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第三篇第三篇 导数及其应用选导数及其应用选( (修修2-2)2-2)第第1 1节导数的概念与计算节导数的概念与计算知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破经典考题研析经典考题研析 知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读教材导读】 曲线曲线y=y=f(xf(x)“)“在点在点P(xP(x0 0,y,y0 0) )处的切线处的切线”与与“过点过点P(xP(x0 0,y,y0 0) )的切线的切线”有有何不同何不同? ?提示提示: :(1)(1)曲线曲线y=y=f(xf(x) )在点在点P(xP(x0 0,y,y0 0) )处的切线是指处的切线是指P P为切点为切点, ,切线斜率为切线斜率为k=f(xk=f(x0 0) )的切线的切线, ,是唯一的一条切线是唯一的一条切线. .(2)(2)曲线曲线y=y=f(xf(x) )过点过点P(xP(x0 0,y,y0 0) )的切线的切线, ,是指切线经过是指切线经过P P点点. .点点P P可以是切点可以是切点, ,也可以不是切点也可以不是切点, ,而且这样的直线可能有多条而且这样的直线可能有多条. .知识梳理知识梳理 平均平均 (2)(2)几何意义几何意义: :函数函数y=y=f(xf(x) )图象上两点图象上两点(x(x1 1,f(x,f(x1 1),(x),(x2 2,f(x,f(x2 2)连线的连线的 . .(3)(3)物理意义物理意义: :函数函数y=y=f(xf(x) )表示变速运动的质点的运动方程表示变速运动的质点的运动方程, ,就是该质点在就是该质点在xx1 1,x,x2 2 上的上的 速度速度. .斜率斜率平均平均 几何意义几何意义函数函数f(xf(x) )在在x=xx=x0 0处的导数处的导数f(xf(x0 0) )的几何意义是在曲线的几何意义是在曲线y=y=f(xf(x) )上点上点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)处的处的 ( (瞬时速度就是位移函数瞬时速度就是位移函数s(ts(t) )对时间对时间t t的导数的导数).).相应地相应地, ,切线方程为切线方程为 . .切线的斜率切线的斜率y-f(xy-f(x0 0)=f(x)=f(x0 0)(x-x)(x-x0 0) ) xx-1-1 coscos x x-sin x-sin xa ax xlnln a a e ex x 4.4.导数的运算法则和复合函数的导数导数的运算法则和复合函数的导数(1)(1)导数的运算法则导数的运算法则 f(x)f(x)g(xg(x)=)= ; ; f(x)g(xf(x)g(x)=)= ; ;(2)(2)复合函数的导数复合函数的导数复合函数复合函数y=y=f(ax+bf(ax+b) )的求导法则为的求导法则为 f(ax+bf(ax+b)=)=af(ax+baf(ax+b).).f(x)f(x)g(xg(x) )f(x)g(x)+f(x)g(xf(x)g(x)+f(x)g(x) )【重要结论重要结论】 1.f(x1.f(x0 0) )与与x x0 0的值有关的值有关, ,不同的不同的x x0 0, ,其导数值一般也不同其导数值一般也不同. .2.f(x2.f(x0 0) )不一定为不一定为0,0,但但f(xf(x0 0)一定为一定为0.0.3.3.奇函数的导数是偶函数奇函数的导数是偶函数, ,偶函数的导数是奇函数偶函数的导数是奇函数, ,周期函数的导数还是周期函数的导数还是周期函数周期函数. .夯基自测夯基自测C C C C 2.(20162.(2016孝感模拟孝感模拟) )曲线曲线y=sin x+ey=sin x+ex x在点在点(0,1)(0,1)处的切线方程是处的切线方程是( ( ) )(A)x-3y+3=0(A)x-3y+3=0(B)x-2y+2=0(B)x-2y+2=0(C)2x-y+1=0(C)2x-y+1=0(D)3x-y+1=0(D)3x-y+1=0解析解析: :求导求导y=cos x+ey=cos x+ex x, ,则曲线则曲线y=sin x+ey=sin x+ex x在点在点(0,1)(0,1)处的切线的斜率处的切线的斜率k=cos 0+ek=cos 0+e0 0=2,=2,由点斜式可得由点斜式可得y-1=2(x-0),y-1=2(x-0),即切线方程为即切线方程为2x-y+1=0.2x-y+1=0.D D 答案答案: :e e4.(20164.