[高三理化生]第七讲 机械振动

第七讲 机械振动【知识要点】一、简谐运动1物体（或物体的一部分）在某个位置附近沿着直线或圆弧做往复运动，叫做机械振动该位置称为平衡位置2产生振动的条件：有回复力作用且所受阻力足够小回复力：物体离开平衡位置时所受到的指向平衡位置的力成为回复力每当振动物体离开平衡位置时，就会受到将物体拉回平衡位置回复力作用，回复力是以力的效果命名的力，它是由振动物体所受的各种性质的力沿着振动方向的合力来充当平衡位置就是回复力为零的位置摩擦力足够小，一般在没有特殊说明的情况下，我们研究的振动系统是理想的，即没有摩擦的情况振动的最主要特点是振动的物体在平衡位置附近来回往复运动，即它的运动具有周期重复性3简谐运动的动力学定义物体受到与位移反向、大小与位移大小成正比的回复力作用维持的振动为简谐运动受力特征或动力学特征4简谐运动的运动学方程位移用时间的正弦（或余弦）函数表示的振动简谐运动的速度、加速度分别为5简谐运动的特征量为振幅：物体振动的最大位移值为振动的角速度（角频率）为相位，为初相位2，为振动频率，为振动周期，6振动图象图图图7参考圆任何一个简谐运动，都可以看作是某一个匀速圆周运动的参考点在某一直径上的投影，参考点的运动轨迹就是参考圆，参考点在直径上投影的点的轨迹即表示简谐运动简谐运动显然不是匀速运动，也不是匀加速运动，讨论起来不是那么方便为此，我们引入一个相关的匀速圆周运动以平衡位置为中心而以振幅为半径作圆，这圆就称为参考圆设想有另一质点在参考圆上以角速度做匀速圆周运动，它在开始时与的连线跟轴夹角为那么，在时刻，参考圆上的质点与的连线跟轴夹角就成为，它在轴上的投影点的坐标为（）这正是简谐振动方程参考圆上的质点的线速度，其方向与参考圆相切这个线速度在轴上的投影是这也就是简谐振动的速度参考圆上的质点的加速度是向心加速度，它在轴上的投影是这也就是简谐振动的加速度 8简谐运动的周期利用参考圆得到的简谐运动的加速度，又已知，对比两式有因为，所以有，这就是简谐运动的周期公式式中为回复力与位移的比值，为振子的质量单摆的振动周期为摆长，为重力加速度9简谐运动的能量以弹簧振子为例，动能、势能分别为因为，所以又机械能为机械能守恒，动能和势能不停地相互转化二、 阻尼振动受迫振动和共振1阻尼振动振幅逐渐减小的振动称为阻尼振动，阻尼振动不是简谐运动2受迫振动和共振在周期性驱动外力作用下的振动例如，扬声器的发音、机器及电机运转引起的振动由于外力对物体做功，使振动系统在振动中损失的能量得到补充当驱动力的频率（周期）跟振动系统的自由振动频率（周期）相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫共振驱动力的频率与物体的固有频率相差越大，振幅越小【典型例题】例如图所示，一个小弹丸水平射入一个原来静止的单摆并留在里面，结果单摆的振动图象如图所示，已知摆球的质量为小弹丸质量的5倍，试求小弹丸射入摆球前的速度【分析与解】由图可知0.1 m4s由得4m由得设弹丸射入摆球后的速度为，根据系统水平方向动量守恒和机械能守恒得解得0.94m/s例2一个劲度系数为的弹簧一端固定在墙上，另一端连接一个质量为的小球放在一光滑的水平面上，如图所示一质量与球相等的自由小球从点（）以速度向球运动，两球发生完全弹性碰撞（1）碰撞后，球做简谐运动，求其周期和振幅的大小，并说明振动能维持多长时间（2）求小球从点出发，经过碰撞后再回到点所历的时间【分析与解】 (1)与碰撞后，球做简谐运动，其周期为由于两球质量相等而且发生弹性碰撞，所以碰后的速度应为，则有得振动振幅为与碰撞后，保持静止，经过半个周期后又与碰撞，再次与交换速度，之后静止不动，接着运动返回到点所以球做简谐运动能维持的时间为(2) 小球从点出发，经过碰撞后再回到点经历时间为例3一架摆钟在使用时发现，摆长为时，在某段时间内快秒；摆长为时，在同样时间内慢秒试分析计算摆长应为多大时，摆钟才能走时准确？