【江苏版】高三数学 三轮总动员：专题10理科附加解析版

【方法引领】【举例说法】一、离散型随机变量及超几何分布例1某品牌汽车4S店经销A，B，C三种排量的汽车，其中A，B，C三种排量的汽车依次有5，4，3款不同车型.某单位计划购买该品牌3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能.(1)求该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车的概率；(2)记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X，求X的分布列及数学期望.【分析】(1)古典概型，利用组合数公式即可.(2)先确定随机变量X的所有可能取值，然后求出各取值的概率，列出分布列.(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3.则P(X=1)=，P(X=3)=，P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=.所以随机变量X的概率分布列为：X123P数学期望E(X)=1+2+3=.【点评】求离散型随机变量分布列的步骤：(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i=1，2，3，n)；(2)求出各取值的概率P(X=xi)=pi；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.【练习】某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2.P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=.所以随机变量X的分布列为：X012P随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2=1.二、离散型随机变量及二项分布例2某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测.检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂.现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：得分60，70)70，80)80，90)90，100甲5103411乙812319 (1)试分别估计产品甲、乙下生产线时为合格品的概率；(2)生产一件产品甲，若是合格品可盈利100元，若是不合格品则亏损20元；生产一件产品乙，若是合格品可盈利90元，若是不合格品则亏损15元.在(1)的前提下：记X为生产1件产品甲和1件产品乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；求生产5件产品乙所获得的利润不少于300元的概率.P(X=190)=，P(X=85)=，P(X=70)=，P(X=-35)=.所以随机变量X的分布列为：X1908570-35P所以E(X)=190+85+70+(-35)=125.设生产的5件产品乙中正品有n件，则次品有(5-n)件，依题意，90n-15(5-n)300，解得n，取n=4或n=5，设“生产5件产品乙所获得的利润不少于300元”为事件A，则P(A)=+=.【练习】已知一个口袋中装有n个红球(n1且nN*)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则为中奖，否则不中奖.(1)当n=3时，设三次摸球中(每次摸球后放回)中奖的次数为X，求X的分布列；(2)记三次摸球中(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P，当n取多少时，P最大?【解答】(1)当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率P=.所以随机变量X的可能取值为0，1，2，3，则P(X=0)=；P(X=1)=；P(X=2)=；P(X=3)=.所以随机变量X的分布列为：X0123P即n2-3n+2=0，解得n=1或n=2.三、离散型随机变量的均值与方差例3甲、乙两名射手各射击了10发子弹，其中甲击中的环数与次数如下表：环数5678910次数111124乙射击的概率分布列如下表：环数78910次数0.20.3P0.1 (1)若甲、乙各打一枪，求击中8环的概率及P的值；(2)分析甲、乙射击环数的数学期望与方差，比较甲、乙射击水平的优劣.【分析】利用古典概型求出概率，并利用数学期望和方差比较优劣.甲射击环数的方差为：V(X)=(5-8.4)20.1+(6-8.4)20.1+(7-8.4)20.1+(8-8.4)20.1+(9-8.4)20.2+(10-8.4)20.4=3.04.乙射击环数的方差为：V(X)=(7-8.4)20.2+(8-8.4)20.3+(9-8.4)20.4+(10-8.4)20.1=0.84.所以甲、乙两人射击的平均水平相当，但乙比较稳定，故乙射击水平优于甲.【点评】要能正确地运用数学期望与方差的计算公式，同时理解离散型随机变量的数学期望与方差是对随机变量的简明描写.【练习】某投资公司在年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.【解答】若按“项目一”投资，设获利1万元，则1的分布列为：1300-150P所以E(1)=300+(-150)=200(万元).若按“项目二”投资，设获利2万元，则2的分布列为：2500-3000P所以E(2)=500+(-300)+0=200(万元).又D(1)=(300-200)2+(-150-200)2=35 000，D(2)=(500-200)2+(-300-200)2+(0-200)2=140 000，所以E(1)=E(2)，D(1)D(2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资. 