);(3)求模求模;(4);(4)还原还原. .知识梳理知识梳理 1.1.三种函数模型性质比较三种函数模型性质比较y=ay=ax x(a1)(a1)y=logy=loga ax(a1)x(a1)y=xy=xn n(n0)(n0)在在(0,+)(0,+)上的单调性上的单调性单调单调 函数函数单调单调 函数函数单调单调 函数函数增长速度增长速度越来越越来越 . .越来越越来越 . .相对平稳相对平稳图象的图象的变化变化随随x x值增大值增大, ,图象图象与与y y轴接近平行轴接近平行随随x x值增大值增大, ,图象与图象与x x轴接轴接近平行近平行随随 n n 值 变 化 而值 变 化 而 不同不同递增递增递增递增递增递增快快慢慢2.2.几种常见的函数模型几种常见的函数模型函数模型函数模型函数解析式函数解析式一次函数模型一次函数模型f(xf(x)=)= ( (a,ba,b为常数为常数,a0),a0)反比例函数模型反比例函数模型f(xf(x)= )= (k0)(k0)二次函数模型二次函数模型f(xf(x)=)= ( (a,b,ca,b,c为常数为常数,a0),a0)指数型函数模型指数型函数模型f(xf(x)=)=babax x+c(a,b,c+c(a,b,c为常数为常数,a0,a0且且a1,b0)a1,b0)对数型函数模型对数型函数模型f(xf(x)=)=blogbloga ax+c(a,b,cx+c(a,b,c为常数为常数,a0,a0且且a1,b0)a1,b0)幂函数模型幂函数模型f(xf(x)=)=axaxn n+b(a,b,n+b(a,b,n为常数为常数,a0,n0),a0,n0)“对勾对勾”函数模型函数模型y=x+ (a0)y=x+ (a0)ax+bax+baxax2 2+bx+c+bx+ckxax3.3.解函数应用问题的步骤解函数应用问题的步骤(1)(1)审题审题: :弄清题意弄清题意, ,分清条件和结论分清条件和结论, ,理顺数量关系理顺数量关系, ,初步选择数学模型初步选择数学模型; ;(2)(2)建模建模: :将自然语言转化为数学语言将自然语言转化为数学语言, ,将文字语言转化为符号语言将文字语言转化为符号语言, ,利用数学利用数学知识知识, ,建立相应的数学模型建立相应的数学模型; ;(3)(3)解模解模: :求解数学模型求解数学模型, ,得出数学结论得出数学结论; ;(4)(4)还原还原: :将数学问题还原为实际问题的意义将数学问题还原为实际问题的意义. .以上过程用框图表示如下以上过程用框图表示如下: :【重要结论重要结论】 1.1.在区间在区间(0,+)(0,+)上上, ,尽管函数尽管函数y=y=a ax x(a(a1),y=1),y=logloga ax(ax(a1)1)和和y=y=x xn n(n(n0)0)都是增函都是增函数数, ,但它们的增长速度不同但它们的增长速度不同, ,而且不在同一个而且不在同一个“档次档次”上上. .2.2.随着随着x x的增大的增大,y=,y=a ax x(a(a1)1)的增长速度越来越快的增长速度越来越快, ,会超过并远远大于会超过并远远大于y=y=x xn n(n(n0)0)的增长速度的增长速度, ,而而y=y=logloga ax(ax(a1)1)的增长速度则会越来越慢的增长速度则会越来越慢. .3.3.总会存在一个总会存在一个x x0 0, ,使得当使得当xxxx0 0时时, ,有有logloga axxx xn naax x. .双基自测双基自测 1.(1.(20172017菏泽一中月考菏泽一中月考) )某种商品进价为某种商品进价为4 4元元/ /件件, ,当日均零售价为当日均零售价为6 6元元/ /件件, ,日日均销售均销售100100件件, ,当单价每增加当单价每增加1 1元元, ,日均销量减少日均销量减少1010件件, ,试计算该商品在销售过试计算该商品在销售过程中程中, ,若每天固定成本为若每天固定成本为2020元元, ,则预计单价为多少时则预计单价为多少时, ,利润最大利润最大( ( ) )(A)8(A)8元元/ /件件(B)10(B)10元元/ /件件(C)12(C)12元元/ /件件 (D)14(D)14元元/ /件件B B解析解析: :设单价为设单价为(6+x)(6+x)元元, ,日均销售量为日均销售量为(100-10 x)(100-10 x)件件, ,则日利润则日利润y=(6+x-4)(100-10 x)-20=-10 xy=(6+x-4)(100-10 x)-20=-10 x2 2+80 x+180=-10(x-4)+80 x+180=-10(x-4)2 2+340(0 x10).+340(0 x2),BC=2,AB=a(a2),BC=2,且且AE=AH=AE=AH=CF=CG,CF=CG,设设AE=x,AE=x,绿地面积为绿地面积为y.y.(1)(1)写出写出y y关于关于x x的函数关系式的函数关系式, ,并指出这个函数的定义域并指出这个函数的定义域; ;(2)(2)当当AEAE为何值时为何值时, ,绿地面积最大绿地面积最大? ?考点二考点二 指、对数函数模型指、对数函数模型【例例2 2】 某化工厂每一天中污水污染指数某化工厂每一天中污水污染指数f(x)f(x)与时刻与时刻x(x(时时) )的函数关系为的函数关系为f(x)=|logf(x)=|log2525(x+1)-a|+2a+1,x0,24,(x+1)-a|+2a+1,x0,24,其中其中a a为污水治理调节参数为污水治理调节参数, ,且且a(0,1).a(0,1).(1)(1)若若a= ,a= ,求一天中污水污染指数最低的时刻求一天中污水污染指数最低的时刻; ;12(2)(2)规定每天中规定每天中f(x)f(x)的最大值作为当天的污水污染指数的最大值作为当天的污水污染指数, ,要使该厂每天的污水要使该厂每天的污水污染指数不超过污染指数不超过3,3,则调节参数则调节参数a a应控制在什么范围内应控制在什么范围内? ?