【分析与解】设摆钟的摆锤摆动一个周期时间为，标准摆钟的周期为，某一段标准时间，则钟面显示时间为若，则（走时准确）若，则（走时偏快）若，则（走时偏慢）摆长为时，摆钟的周期为，则显示时间，得摆长为时，摆钟的周期为，则显示时间，得由于，所以有整理解得（当时，）例4如图所示，水平桌面上的木质框架质量为，悬挂在框架上的轻质弹簧的劲度系数为，小球质量为让小球上下振动起来试分析计算：小球的振幅多大时，木质框架才不会离开桌面？【分析与解】框架的重力为，小球在上下振动，只有小球在最高位置且弹簧被压缩时，当框架受到竖直向上的弹力等于，框架对桌面的压力恰好为零根据胡克定律知，弹簧此时的压缩量为小球处于平衡位置时，弹簧的伸长量为可见，小球的振幅只要不大于，框架就不会离开桌面本题也可以这样分析求解：小球上下做简谐运动，所受回复力由弹簧弹力和重力的合力提供，且大小满足，当小球离开平衡位置最远即位移大小为振幅时，所受回复力最大小球在平衡位置下方时，加速度竖直向上，小球处于超重状态，弹簧被拉长只有小球在平衡位置上方时才有可能弹簧被压缩，所以小球在最高点时，木质框架才有可能离开桌面，故要想框架不离开桌面则必须满足条件，即有例5劲度系数600N/m的轻质弹簧下端与质量2kg的物块相连，物块与质量1k的铁球用细线相连（如图所示），取10m/s2(1)若系统以振幅0.02m上下振动，求振动过程中细线上张力如何变化？(2)要使物块与铁球在振动过程中始终保持相对静止，该系统振幅的最大值多大？【分析与解】(1)设弹簧被拉长时振动系统处在平衡位置，即有由此可得0.05m考察系统从最低点向上运动的过程中细线的张力如何变化当系统相对平衡位置向下的位移为时，系统向上的加速度为4m/s2这时细线中张力为14N当系统向上通过平衡位置时，加速度为零，这时细线中张力为10N当系统达到最高点，即向上的位移为时，加速度向下，大小这时细线中张力为6N根据上述分析与计算可知：对小球而言，它沿竖直方向上下做简谐运动的恢复力与位移大小关系是，且回复系数为600N/m另外对小球来说，它做简谐运动的回复力是细线对它的拉力与重力的合力，取竖直向上为正方向，则由此可得（式中是铁球相对于平衡位置的位移，小球在平衡位置下方时，为负值；小球在平衡位置上方时，为正值）(2)若要铁球与物块在振动过程中能始终保持相对静止（即细线始终能保持伸直状态），则系统在振动过程中的加速度值不能大于10m/s2在最低位置时，弹簧的弹力最大，60N弹簧的最大拉长量0.1m可知振幅的最大值为0.05m例6如图所示，质量相等的物块和粘贴在一起与劲度系数为的弹簧组成的弹性振子，在光滑的水平台面上做简谐运动，系统总能量为，周期为若物块、在从左向右通过平衡位置时突然分离试求与分离后，跟弹簧组成的振动系统总能量、周期多大？