第一讲 等差数列、等比数列（教案）

二轮数学专题三 数列第一讲等差数列、等比数列考情分析等差数列、等比数列的判定及其通项公式在考查基本运算、基本概念的同时，也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查；对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n项和的最大、最小值等问题，主要是中低档题；等差数列、等比数列的前n项和是高考考查的重点.年份卷别考查角度及命题位置2017卷等差数列的基本运算T4卷数学文化中的等比数列应用T3等差数列与裂项求和T15卷等差数列与等比数列的运算T9等比数列的基本运算T142016卷等差数列的基本运算T3等比数列的运算及二次函数最值问题T152015卷等比数列的性质T4数列的递推关系式、等差数列的定义与通项T16真题自检1(2017高考全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1B2C4 D8解析：设等差数列an的公差为d，d4，故选C.答案：C2(2016高考全国卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A100 B99C98 D97解析：法一：an是等差数列，设其公差为d，S9(a1a9)9a527，a53.又a108，a100a199d199198.故选C.法二：an是等差数列，S9(a1a9)9a527，a53.在等差数列an中，a5，a10，a15，a100成等差数列，且公差da10a5835.故a100a5(201)598.故选C.答案：C3(2015高考全国卷)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7()A21 B42C63 D84解析：a13，a1a3a521，33q23q421.1q2q47.解得q22或q23(舍去)a3a5a7q2(a1a3a5)22142.答案：B4(2016高考全国卷改编)设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为()A32 B64C48 D128解析：设等比数列an的公比为q，则由a1a310，a2a4q(a1a3)5，知q.又a1a1q210，a18.故a1a2anaq12(n1)记t(n27n)2，结合nN*可知n3或4时，t有最大值6.又y2t为增函数，从而a1a2an的最大值为2664.答案：B5(2015高考全国卷)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.解析：an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.Sn0，1，即1.又1，是首项为1，公差为1的等差数列1(n1)(1)n，Sn.答案： 等差数列、等比数列的基本运算方法结论1两组求和公式(1)等差数列：Snna1d；(2)等比数列：Sn(q1)2在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量题组突破1(2017高考全国卷)等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为()A24B3C3 D8解析：设等差数列an的公差为d，因为a2，a3，a6成等比数列，所以a2a6a，即(a1d)(a15d)(a12d)2，又a11，所以d22d0，又d0，则d2，所以a6a15d9，所以an前6项的和S6624，故选A.答案：A2(2017贵阳模拟)等差数列an的前n项和为Sn，且a3a916，则S11()A88B48C96 D176解析：通解：依题意得S1188，选A.优解：依题意，可考虑将题目中的等差数列特殊化为常数列(注意慎用此方法)，即an8，因此S1188，选A.答案：A3(2017陕西模拟)已知数列an，an0, 它的前n项和为Sn，且2a2是4a1与a3的等差中项若an为等比数列，a11，则S7_.解析：设数列an的公比为q，依题意有a11,4a24a1a3，即4q4q2，故q2，则S7127.答案：1274(2017长沙模拟)已知数列an为等差数列，其中a2a38，a53a2.(1)求数列an的通项公式；(2)数列bn中，b11，b22，从数列an中取出第bn项记为cn，若cn是等比数列，求bn的前n项和解析：(1)设等差数列an的公差为d，依题意有，解得a11，d2，从而an的通项公式为an2n1，nN*.(2)c1ab1a11，c2ab2a23，从而等比数列cn的公比为3，因此cn13n13n1.另一方面，cnabn2bn1，所以2bn13n1，因此bn.记bn的前n项和为Sn，则Sn.误区警示在运用等比数列前n项和公式时，一定要注意判断公比q是否为1，切忌盲目套用公式导数失误 等差数列、等比数列的性质方法结论1等差数列、等比数列常用性质：等差数列等比数列性质(1)若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；(2)anam(nm)d；(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列(1)若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；(2)anamqnm；(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等比数列(Sm0)2.等差数列中利用中项求和(1)若n为奇数，则Sn.(2)若n为偶数，则S 3在等差数列中，当项数为偶数2n时，有S偶S奇nd，；当项数为奇数2n1时，有S奇S偶an，.4在等比数列中，当项数为偶数2n时，q.