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文数课标版第四节导数与函数的综合问题1.利用导数证明不等式的基本步骤利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形.(2)构造新的函数h(x).(3)对h(x)求导.(4)利用h(x)判断h(x)的单调性或最值.教材研读教材研读(5)下结论.2.一元三次方程根的个数问题一元三次方程根的个数问题令f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),则f (x)=3ax2+2bx+c.方程f (x)=0的判别式=(2b)2-12ac,(1)当0,即b23ac时, f (x)0恒成立, f(x)在R上为增函数,结合函数f(x)的图象知,方程f(x)=0有唯一 一个实根.(2)当0,即b23ac时,方程f (x)=0有两个不同的实根,设为x1,x2(x1m).a.当m0时,方程f(x)=0有一 个实根;b.当m=0时,方程f(x)=0有两 个实根;c.当m0时,方程f(x)=0有三 个实根;d.当M=0时,方程f(x)=0有两 个实根;e.当M0时,方程f(x)=0有一 个实根.3.生活中的利润最大、用料最省、效率最高等问题我们称之为优化问题.导数是解决生活中优化问题的有力工具,用导数解决优化问题的基本思路:(1)分析实际问题中各量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的导数f (x),解方程f (x)=0,确定极值点;(3)比较函数在区间端点的值和在极值点的值的大小,最大(小)值为函数的最大(小)值;(4)还原到实际问题中作答. 1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A.13万件 B.11万件C.9万件 D.7万件答案答案 C y=-x2+81.令y=0,得x=9或x=-9(舍去).当0 x0,函数单调递增;当x9时,y0,函数单调递减.故当x=9时,y取最大值.132.已知函数f(x)的定义域为-1,4,部分对应值如下表, f(x)的导函数y=f (x)的图象如图所示.当1a2时,函数y=f(x)-a的零点的个数为()A.2 B.3 C.4 D.5x-10234f(x)12020答案答案 C根据已知条件可还原出函数f(x)在定义域-1,4内的大致图象.函数y=f(x)-a的零点个数即直线y=a与曲线y=f(x)的交点个数.因为1a3,则方程x3-ax2+1=0在(0,2)上的实根个数为()A.0 B.1 C.2 D.3答案答案 B设f(x)=x3-ax2+1,则f (x)=3x2-2ax=x(3x-2a),由于a3,则在(0,2)上f (x)0, f(2)=9-4a0, 即x(0,1时, f(x)=ax3-3x+10可化为a-.设g(x)=-,则g(x)=,所以g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,因此g(x)max=g=4,从而a4.当x0,即x-1,0)时,a-.同理可求得a4,综上,可知a=4.23x31x23x31x43(12 ) xx10,21,121223x31x考点一利用导数研究恒成立问题和存在性问题考点一利用导数研究恒成立问题和存在性问题命题角度一恒成立问题命题角度一恒成立问题典例典例1 (2016陕西西北九校联考)已知函数f(x)=-ln x+t(x-1),t为实数.(1)当t=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当t=时,-f(x)0,f (x)=-+1=.由f (x)0可得0 x0可得x1,函数f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+).12kx121x1xx考点突破考点突破(2)当t=时, f(x)=-ln x+-,则-f(x)=-=ln x-+,当x1时,-f(x)0恒成立等价于k1,则g(x)=x-(ln x+1)=x-1-ln x,x1.令h(x)=x-1-ln x,x1,则h(x)=1-=,x1.当x1时,h(x)0,函数h(x)=x-1-ln x在(1,+)上单调递增,故h(x)h(1)=0,从而当x1时,g(x)0,即函数g(x)在(1,+)上单调递增,故g(x)g(1)=,实数k的取值范围是.122x 12kx12kx121ln22xx2xkxkx1222x22x1x1xx121,21-1 (2016湖北优质高中联考)已知函数g(x)满足g(x)=g(1)ex-1-g(0)x+x2,且存在实数x0使得不等式2m-1g(x0)成立,则m的取值范围为()A.(-,2 B.(-,3 C.1,+) D.0,+)答案答案 C g(x)=g(1)ex-1-g(0)+x,当x=1时,g(0)=1,由g(0)=g(1)e0-1,解得g(1)=e,所以g(x)=ex-x+x2,则g(x)=ex-1+x,当x0时,g(x)0时,g(x)0,所以当x=0时,函数g(x)取得最小值g(0)=1,根据题意将不等式转化为2m-1g(x)min=1,所以m1,故选C.1212典例典例2已知函数f(x)=x-(a+1)ln x-(aR),g(x)=x2+ex-xex.(1)当x1,e时,求f(x)的最小值;(2)当a1时,若存在x1e,e2,使得对任意的x2-2,0, f(x1)g(x2)恒成立,求a的取值范围.解析解析(1)f(x)的定义域为(0,+), f (x)=.当a1时,x1,e, f (x)0,f(x)为增函数,所以f(x)min=f(1)=1-a.