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2.4 平面向量的数量积学习目标:1.平面向量的数量积的定义及几何意义2.平面向量数量积的性质及运算律 3.平面向量数量积的坐标表示 4.平面向量的模、夹角 平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量已知两个非零向量a 和和b ，它们的夹角为，它们的夹角为 ，我们把数量，我们把数量 叫做叫做a 与与b 的数量积（或内积），记作的数量积（或内积），记作a b ，即即 cos|ba cos|baba b bcoscos叫做向量b在向量a上的投影。规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零向量与任意向量的数量积为0，即即 0 0a 注注: 两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定角决定 a b不能写成不能写成ab ，ab 表示向量的另一种运算表示向量的另一种运算向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度aa与b在a的方向上的投影b bcoscos的积ab的几何意义：OB b bcoscosa ab bOB运算律：运算律：abba1bababa2cbcacba3平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示1122,x ybx y设a jyixjyixba22112211221221jyyjiyxjiyxixx2121yyxx两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即2121yyxxba平面向量的模、夹角平面向量的模、夹角（1）设）设a =（x，y），则），则 或或|a |= .2|a22yx 22yx 212212yyxx即平面内两点间的距离公式即平面内两点间的距离公式（2）写出向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐写出向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐标表示式标表示式. 0/1221yxyxba02121yyxxba222221212121cosyxyxyyxx),(0babacos例例1已知已知|a |=5，|b |=4，a与与b的夹角的夹角 ，求，求a b.120 解：解： a b =|a | |b |cos120cos45 10)21(45 例例2设设 ， ，求，求 . 7, 5 a4, 6 bbaa 、b 夹角的余弦值？夹角的余弦值？ 解：解： 24765ba96296252742cos222221212121yxyxyyxx练习练习1 1 已知已知 ， ， ，求证，求证 是直角三角形是直角三角形. 2 , 1A3 ,2B5 ,2CABC证明：证明：1 , 123 , 12AB2 , 325 , 12AC03131ACAB ABC是直角三角形是直角三角形. 练习练习2 2、求、求 与向量的夹角为与向量的夹角为 的单位向量的单位向量 13, 13a45解：设所求向量为解：设所求向量为 sin,cosb a 与与b 成成 452822ba2sin13cos13 另一方面另一方面 又又 1cossin22解之得：解之得： ， 或或 ， 23cos21sin21cos23sin23,2121,2321bb或 cos13cos13ba1.平面向量的数量积的定义及几何意义2.平面向量数量积的性质及运算律 3.平面向量数量积的坐标表示 4.平面向量的模、夹角 小结：小结：作业：作业：1216 9P A课本组
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