四、利用数学归纳法证明不等式例4已知函数f(x)=2x-3x2，设数列an满足a1=，an+1=f(an).(1)求证：nN*，都有0an；(2)求证：+4n+1-4.【点拨】第(2)问尝试将右边转化为n项的和的形式.则当n=k+1时，ak+1=f(ak)=2ak-3=-3=-3+，于是-ak+1=3.因为0ak，所以03，即0-ak+1，可得0ak+1，所以当n=k+1时，不等式也成立.由可知，对任意的正整数n，都有0an.(2)由(1)可得-an+1=3，两边同时取以3为底的对数，可得log3=1+2log3，化简为1+log3=2，所以数列是以log3为首项、2为公比的等比数列.所以1+log3=2n-1log3，化简求得-an=，所以=3.因为n2时，2n-1=+1+n-1=n，当n=1时，2n-1=1，所以nN*时，2n-1n，所以=334n，因为+=3(+)3(41+42+4n)=4n+1-4，所以+4n+1-4.【点评】对于不等式的证明问题，常用的方式就是将不等式的左、右两边都转化为相同项数的和，然后采用逐一比较的方法来加以证明.而与自然数有关的命题的证明，可以考虑应用数学归纳法来加以证明.【练习】已知函数f(x)=ax-x2的最大值不大于，又当x时，f(x).(1)求a的值；(2)设0a1，an+1=f(an)，nN*，求证：an.所以a21.又x时，f(x)，所以即解得a1.$.又因为a21，所以a=1.(2)用数学归纳法证明：当n=1时，0a1，结论显然成立.因为当x时，0f(x)，所以0a2=f(a1).故n=2时，原不等式也成立.假设当n=k(k2，kN*)时，不等式0ak成立.由(1)知a=1，f(x)=x-x2，因为f(x)=x-x2的对称轴为直线x=，所以当x时，f(x)为增函数.所以由0ak，得0f(ak)f.于是，0ak+1=f(ak)-+-=-.所以当n=k+1时，原不等式也成立.根据知对任意的nN*，不等式an成立. #五、归纳猜想证明例5已知数列an的各项均为正数，bn=nan(nN*)，e为自然对数的底数.计算，由此推测计算的公式，并给出证明.【分析】利用bn=n1+nan(nN*)得到=2，=32，=43，从而推测出=(n+1)n，再用数学归纳法进行证明.=323=(3+1)3=43.由此推测：=(n+1)n.下面用数学归纳法证明：当n=1时，左边=右边=2，等式成立.假设当n=k(kN*，k1)时，等式成立，即=(k+1)k.则当n=k+1时，bk+1=(k+1)1+k+1ak+1，由归纳假设可得=(k+1)k(k+1)=(k+2)k+1，所以当n=k+1时，等式也成立.根据可知猜想对一切正整数n都成立.【点评】(1)由特殊到一般进行推测时，结论必需要由3项以上的特殊项推出.(2)用数学归纳法证明等式时，要注意第(1)步中验证n0的值，如本题要取n=1，在第2步的证明中应在归纳假设的基础上推证n=k+1时等式也成立，但必须用上述归纳假设. 【练习】在数列an中，已知a1=20，a2=30，an+1=3an-an-1(nN*，n2).(1)当n=2，3时，分别求-an-1an+1的值.(2)判断-an-1an+1(n2)是否为定值，并给出证明.(2)猜想：-an-1an+1=-500(n2).下面用数学归纳法证明：当n=2时，结论成立.假设当n=k(k2，kN*)时，结论成立，即-ak-1ak+1=-500，将ak-1=3ak-ak+1代入上式，可得-3akak+1+=-500.则当n=k+1时，-akak+2=-ak(3ak+1-ak)=-3akak+1+=-500.故当n=k+1时结论也成立，根据可得-an-1an+1=-500(n2)为定值.六、利用向量求角例6如图(1)，已知在正方形ABCD和矩形ACEF中，AB=，CE=1，CE平面ABCD.(1)求异面直线DF与BE所成角的余弦值；(2)求二面角A-DF-B的大小.( (1)( (2)所以直线DF与BE所成角的余弦值为.(2)由题意知平面ADF的一个法向量为m=(，0，0).设平面BDF的法向量为n=(x，y，z).又=(，0，1)，=(0，1)，由得取x=1，则y=1，z=-，所以n=(1，1，-)，所以cos=.又因为0，所以=.由图可知二面角A-DF-B为锐二面角，所以二面角A-DF-B的大小为.【练习】如图(1)，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SA平面ABCD，AB=1，AD=AS=2，P是棱SD上一点，且SP=PD.(1)求异面直线AB与CP所成角的余弦值；(2)求二面角A-PC-D的余弦值.( (1)【解答】(1)分别以AB，AD，AS为x轴、y轴、z轴建立如图(2)所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，S(0，0，2).$. ( (2)所以点P的坐标为.则=，=(1，0，0)，设直线AB与CP所成的角为，则cos =.(2)设平面APC的法向量为m=(x1，y1，z1)，由(1)知=，=(1，2，0)，所以令y1=-2，则x1=4，z1=1，m=(4，-2，1).设平面SCD的法向量为n=(x2，y2，z2)，由于=(1，0，0)，=(0，-2，2)，所以令y2=1，则z2=1，n=(0，1，1).设二面角A-PC-D的大小为，由于cos=-，又由m，n的方向知为锐角，所以cos =-cos=.即二面角A-PC-D的余弦值为.七、利用向量解决探索性问题例7如图(1)，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面ADD1A1底面ABCD，D1A=D1D=，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD=2AB=2BC=2.在平面ABCD内找一点F，使得D1F平面AB1C；$. ( (1)( (2)因为D1F平面AB1C，所以得a=b=，所以F，即F为AC的中点.所以存在AC中点F，使得D1F平面AB1C.【练习】如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=CD，E是PC的中点.