当1ae时,x1,a时, f (x)0, f(x)为减函数;xa,e时, f (x)0, f(x)为增函数.ax122(1)()xxax命题角度二存在性问题命题角度二存在性问题所以f(x)min=f(a)=a-(a+1)ln a-1.当ae时,x1,e时, f (x)0,f(x)在1,e上为减函数,所以f(x)min=f(e)=e-(a+1)-.综上,当a1时, f(x)min=1-a;当1ae时, f(x)min=a-(a+1)ln a-1;当ae时, f(x)min=e-(a+1)-.(2)由题意知f(x)(xe,e2)的最小值小于g(x)(x-2,0)的最小值.当a1时,由(1)知f(x)在e,e2上单调递增,所以f(x)min=f(e)=e-(a+1)-.eaeaea由题意知g(x)=(1-ex)x.当x-2,0时,g(x)0,g(x)为减函数,g(x)min=g(0)=1,所以e-(a+1)-,所以a的取值范围为.ea2e2ee 12e2e,1e1易错警示易错警示“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系,即f(x)g(a)对于xD恒成立,应求f(x)的最小值;若存在xD,使得f(x)g(a)成立,应求f(x)的最大值.在具体问题中究竟是求最大值还是最小值,可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值,这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值.特别需要关注等号是否成立问题,以免细节出错.考点二利用导数证明不等式考点二利用导数证明不等式典例典例3 (2016课标全国,21,12分)设函数f(x)=ln x-x+1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明当x(1,+)时,11,证明当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.解析解析(1)由题设知, f(x)的定义域为(0,+), f (x)=-1,令f (x)=0,解得x=1.当0 x0, f(x)单调递增;当x1时, f (x)0, f(x)单调递减.(2)证明:由(1)知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0.所以当x1时,ln xx-1.1lnxx1x故当x(1,+)时,ln xx-1,ln-1,即11,设g(x)=1+(c-1)x-cx,则g(x)=c-1-cxln c,令g(x)=0,解得x0=.当x0,g(x)单调递增;当xx0时,g(x)0,g(x)单调递减.由(2)知1c,故0 x01.又g(0)=g(1)=0,故当0 x0.所以当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.1x1x1lnxx1lnlnlnccc1lncc方法技巧方法技巧若证明f(x)g(x),x(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),若F(x)0,则F(x)在(a,b)上是减函数,同时,若F(a)0,由减函数的定义可知,当x(a,b)时,有F(x)0,即证明了f(x)g(x).2-1 (2016安徽合肥二模)已知函数f(x)=.(1)若f(x)在区间(-,2)上为单调递增函数,求实数a的取值范围;(2)若a=0,x01,设直线y=g(x)为函数f(x)的图象在x=x0处的切线,求证:f(x)g(x).解析解析(1)易得f (x)=-,由已知可知f (x)0对x(-,2)恒成立,1-a2,a-1.故实数a的取值范围为(-,-1.(2)证明:a=0,则f(x)=,故f (x)=.函数f(x)的图象在x=x0处的切线方程为y=g(x)=f (x0)(x-x0)+f(x0).exxa(1)exxaexx1exx令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f (x0)(x-x0)-f(x0),xR,则h(x)=f (x)-f (x0)=-=.设(x)=(1-x)-(1-x0)ex,则(x)=-(1-x0)ex,x01,(x)0,(x)在R上单调递减,而(x0)=0,当x0,当xx0时,(x)0,当x0,当xx0时,h(x)0,h(x)在区间(-,x0)上为增函数,在区间(x0,+)上为减函数,xR时,h(x)h(x0)=0,f(x)g(x).1exx001exx000(1)e(1)eexxx xxx0ex0ex考点三利用导数研究函数零点或方程根的问题考点三利用导数研究函数零点或方程根的问题典例典例4 (2016课标全国,21,12分)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.解析解析(1)f (x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).(i)设a0,则当x(-,1)时, f (x)0.所以f(x)在(-,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.(ii)设a-,则ln(-2a)0;当xe2e2(ln(-2a),1)时, f (x)0.所以f(x)在(-,ln(-2a),(1,+)上单调递增,在(ln(-2a),1)上单调递减.若a1,故当x(-,1)(ln(-2a),+)时, f (x)0;当x(1,ln(-2a)时, f (x)0,则由(1)知, f(x)在(-,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.