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数学试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A B C D2.命题“，”的否定是（ ）A，B，C，D，3.设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（ ）A-5 B5 C D4.（理）已知向量，满足，则的取值范围为（ ）A B C D（文）已知平面向量，的夹角为，且，则等于（ ）A B C D25.已知，则（ ）A B C D 6.已知中，内角，的对边分别为，则的面积为（ ）A B1 C D27.（理）领导人除与、与不单独会晤外，其他领导人两两之间都要单独会晤.现安排他们在两天的上午、下午单独会晤（每人每个半天最多进行一次会晤），那么安排他们单独会晤的不同方法共有（ ）A48种 B36种 C24种 D8种（文）袋中有大小、质地相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球，若摸出红球，得2分，摸出黑球，得1分，则3,次摸球所得总分至少是4分的概率是（ ）A B C D8. 的内角，的对边分别为，且，成等比数列.若，则（ ）A B C D9.函数的最小正周期为，为了得到的图像，只需将函数的图象（ ）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度10.（理）双曲线的左右焦点分别为，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）A B C D（文）设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，椭圆的离心率为，则此椭圆的方程为（ ）A B C D11.函数的零点所在的区间是（ ）A B C D12.（理）若对，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）A B1 C2 D（文）已知为正实数，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）A B1 C2 D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.过抛物线的焦点的直线，与圆相交于，两点，且，则的方程是_.14.执行如图所示的程序框图，输出的值是_.15.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是_.16.在直角梯形中，梯形所在平面内一点满足，则_.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）（理）已知的三边，所对的角分别为，且.（1）求的值；（2）若外接圆的半径为14，求的面积.（文）已知数列满足：，.（1）求证：是等差数列，并求出；（2）证明：.18.（本小题满分12分）（理）集成电路由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，且每个电子元件能否正常工作相互独立.若三个电子元件中至少有2个正常工作，则能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路所需费用为100元.（1）求集成电路需要维修的概率；（2）若某电子设备共由2个集成电路组成，设为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求的分布列和期望.（文）微信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余每天使用微信在一小时以上.若将员工年龄分成青年（年龄小于40岁）和中年（年龄不小于40岁）两个阶段，使用微信的人中75%是青年人.若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，经常使用微信的员工中是青年人.（1）若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出22列联表：（2）根据列联表中所得数据，利用独立性检验的方法判断是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？（2）采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取6人，从这6人中任选2人，求事件 “选出的2人均是青年人”的概率.附：19.（本小题12分）（理）如图，已知三棱锥的三条侧棱，两两垂直，为等边三角形，为内部一点，点在的延长线上，且.（1）证明：；（2）证明：平面平面；（3）若，求二面角的余弦值.（文）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，为与的交点，为棱上一点.（1）证明：平面平面；（2）若平面，求三棱锥的体积.20.（本小题满分12分）（理）已知函数，其中为常数.（1）当时，若在区间上的最大值为-4，求的值；（2）当时，若函数存在零点，求实数的取值范围.（文）已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）设函数.若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.21.（本小题满分12分）（理）已知椭圆与直线相交于，两不同点，且直线与圆相切于点（为坐标原点）.（1）证明：；（2）设，求实数的取值范围.（文）如图所示，已知圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点，（点在点的右侧），且，已知椭圆的焦距等于，且过点.（1）求圆和椭圆的方程；（2）若过点斜率不为零的直线与椭圆交于、两点，求证：直线与直线的倾斜角互补.