【分析与解】物块、在从左向右通过平衡位置时，系统的能量全部转化为动能，、质量相等，分离时速度最大且相等，所以与分离后振动系统的能量（以最大速度向右做匀速运动）设、的质量均为、粘贴在一起时，振动周期与分离后，振子的周期为可见0.71 、分离前，即、分离后，即由此可知，0.71例7在两个向相反方向转动的小轴上，水平地放一块匀质木板，木板质量为，两轴心相距（如图所示）木板与轴之间的动摩擦因数为，如果使木板的重心偏离两轴的中心位置，试分析木板的运动情况【分析与解】设木板质量为，由于木板在竖直方向无运动，所以有因为木板在水平方向无转动，故所受合力矩为零当木板重心从两轮中间左移时，对点应该有 解得木板所受合力为 （方向与位移方向相反）可见木板沿水平方向做简谐运动由得故运动周期为例8如图所示，一个质量为的槽放在光滑水平地面上，一个质量为的单摆的摆球放在槽内带动槽在水平面内振动（如图所示，摆球在最低点也不和槽底接触）求这个系统的振动周期【分析与解】没有槽时，将单摆拉至最大角后释放，当摆至偏角时的角速度为，则有 有槽时，同样的过程有解得可以看出，在任何角度时上式都成立，所以有所以这个系统的振动周期为例9如图所示，由劲度系数为的弹簧和质量为的振子组成的振动系统，其振幅为，一块质量为的黏土由静止状态黏到振子上，试问在以下两种情况下，振动周期和振幅的变化：(1)当振子通过其平衡位置时与黏土相黏；(2) 当振子在最大位移处时与黏土相黏【分析与解】不加黏土时，原振动系统简谐运动的周期为加上黏土后，振子质量增为，新振动系统简谐运动的周期在上述两种情况下均变为新振动系统简谐运动的振幅由加上黏土时的初始条件决定在情况(1)中，原振子通过平衡位置具有最大速度，其数值为式中为原振动系统的振幅若此时加上黏土，由动量守恒知，新振子的速度变为新振动系统的平衡位置不因加上黏土而改变，故就是新振动系统的最大速度，它与新振动系统的振幅之间应满足所以，可见振幅小于原振幅在情况(2)中，原振子在最大位移处的速度为零，与平衡位置的距离即为原振幅，此时加上黏土后，新振子的速度仍为零，即仍位于最大位移处，与平衡位置的距离仍为，即振幅仍为例10如图所示装置中定滑轮质量都不计，两物体大小不计，质量分别为、下端通过劲度系数为的轻质弹簧与地面相连，让偏离平衡位置一小段距离后放手，求系统的振动周期【分析与解】系统平衡时弹簧伸长，对：对；则有设系统由平衡位置又伸长了分别对、分别应用牛顿第二定律对：对；消去得整理得所以说明对弹簧来讲，系统的等效质量为，所以系统的振动周期为例11如图所示的系统中，动滑轮、细绳及两弹簧的质量均可忽略，其余各量在图中标出，试求悬挂物体上、下振动的周期【分析与解】当悬挂物向下运动时，两弹簧的伸长量分别设为和，则悬挂物下移距离为两根弹簧的弹力大小相等，设为，则有 因此有即同理可得悬挂物所受向上的合力为此弹簧组可以用等效劲度系数为的一根弹簧代替故所求悬挂物体上、下振动的周期为例12如图所示，质量为的小球可看成质点，与劲度系数分别为和、原长分别为和的两个轻弹簧相连，两弹簧的另一端固定于相距为的两支柱、上，整个装置水平放置，忽略一切摩擦力试求：(1)小球的平衡位置(2)小球的振动周期【分析与解】(1)设平衡时小球与端的距离为平衡时两弹簧可能处于拉伸状态，也可能处于压缩状态，着由两弹簧的原长和、之间的距离决定我们假定弹簧处于拉伸状态，左侧弹簧的伸长量为，右侧弹簧的伸长量为，则当小球平衡时，左右两弹簧拉力应平衡，即有解得可见，当时，平衡时两弹簧处于拉伸状态；当当时，平衡时两弹簧处于压缩状态(2)如图，取小球的平衡位置为坐标原点，当小球位于任意位置时，受到向左的拉力为，受到向右的拉力为，故小球所受的合力为由于，所以有可见合力为线性回复力，等效劲度系数为，因此小球的运动为简谐运动，其振动周期为9