题组突破1(2017洛阳模拟)等差数列an为递增数列，若aa101，a5a611，则数列an的公差d等于()A1B2C9 D10解析：依题意得(a1a10)22a1a10(a5a6)22a1a101212a1a10101，a1a1010，又a1a10a5a611，a1a10，a11，a1010，d1，选A.答案：A2(2017江西红色七校联考)等比数列an满足an0，q1，a3a520，a2a664，则公比q为()A. B.C2 D4解析：通解：由已知可得aq664，即a1q38，得a48，所以8q20，化简得2q25q20，解得q2或q(舍去)，故q2，选C.优解：由已知可得，解得或(舍去)，故4q2，故q2，选C.答案：C3(2017江西高安中学等九校联考)已知数列an是等比数列，数列bn是等差数列，若a1a6a113，b1b6b117，则tan的值是()A1 B.C D解析：an是等比数列，bn是等差数列，且a1a6a113，b1b6b117，a()3,3b67，a6，b6，tantantantan()tan(2)tan.答案：D误区警示在等比数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m仍成等比数列的前提是Sm0，易忽视这一条件 等差数列、等比数列的判定与证明方法结论1证明数列an是等差数列的两种基本方法：(1)利用定义，证明an1an(nN*)为一常数；(2)利用等差中项性质，即证明2anan1an1(n2)2证明an是等比数列的两种基本方法：(1)利用定义，证明(nN*)为一常数；(2)利用等比中项性质，即证明aan1an1(n2，an0)典例(2017玉溪模拟)已知数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式解析：(1)证明：anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，当n1时，a1S11，a1，a11，又cnan1，cn是首项为，公比为的等比数列(2)由(1)可知cn()()n1()n，ancn11()n.当n2时，bnanan11()n1()n1()n1()n()n.又b1a1也符合上式，bn()n.类题通法1等价转化思想在解决an与Sn关系问题中的应用在已知an与Sn的关系问题中，通常利用an与Sn的关系转化为an中an与an1或an1与an的关系，然后再求解其他问题2构建新数列是解决递推关系求通项公式中的一种常用方法如本例(1)问中构造an1为等比数列演练冲关1(2017华南师大附中测试)在数列an中，a1p，an1qand(nN*，p，q，d是常数)，则d0是数列an是等比数列的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：当d0，p0时，an0，数列an不是等比数列，所以充分性不成立；当q0，pd，d0时，and，则数列an为公比为1的等比数列，所以必要性不成立综上所述，d0是数列an是等比数列的既不充分也不必要条件，故选D.答案：D2(2017临川一中模拟)已知数列an满足：a13，an1an2n2.(1)证明：数列是等差数列；(2)证明：1.证明：(1)由an1an2n2得2，即2，数列是首项为3，公差为2的等差数列(2)由(1)知，3(n1)22n1，ann(2n1)，()()()()1，1. 等差、等比数列与其他知识的交汇交汇点数列与其他知识的交汇数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化为特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用典例1(2017宜昌月考)已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1a2 016，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S2 016等于()A1 007B1 008C2 015 D2 016解析：A，B，C三点共线，a1a2 0161，S2 0161 008，故选B.答案：B类题通法本题巧妙地将三点共线条件(xy且A，B，C三点共线xy1)与等差数列的求和公式结合，解决的关键是抓住整体求值思想演练冲关1(2017铜仁质检)在由正数组成的等比数列an中，若a3a4a53，则sin(log3a1log3a2log3a7)的值为()A. B.C1 D解析：因为a3a4a53a，所以a4，即log3a1log3a2log3a7log3(a1a2a7)log3a，所以sin(log3a1log3a2log3a7).答案：B创新点新定义下数列的创新问题典例2设Sn为数列an的前n项和，若(nN*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”；若数列cn是首项为2，公差为d(d0)的等差数列，且数列cn是“和等比数列”，则d_.解析：由题意可知，数列cn的前n项和为Sn，前2n项和为S2n，所以22.因为数列cn是“和等比数列”，即为非零常数，所以d4.答案：4类题通法解决新定义下数列问题一般是直接扣定义进行求解本例的关键是抓住为非零常数来确定参数值演练冲关2在数列an中，nN*，若k(k为常数)，则称an为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：k不可能为0；等差数列一定是“等差比数列”；等比数列一定是“等差比数列”；“等差比数列”中可以有无数项为0.其中所有正确判断的序号是_解析：由等差比数列的定义可知，k不为0，所以正确，当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以错误；当an是等比数列，且公比q1时，an不是等差比数列，所以错误；数列0,1,0,1，是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以正确答案：9 / 9