1.1.1正弦定理课件(PPT)

12 定义：定义：ABCabc解三角形就是：解三角形就是：3 定义：定义：把三角形的三个角把三角形的三个角A，B，C和和三条边三条边a，b，c叫做三角形的元素，已知叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形解三角形。ABCabc解三角形就是：由已解三角形就是：由已知的边和角，求未知知的边和角，求未知的边和角。的边和角。45请你回顾一下：同一三角形中的边角关系请你回顾一下：同一三角形中的边角关系知识回顾：知识回顾：a+bc, a+cb, b+ca（1）三边：）三边：（2）三角：）三角： 180CBA（3）边角：）边角：大边对大大边对大角角ABCabc6课前检测课前检测在在 中，中，Rt ABCD0030 ,90 ,10ACa=求求b , c ?ACBcba7问题1：在 中，设 ABCD,ABc,BCa ACb=证明：sinsinsinabcABC=8ACBcbaAsincaAacsinBsincbBbcsinCsincc1CccsinCcBbAasinsinsin中在一个直角三角形ABC1.9bADcADCBsin,sin所以AD=csinB=bsinC, 即,sinsinCcBb同理可得,sinsinCcAaCcBbAasinsinsin即：DAcbCB图1过点A作ADBC于D,此时有2.若三角形是锐角三角形, 如图1,10由(1)(2)(3)知，结论成立CCbADsinsin ）（且CcBbAasinsinsin仿(2)可得D3.若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 此时也有cADB sin交BC延长线于D,过点A作ADBC，CAcbB图211（1 1）文字叙述文字叙述正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等的正弦的比相等. .（2）结构特点结构特点（3 3）方程的观点）方程的观点正弦定理实际上是已知其中三个正弦定理实际上是已知其中三个, ,求另一个求另一个. .能否运用向量的方法来证明正弦定理呢能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?和谐美、对称美和谐美、对称美. .正弦定理正弦定理:CcBbAasinsinsin 12AasinBbsinCcsin（2R为为ABC外接圆直径）外接圆直径）2R求证:4.有没有其他的方法证明以上的等式成立？13证明：证明：OC/cbaCBARCcRcCCCCCBA2sin2sinsin,90RCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,能否运用向量的方法能否运用向量的方法来证明正弦定理呢来证明正弦定理呢?14AcbCBDa向量法 利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明.在直角三角形中在直角三角形中15jBACabc在锐角三角形中在锐角三角形中. 的的夹夹角角为为与与，的的夹夹角角为为与与，的的夹夹角角为为与与ABjCBjACjC 90A 9090由向量加法的三角形法则由向量加法的三角形法则ABCBAC ，于于垂垂直直作作单单位位向向量量证证明明：过过点点ACjA ABjCBjACjABjCBACjj 得得的的数数量量积积两两边边同同取取与与,)90cos()90cos(90cosAABjCCBjACj 定定义义）（根根据据向向量量的的数数量量积积的的CcAaAcCasinsinsinsin 即即在在锐锐角角三三角角形形中中，可可得得垂垂直直于于点点作作过过同同理理 ,sinsin,BbCcCBjCCcBbAasinsinsin 也也有有16在钝角三角形中在钝角三角形中ABCj的的夹夹角角为为与与的的夹夹角角为为与与则则垂垂直直的的单单位位向向量量作作与与过过点点设设CBjABjjACAA,900 90 AC 90具体证明过程具体证明过程马上完成马上完成!17You try.30,45,10. 1bBCAc，ABC和边求角已知中在例18You try解：解： 105)(180CAB30sin105sin10CcBbsinsin CBcbsinsin192565.30,45,10. 1bBCAc，ABC和边求角已知中在例正弦定理应用一：正弦定理应用一：已知两角和任意一边，求其余两边和一角已知两角和任意一边，求其余两边和一角19例在例在ABC中，已知中，已知a2，b ，A45，求求B和和c。22变式变式1：在在ABC中，已知中，已知a4，b ，A45， 求求B和和c。22变式变式2：在在ABC中，已知中，已知a ，b ，A45， 求求B和和c。2233420例在例在ABC中，已知中，已知a2，b ，A45，求求B和和c。22变式变式1：在在ABC中，已知中，已知a4，b ，A45， 求求B和和c。22变式变式2：在在ABC中，已知中，已知a ，b ，A45， 求求B和和c。22334290122222sinsinsinsin:0 cBaAbBBbAa解解21例在例在ABC中，已知中，已知a2，b ，A45，求求B和和c。22变式变式1：在在ABC中，已知中，已知a4，b ，A45， 求求B和和c。22变式变式2：在在ABC中，已知中，已知a ，b ，A45， 求求B和和c。22334232224264sinsin105)(150302142222sinsinsinsin:000 ACacCBaAbBBbAa舍去舍去或或解解22例在例在ABC中，已知中，已知a2，b ，A45，求求B和和c。22变式变式1：在在ABC中，已知中，已知a4，b ，A45， 求求B和和c。22变式变式2：在在ABC中，已知中，已知a ，b ，A45， 求求B和和c。22334338822426334sinsin157512060233342222sinsinsinsin:0000 ACacCBaAbBBbAa或或或或解解23例在例在ABC中，已知中，已知a2，b ，A45，求求B和和c。22变式变式1：在在ABC中，已知中，已知a4，b ，A45， 求求B和和c。22变式变式2：在在ABC中，已知中，已知a ，b ，A45， 求求B和和c。22334正弦定理应用二：正弦定理应用二： 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角而可求其它的边和角。