反思归纳反思归纳 一般地一般地, ,涉及增长率问题、利息问题、细胞分裂问题等涉及增长率问题、利息问题、细胞分裂问题等, ,都可以都可以考虑用指数函数模型求解考虑用指数函数模型求解. .求解时注意指数式与对数式的互化求解时注意指数式与对数式的互化, ,指数函数的值指数函数的值域的影响以及实际问题中的条件限制域的影响以及实际问题中的条件限制. .跟踪训练跟踪训练2:2:( (20172017河北邢台质检河北邢台质检) )某食品的保鲜时间某食品的保鲜时间y(y(单位单位: :小时小时) )与储藏温度与储藏温度x(x(单位单位:):)满足函数关系满足函数关系y=y=e ekx+bkx+b (e=2.718 (e=2.718为自然对数的底数为自然对数的底数,k,b,k,b为常数为常数).).若该食品在若该食品在0 0 的保鲜时间是的保鲜时间是192192小时小时, ,在在22 22 的保鲜时间是的保鲜时间是4848小时小时, ,则该食则该食品在品在33 33 的保鲜时间是的保鲜时间是小时小时. . 答案答案: :2424考点三考点三 函数模型的选择函数模型的选择【例例3 3】 ( (20182018辽宁沈阳模拟辽宁沈阳模拟) )某种特色水果每年的上市时间从某种特色水果每年的上市时间从4 4月月1 1号开始仅号开始仅能持续能持续5 5个月的时间个月的时间. .上市初期价格呈现上涨态势上市初期价格呈现上涨态势, ,中期价格开始下降中期价格开始下降, ,后期价后期价格在原有价格基础之上继续下跌格在原有价格基础之上继续下跌. .现有三种价格变化的模拟函数可供选择现有三种价格变化的模拟函数可供选择: :f(x)=pf(x)=pq qx x; ;f(x)=pxf(x)=px2 2+qx+7;+qx+7;f(x)=logf(x)=logq q(x+p).(x+p).其中其中p,qp,q均为常数且均为常数且q1.q1.( (注注:x:x表示上市时间表示上市时间,f(x),f(x)表示价格表示价格, ,记记x=0 x=0表示表示4 4月月1 1号号,x=1,x=1表示表示5 5月月1 1号号,以以此类推此类推x0,5)x0,5)(1)(1)在上述三个价格模拟函数中在上述三个价格模拟函数中, ,哪一个更能体现该种水果的价格变化态势哪一个更能体现该种水果的价格变化态势, ,请请你选择你选择, ,并简要说明理由并简要说明理由; ;解解: :(1)(1)根据题意根据题意, ,该种水果价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减该种水果价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减, ,基本符合开口向下的二次函数变化趋势基本符合开口向下的二次函数变化趋势, ,故应该选择故应该选择f(x)=pxf(x)=px2 2+qx+7.+qx+7.反思归纳反思归纳 根据实际问题选择函数模型时应注意以下几点根据实际问题选择函数模型时应注意以下几点: :(1)(1)若能够根据实际问题作出满足题意的函数图象若能够根据实际问题作出满足题意的函数图象, ,可结合图象特征选择可结合图象特征选择. .(2)(2)当研究的问题呈现先增长后减少的特点时当研究的问题呈现先增长后减少的特点时, ,可以选用二次函数模型可以选用二次函数模型y=axy=ax2 2+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c均为常数均为常数,a0);,a0).,a0).(3)(3)对数函数对数函数( (底数大于底数大于1 1时时) )增长越来越慢增长越来越慢, ,而指数函数而指数函数( (底数大于底数大于1 1时时) )增长增长越来越快越来越快. .跟踪训练跟踪训练3:3:( (20172017湖南衡阳质检湖南衡阳质检) )今有一组数据如下今有一组数据如下: :在以下四个模拟函数中在以下四个模拟函数中, ,最合适这组数据的函数是最合适这组数据的函数是( () )t t1.991.993.03.04.04.05.15.16.126.12v v1.51.54.044.047.57.5121218.0118.01备选例题备选例题 (2)(2)试计算污染物减少到最初的试计算污染物减少到最初的10%10%至少需要多少时间至少需要多少时间?(?(精确到精确到1 1小时小时) )参考参考数据数据:ln 31.10,ln 51.61,ln 102.30.:ln 31.10,ln 51.61,ln 102.30.【例【例2 2】 ( (20172017山东寿光现代中学月考山东寿光现代中学月考) )在创城活动中在创城活动中, ,济南市园林公司设济南市园林公司设计如图所示的环状绿化景观带计如图所示的环状绿化景观带. .已知该景观带的内圈由两条平行线段已知该景观带的内圈由两条平行线段( (图中的图中的AB,CD)AB,CD)和两个半圆构成和两个半圆构成, ,设计设计要求要求ABAB长为长为x(x80).x(x80).(1)(1)若内圈周长为若内圈周长为400 m,400 m,则则x x取何值时取何值时, ,矩形矩形ABCDABCD的面积最大的面积最大? ? 易混易错辨析易混易错辨析 用心练就一双慧眼用心练就一双慧眼(2)(2)当促销费用投入多少万元时当促销费用投入多少万元时, ,该公司的利润最大该公司的利润最大? ?易错分析易错分析: :(2)(2)使用基本不等式时使用基本不等式时, ,一定要注意取等号的条件与函数定义域一定要注意取等号的条件与函数定义域的关系的关系. .
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