(2016房山模拟房山模拟) )设设f(x)=xln x,f(x)=xln x,若若f(xf(x0 0)=2,)=2,则则x x0 0= =.解析解析: :f(x)=xln x,f(x)=xln x,所以所以f(x)=ln x+1,f(x)=ln x+1,因为因为f(xf(x0 0)=2,)=2,所以所以x x0 0=e.=e.答案答案: :考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 导数的概念导数的概念【例例1 1】 用定义法求函数用定义法求函数f(x)=xf(x)=x2 2-2x-1-2x-1在在x=1x=1处的导数处的导数. .反思归纳反思归纳 (1)(1)求函数求函数f(x)f(x)的导数的步骤的导数的步骤求函数值的增量求函数值的增量y=f(xy=f(x2 2)-f(x)-f(x1 1););(2)(2)利用定义法求解利用定义法求解f(a),f(a),可以先求出函数的导数可以先求出函数的导数f(x),f(x),然后令然后令x=ax=a即即可求解可求解, ,也可直接利用定义求解也可直接利用定义求解. .考点二考点二导数的计算导数的计算(3)y=(x(3)y=(x2 2+2x-1)e+2x-1)e2-x2-x+(x+(x2 2+2x-1)(e+2x-1)(e2-x2-x)=(2x+2)e=(2x+2)e2-x2-x+(x+(x2 2+2x-1)+2x-1)(-e(-e2-x2-x) )=(3-x=(3-x2 2)e)e2-x2-x. .反思归纳反思归纳 (1)(1)求导之前求导之前, ,应利用代数、三角恒等变形对函数进行应利用代数、三角恒等变形对函数进行化简化简, ,然后求导然后求导, ,这样可以减少运算量这样可以减少运算量, ,提高运算速度提高运算速度, ,减少差错减少差错; ;(2)(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式有的函数虽然表面形式为函数的商的形式, ,但在求导前利用代数但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简或三角恒等变形将函数先化简, ,然后进行求导然后进行求导, ,有时可以避免使用商有时可以避免使用商的求导法则的求导法则, ,减少运算量减少运算量; ;(3)(3)复合函数的求导复合函数的求导, ,要正确分析函数的复合层次要正确分析函数的复合层次, ,通过设中间变量通过设中间变量, ,确定复合过程确定复合过程, ,然后求导然后求导. .导数的几何意义及其应用导数的几何意义及其应用( (高频考点高频考点) )考点三考点三 考查角度考查角度1 1: :求切线方程求切线方程. .高考扫描高考扫描: :20102010高考新课标全国卷高考新课标全国卷,2012,2012高考新课标全国卷高考新课标全国卷【例例3 3】 曲线曲线y=x(3ln x+1)y=x(3ln x+1)在点在点(1,1)(1,1)处的切线方程为处的切线方程为.解析解析: :由由y=x(3ln x+1)y=x(3ln x+1)得得y=3ln x+4,y=3ln x+4,则所求切线斜率为则所求切线斜率为4,4,则所求切线方程为则所求切线方程为y=4x-3.y=4x-3.答案答案: :y=4x-3y=4x-3反思归纳反思归纳 已知切点求切线方程已知切点求切线方程, ,解决此类问题的步骤为解决此类问题的步骤为(1)(1)求出函数求出函数y=f(x)y=f(x)在点在点x=xx=x0 0处的导数处的导数, ,即曲线即曲线y=f(x)y=f(x)在点在点P(xP(x0 0,f(x,f(x0 0)处切线的斜率处切线的斜率; ;(2)(2)由点斜式求得切线方程为由点斜式求得切线方程为y-yy-y0 0=f(x=f(x0 0) )(x-x(x-x0 0).).答案答案: :(e,e)(e,e)考查角度考查角度2:2:求切点坐标求切点坐标. .【例例4 4】 (2014 (2014高考江西卷高考江西卷) )若曲线若曲线y=xln xy=xln x上点上点P P处的切线平行于直线处的切线平行于直线2x-y+1=0,2x-y+1=0,则点则点P P的坐标是的坐标是.反思归纳反思归纳 已知斜率已知斜率k,k,求切点求切点(x(x1 1,f(x,f(x1 1),),即解方程即解方程f(xf(x1 1)=k.)=k.考查角度考查角度3 3: :求参数的取值求参数的取值( (范围范围).).