（要注意可能有两解）。（要注意可能有两解）24;,120,30,12)1 (.10aBAbABC求已知中在.,30,45,10)2(ABCSbCAc求已知., 2,60,30)3(00caCBA求已知25;,120,30,12)1 (.10aBAbABC求已知中在.,30,45,10)2(ABCSbCAc求已知., 2,60,30)3(00caCBA求已知点拨：点拨：已知两角和任意一边，求其余两边和一角已知两角和任意一边，求其余两边和一角, 此时的解是唯一的此时的解是唯一的.26;,)(aBAb求已知1203012100012030121sinsinsinsin,sinsin)(BAbaBbAa解：3427.,30,45,102ABCSbCAc 求求）已已知知（,sinsinCcBb 解解：)(1325,105)3045(180)(180 CAB)26(530sin105sin10sinsin CBcbAbcSABCsin21 45sin10)26(521 28., 2,60,30)3(caCBA求求已已知知 ,sinsinCcAa又60,30 CBA:解150 CB45 C2230452sinsinsinsinACac29;,60, 1, 3) 1 (. 2CAaBcbABC，和求已知中在。求已知ABba,45,22,32)2(0(3)20,28,120 ,.abA已知解这个三角形.30;,60, 1, 3) 1 (. 2CAaBcbABC，和求已知中在。求已知ABba,45,22,32)2(0(3)20,28,120 ,.abA已知解这个三角形点拨点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形已知两边和其中一边的对角解三角形时时,通常要用到通常要用到三角形内角定理和定理或大边三角形内角定理和定理或大边对大角定理对大角定理等三角形有关性质等三角形有关性质.31;,60, 1, 3) 1 (. 2CAaBcbABC，和求已知中在9030,60, ACCBCBcb，为为锐锐角角，,sinsinCcBb 解解：21360sin1sinsin bBcC222 bca32.,45,22,32)2(ABba求求已已知知 (3)20,28,120 ,.abA已知解这个三角形bBaAsinsin 解解：232245sin32 )(,大大边边对对大大角角CAba 12060 或或 AsinsinbABa解 ：20120sin28 11037 .本本题题无无解解33 已知两边和其中一边的对角，试讨论三角形的解的情况已知a、b、A，作三角形34探索发现探索发现 已知两边和其中一边对角解斜三角形已知两边和其中一边对角解斜三角形 CCABAbabaa1B2Ba=bsinA 一解bsinAab 两解CAbaabsinA 无解CABbaab 一解35归纳总结：归纳总结： 已知两边和其中一边对角已知两边和其中一边对角解斜三角形解斜三角形有两解或一解或无解三种情况有两解或一解或无解三种情况CCABAbabaa1B2Ba=bsinA 一解bsinAab 两解CAbaabsinA 无解CABbaab 一解absinA一解一解一解两解两解无解无解36（1）A为锐角为锐角AbaBCAB2baB1CabsinAab(一解）一解）baABCbaCBAab(一解）一解）38若若A A为锐角时为锐角时: :锐角一解一锐、一钝二解直角一解无解babaAbAbaAbasinsinsinn若若A A为直角或钝角时为直角或钝角时: :锐角一解无解baba3940413练习练习2、在、在 ABC中，若中，若 a=2bsinA，则，则B( ) A、 B、 C、 D、36653326或或或或练习练习1、在、在 ABC中，若中，若A：B：C=1：2：3，则，则 a:b:c( ) A、1:2:3 B、3:2:1 C、1: :2 D、2: :133自我提高！自我提高！A、等腰三角形、等腰三角形 B、直角三角形、直角三角形 C、等腰直角三角形、等腰直角三角形 D、不能确定、不能确定)(,sinsinsin,. 3222ABCCBAABC的的形形状状是是则则若若中中在在练练习习 423练习练习2、在、在 ABC中，若中，若 a=2bsinA，则，则B( ) A、 B、 C、 D、36653326或或或或练习练习1、在、在 ABC中，若中，若A：B：C=1：2：3，则，则 a:b:c( ) A、1:2:3 B、3:2:1 C、1: :2 D、2: :133自我提高！自我提高！A、等腰三角形、等腰三角形 B、直角三角形、直角三角形 C、等腰直角三角形、等腰直角三角形 D、不能确定、不能确定)(,sinsinsin,. 3222ABCCBAABC的的形形状状是是则则若若中中在在练练习习 CCB43ABC （3）在）在 中，若中，若 ，则，则 是是( ) A等腰三角形等腰三角形 B等腰直角三角形等腰直角三角形 C直角三角形直角三角形 D等边三有形等边三有形2cos2cos2cosCcBbAa ABC 44ABC （3）在）在 中，若中，若 ，则，则 是是( ) A等腰三角形等腰三角形 B等腰直角三角形等腰直角三角形 C直角三角形直角三角形 D等边三有形等边三有形2cos2cos2cosCcBbAa ABC D451Aa7,b14,A30 ,Ba30,b25,A150 , a6,b9,A45 ,Db9,c10,B60 ,C、下列判断中正确的是（ ）、有两解、有一解、有两解、无解四、课堂练习四、课堂练习： 461Aa7,b14,A30 ,Ba30,b25,A150 , a6,b9,A45 ,Db9,c10,B60 ,C、下列判断中正确的是（ ）、有两解、有一解、有两解、无解B四、课堂练习四、课堂练习： 4748二种二种 平面几何法平面几何法 向量法向量法定理定理应用应用方法方法 课时小结课时小结二个二个 已知两角和一边已知两角和一边（只有一解）（只有一解） 已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角 （有一解，两解，无解）（有一解，两解，无解） 一个一个 正弦定理正弦定理CcBbAasinsinsin49P 习题 1, 2, 4思考题思考题:.,无无解解两两解解一一解解式式有有它它们们之之间间满满足足什什么么关关系系及及角角中中的的两两边边在在AbaABC