在棱PB上是否存在点F，使得PB平面DEF?证明你的结论.假设棱PB上存在点F，使得PB平面DEF，设=(0n2(nN*)成立.下面用数学归纳法证明：当n=1时，左边=21+2=4，右边=1，所以左边右边，所以原不等式成立.当n=2时，左边=22+2=6，右边=22=4，所以左边右边；当n=3时，左边=23+2=10，右边=32=9，所以左边右边.假设n=k(k3且kN*)时，不等式成立，即2k+2k2.那么当n=k+1时，2k+1+2=22k+2=2(2k+2)-22k2-2.又因为2k2-2-(k+1)2=k2-2k-3=(k-3)(k+1)0，即2k2-2(k+1)2，故2k+1+2(k+1)2成立.根据和，知原不等式对于任何nN*都成立.6. 已知f(n)=1+，g(n)=-，nN*.(1)当n=1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明.【解答】(1)当n=1时，f(1)=1，g(1)=1，所以f(1)=g(1)；当n=2时，f(2)=，g(2)=，所以f(2)g(2)；当n=3时，f(3)=，g(3)=，所以f(3)g(3).(2)由(1)猜想f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明.当n=1，2，3时，不等式显然成立；假设当n=k(k3，kN*)时不等式成立，即1+-.那么当n=k+1时，f(k+1)=f(k)+-+.因为-=-=0，所以f(k+1)-=g(k+1).由可知，对一切nN*，都有f(n)g(n)成立.7. 将正整数作如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1+S3+S5+S2n-1的结果，并用数学归纳法证明.S1=1，S2=2+3=5，S3=4+5+6=15，S4=7+8+9+10=34，S5=11+12+13+14+15=65，S6=16+17+18+19+20+21=111，下面用数学归纳法证明：当n=1时，S1=1=14，等式成立.假设当n=k(kN*)时等式成立，即S1+S3+S5+S2k-1=k4，那么，当n=k+1时，S1+S3+S5+S2k-1+S2k+1=k4+(2k2+k+1)+(2k2+k+2)+(2k2+k+2k+1)=k4+(2k+1)(2k2+2k+1)=k4+4k3+6k2+4k+1=(k+1)4，所以当n=k+1时，等式也成立.根据和可知对于任意的nN*，S1+S3+S5+S2n-1=n4都成立.8. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC，AB=2，AC=4，AA1=2，=(R).(1)若=1，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2)若二面角B1-A1C1-D的大小为60，求实数的值.设平面A1C1D的法向量为n1=(x，y，z)，则得令z=1，则n1=(2，0，1).又cos=，所以DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为.(2)因为=，设D(x，y，0)，所以=(x-2，y，0)，=(-x，4-y，0)，所以x-2=-x，y=(4-y)，即x=，y=.所以D，所以=(0，4，0)，=，设平面A1C1D的法向量为n2=(a，b，c)，则即令c=1，则n2=(+1，0，1).又平面A1B1C1的一个法向量为n3=(0，0，1)，由题意得|cos|=，所以=，解得=-1或=-1(不合题意，舍去)，所以实数的值为-1.9. 如图(1)，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1E=CF=1.(1)求异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；(2)求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值.( (1)( (2)因为棱长为3，A1E=CF=1，则D(0，0，0)，A(3，0，0)，B(3，3，0)，D1(0，0，3)，C1(0，3，3)，E(3，0，2)，F(0，3，1).所以=(-3，3，3)，=(3，0，-1)，所以cos=-，所以异面直线AC1与D1E所成角的余弦值是.(2)设平面BED1F的法向量是n=(x，y，z)，又因为=(0，-3，2)，=(-3，0，1)，所以即令z=3，则x=1，y=2，所以n=(1，2，3).又=(-3，3，3)，所以cos=，所以直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值为.10. 如图(1)，在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，点E是线段PC的中点.(1)求异面直线AP与BE所成角的大小；(2)若点F在线段PB上，使得二面角F-DE-B的正弦值为，求的值.( (1)( (2)因为E是PC的中点，所以E(0，1，1).所以=(-2，0，2)，=(-2，-1，1)，所以cos=，从而=.因此异面直线AP与BE所成角的大小为.(2)由(1)可知=(0，1，1)，=(2，2，0)，=(2，2，-2).设=，则=(2，2，-2)，从而=+=(2，2，2-2).设m=(x1，y1，z1)为平面DEF的法向量，则即取z1=，则y1=-，x1=2-1.所以m=(2-1，-，)为平面DEF的一个法向量.设n=(x2，y2，z2)为平面DEB的法向量，则即取x2=1，则y2=-1，z2=1.所以n=(1，-1，1)为平面DEB的一个法向量.因为二面角F-DE-B的正弦值为，所以二面角F-DE-B的余弦值的绝对值为，即|cos|=，所以=，=，化简得42=1，因为点F在线段PB上，所以01，所以=，即=. 欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org