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，中，是的中点，是上一点，、的延长线分别交、于、.求证：.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系下，若点的一个极坐标为，求以为坐标的不同的点的极坐标.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）若对于，恒成立，求实数的取值范围.选做的题目是_（填22、23、24）数学参考答案一、选择题1. （解析：因为，所以，故选）2. （解析：对于命题的否定，要将命题中“”变为“”，且否定结论，则命题“，”的否定是“，”，故选.）3. （解析：由题意知：，所以，故选.）4. （理）（解析：由题意知，设向量，的夹角为，则，.） （文）（解析：因为，所以，即，所以，解得，选.）5. （解析：，所以，故选.）6. （解析：在中，.故选.）7. （理）（解析：五国领导人单独会晤的有共八场，现在将八场会晤分别安排在两天的上午和下午进行，每个半天安排两场会晤同时进行.因为能同时会晤的共有，和，两种情况，故不同的安排方法共有.）（文）（解析：利用互斥事件的概率公式求解.3次摸球所得总分不足4分的结果只有一种，即3次均摸到黑球，概率为，故所求概率为，故选.）8. （解析：依题意得，由余弦定理得，即，所以，故选.） 9. 10. （理） （文）（解析：依题意得，解得，因此所求的椭圆方程为，故选.） 11. （解析：函数，则函数是上的单调减函数，且是连续函数，故有，故函数的零点所在的区间为，故选.） 12.（理）（文）（解析：如图，因为对恒成立，如图与相切时，取到最大值，设切点坐标为，则，解得，所以的最大值为，故选）二、填空题13. 或 （解析：抛物线的焦点，圆心，半径为.依题意，设的方程为，由得，解得，所以.所求直线的方程为或） 14. （解析：由程序框图知，的取值如下表：故输出的.） 15. （解析：由已知有几何体是棱长为2的正方体中抠掉了一个圆锥，.） 16.-1 （解析：以为原点建立如图所示的平面直角坐标系.因为，故为线段的中点，故，故，即.）三、解答题17.（理）解：（1）因为，所以可设，2分由余弦定理得3分.4分（2）由（1）知，因为是的内角，所以.6分由正弦定理，7分得.8分由（1）设，即，所以，.10分得出.2分是以为首项，2为公差的等差数列.3分5分6分（2）8分10分.12分18.（理）解：（）三个电子元件能正常工作分别记为事件，则，依题意，集成电路需要维修有两种情形：3个元件都不能正常工作，概率为；2分3个元件中的2个不能正常工作，概率为5分集成电路需要维修的概率为.6分（2）设为维修集成电路的个数，则，而，9分的分布列为10分.（或）.12分（文）解：（1）由已知可得该公司员工中使用微信的共有2000.9=180人，其中青年人：人.经常使用微信的有180-60=120人，其中青年人：人.所以可列下面22列联表：4分（2）将列联表中数据代入公式可得.7分由于13.33310.828，所以有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”.8分（3）从“经常使用微信”的人中抽取6人中，青年人有人，中年人有2人.设4名青年人编号分别为1,2,3,4；2名中年人编号分别为5,6，则“从这6人中任选2人”的基本事件为（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15个.10分其中事件 “选出的2人均是青年人”的基本事件为（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），(3,4)，共6个.11分故.12分19.（理）解：（1）证明：因为，两两垂直，所以，.又为等边三角形，所以,所以，故.3分（2）证明：因为，两两垂直，所以平面，而平面，所以.5分取的中点，连接，.由（1）知，所以.由已知，所以.所以平面，而，所以.7分所以平面，又平面，所以平面平面.9分（3）解：由（2）知平面，又平面，所以平面平面，且平面平面，过点作平面，且交的延长线于点，连接.由（1）同理可证，因为，所以在中，所以，又因为，所以平面，所以为二面角的平面角，在直角中，10分由（2）知，所以为等腰直角三角形，所以，所以，所以二面角的余弦值为.12分（文）（1）证明：平面，平面，.四边形是菱形，.而平面，平面平面.6分（2）解：平面，平面平面，是中点，是中点.取中点，连结，四边形是菱形，又，平面，.9分.12分20.（理）解：（1）由题意，令解得，因为，所以，由解得，由解得，从而的单调区间为，减区间为，解得6分（2）函数存在零点，即方程有实数根，由已知，函数的定义域为，当时，所以，当时，；当时，所以的单调增区间为，减区间为，所以，所以.令，则.当时，；当时，.从而在上单调递增，在上单调递减.所以，要使方程有实数根，只需即可，则.12分（文）解：（1）时，又，在点处的切线斜率，切线方程为，即.5分（2），依题意，令，.由，得.时，在上为增函数.，.12分21.（理）（1）证明：直线与圆相切，圆的圆心到直线的距离，从而.2分由，可得.设，则，.4分.6分（2）解：直线与圆相切于，.8分由（1）知，即，从而，即.10分，.12分（文）解：（1）解：设圆的半径为，由题意，圆心为，因为，所以，故圆的方程是 3分在中，令解得或，所以，.由，得，.所以椭圆的方程为.7分（2）证明：设直线的方程为.由，得 设，则，.当，时，所以.当，时，此时，对方程，不合题意.所以直线与直线的倾斜角互补,12分22.证明：延长至，使，连结、.，2分四边形为平行四边形.，,， ,.10分23.解:为点的一个极坐标，或.当时，.当时，.有四个不同的点.，10分24.解：（1），1分当时，；2分当时，；3分当时，.4分综上所述，不等式的解集为.5分（2）由（1）可知，7分若，恒成立，则只需，9分所以实数的取值范围为.10分
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