高考扫描高考扫描: :20152015高考新课标全国卷高考新课标全国卷,2015,2015高考新课标全国卷高考新课标全国卷【例例5 5】 (2015 (2015高考新课标全国卷高考新课标全国卷)已知函数已知函数f(x)=axf(x)=ax3 3+x+1+x+1的图象在点的图象在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线过点处的切线过点(2,7),(2,7),则则a=a=.解析解析: :因为因为f(x)=axf(x)=ax3 3+x+1,+x+1,所以所以f(x)=3axf(x)=3ax2 2+1,+1,所以所以f(x)f(x)在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线斜率为处的切线斜率为k=3a+1,k=3a+1,又又f(1)=a+2,f(1)=a+2,所以切线方程为所以切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),y-(a+2)=(3a+1)(x-1),因为点因为点(2,7)(2,7)在切线上在切线上, ,所以所以7-(a+2)=3a+1,7-(a+2)=3a+1,解得解得a=1.a=1.答案答案: :1 1反思归纳反思归纳 求参数的取值求参数的取值( (范围范围),),利用导数的几何意义利用导数的几何意义, ,建立关于建立关于参数的方程参数的方程( (不等式不等式) )求解求解. .备选例题备选例题 【例例1 1】 f(xf(x)=x(2 015+ln x),)=x(2 015+ln x),若若f(xf(x0 0)=2 016,)=2 016,则则x x0 0等于等于( () )(A)e(A)e2 2(B)1(B)1( (C)lnC)ln 2 2 ( (D)eD)e解析解析: :f(x)=2 015+ln x+1=2 016+ln x,f(x)=2 015+ln x+1=2 016+ln x,故由故由f(xf(x0 0)=2 016)=2 016得得2 016+ln x2 016+ln x0 0=2 016,=2 016,则则ln xln x0 0=0,=0,解得解得x x0 0=1.=1.故选故选B.B.解析解析: :f(x)=(x-af(x)=(x-a1 1)(x-a)(x-a2 2) )(x-a(x-a8 8)+x(x-a)+x(x-a2 2) )(x-a(x-a8 8)+)+x(x-a+x(x-a1 1) )(x-a(x-a7 7),),所以所以f(0)=af(0)=a1 1a a2 2a a8 8=(a=(a1 1a a8 8) )4 4=2=21212. .故选故选C.C.解解: :(1)(1)因为因为y=xy=x2 2, ,所以曲线在点所以曲线在点P(2,4)P(2,4)处的切线的斜率处的切线的斜率k=y|k=y|x=2x=2=4.=4.所以曲线在点所以曲线在点P(2,4)P(2,4)处的切线方程为处的切线方程为y-4=4(x-2),y-4=4(x-2),即即4x-y-4=0.4x-y-4=0.(2)(2)求曲线过点求曲线过点P(2,4)P(2,4)的切线方程的切线方程. .经典考题研析经典考题研析 在经典中学习方法在经典中学习方法导数几何意义的应用导数几何意义的应用【典例典例】(2015(2015高考新课标全国卷高考新课标全国卷)已知曲线已知曲线y=x+lnxy=x+lnx在点在点(1,1)(1,1)处的切线处的切线与曲线与曲线y=axy=ax2 2+(a+2)x+1+(a+2)x+1相切相切, ,则则a=a=.审题指导审题指导关键点关键点所获信息所获信息曲线曲线y=x+ln xy=x+ln x在点在点(1,1)(1,1)的切线的切线切线斜率为切线斜率为y|y|x=1x=1切线与曲线切线与曲线y=axy=ax2 2+(a+2)x+1+(a+2)x+1相切相切切线为曲线切线为曲线y=axy=ax2 2+(a+2)x+1+(a+2)x+1过点过点(1,1)(1,1)的切线的切线解题突破解题突破: :可以将切线方程与曲线方程可以将切线方程与曲线方程y=axy=ax2 2+(a+2)x+1+(a+2)x+1联立联立, ,利用利用判别式判别式=0=0求求a a的值的值; ;还可以先求出曲线还可以先求出曲线y=axy=ax2 2+(a+2)x+1+(a+2)x+1上的切点上的切点坐标坐标, ,再求再求a a的值的值答案答案: :8 8命题意图命题意图: :本题主要考查利用导数求曲线的切线本题主要考查利用导数求曲线的切线, ,直线与抛物线的位置关直线与抛物线的位置关系的问题系的问题, ,意在考查考生的运算求解能力意在考查考生的运算求解能力, ,对数形结合思想与分类讨论思对数形结合思想与分类讨论思想的应用也有较高要求想的应用也有较高要求. .
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