又f(1)=-e, f(2)=a,取b满足b0且b(b-2)+a(b-1)2=a0,所以f(x)有两个零点.(ii)设a=0,则f(x)=(x-2)ex,所以f(x)只有一个零点.e22a2a232bb(iii)设a0,若a-,则由(1)知, f(x)在(1,+)上单调递增,又当x1时f(x)0,故f(x)不存在两个零点;若a-,则由(1)知, f(x)在(1,ln(-2a)上单调递减,在(ln(-2a),+)上单调递增,又当x1时f(x)0,故f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,+).e2e2方法技巧方法技巧利用导数研究函数零点的方法:方法一:(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)根据函数f(x)的性质作出图象;(3)判断函数零点的个数.方法二:(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)分类讨论,判断函数零点的个数.3-1 (2014课标,21,12分)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(1)求a;(2)证明:当k0.当x0时,g(x)=3x2-6x+1-k0,g(x)单调递增,g(-1)=k-10时,令h(x)=x3-3x2+4,则g(x)=h(x)+(1-k)xh(x).h(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,所以g(x)h(x)h(2)=0.所以g(x)=0在(0,+)上没有实根.综上,g(x)=0在R上有唯一实根,即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.考点四用导数解决实际生活中的优化问题考点四用导数解决实际生活中的优化问题典例典例5 (2016云南玉溪一中月考)时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量y(单位:千套)与销售价格x(单位:元/套)满足的关系式为y=+4(x-6)2,其中2x6,m 为常数.已知销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套.(1)求m的值;(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格x的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(精确到0.1)2mx解析解析(1)因为x=4时,y=21,所以+16=21,解得m=10.(2)设每日销售套题所获得的利润为f(x)元.由(1)可知,套题每日的销售量y=+4(x-6)2.2m102x所以f(x)=(x-2)=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240 x-278(2x6),2104(6)2xx从而f (x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2x0,函数f(x)单调递增;在上, f (x)0,函数f(x)单调递减.所以x=是函数f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点,所以当x=3.3时,函数f(x)取得最大值.故当销售价格为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.103102,310,63103103规律总结规律总结利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的导数f (x),解方程f (x)=0;(3)比较函数在区间端点和使f (x)=0的点处的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;(4)回归实际问题,结合实际问题作答.4-1某食品厂进行蘑菇的深加工,每千克蘑菇的成本为20元,并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2t5).设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25x40),根据市场调查,销售量q千克与ex成反比,当每千克蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100千克.(1)求该工厂的每日利润y元与每千克蘑菇的出厂价x元的函数关系式;(2)若t=5,当每千克蘑菇的出厂价x为多少时,该工厂的每日利润y最大?并求最大值.解析解析(1)设q=(k0),则=100,所以k=100e30,所以q=,所以y=(25x40,2t5).exk30ek30100eex30100e (20)exxt(2)由题意知y=,则y=.由y0得25x26,由y0,得26x40,所以y在区间25,26上单调递增,在区间26,40上单调递减,所以当x=26时,ymax=100e4,即当每千克蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的每日利润最大,最大值为100e4元.30100e (25)exx30100e (26)exx
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