2018年高考数学 专题42 巧解圆锥曲线中的定点和定值问题解题模板

专题42 巧解圆锥曲线中的定点和定值问题【高考地位】圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考查的内容和热点，知识综合性较强，对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用定值问题与定点问题是这类题目的典型代表，为了提高同学们解题效率，特别是高考备考效率，本文列举了一些典型的定点和定值问题，以起到抛砖引乇的作用【方法点评】方法一 定点问题求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求，再用一般化方法证明【例1】已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆过点，直线交轴于，且为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的顶点，过点分别作出直线交椭圆于两点，设这两条直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点【答案】（1）；（2）证明见解析. 考点：直线与圆锥曲线位置关系【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解【变式演练1】【2018贵州省遵义市模拟】已知点P是圆F1：（x1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点G（0， ）的动直线l与点的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）由圆F1：（x1）2+y2=8，得F1（1，0），则F2（1，0），由题意得 ，点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆， 点M的轨迹C的方程为； 方法二 定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题模板有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值【例2】已知抛物线，直线与交于，两点，且，其中为坐标原点.（1）求抛物线的方程；（2）已知点的坐标为（-3,0），记直线、的斜率分别为，证明：为定值.【答案】（1）；（2）详见解析 考点：1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系. 【变式演练2】【2018河南郑州市第一中学模拟】设， 是椭圆上的两点，椭圆的离心率为，短轴长为2，已知向量， ，且， 为坐标原点.（1）若直线过椭圆的焦点，（ 为半焦距），求直线的斜率的值；（2）试问： 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.【解析】（1）由题可得： ， ，所以，椭圆的方程为设的方程为： ，代入得： ， ， ，即： 即，解得： 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的定值问题，解题时要注意解题技巧的运用，如常用的设而不求，整体代换的方法；探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个这个值与变量无关；直接推理、计算，借助韦达定理，结合向量所提供的坐标关系，然后经过计算推理过程中消去变量，从而得到定值. 【高考再现】1. 【2017课标1，理20】已知椭圆C：（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点. 【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简.2【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现ACBC的情况？说明理由；（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.【答案】（1）不会；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）设，由ACBC得；由韦达定理得，矛盾，所以不存在（2）可设圆方程为,因为过，所以 ，令 得，即弦长为3.试题解析：（1）设，则是方程的根，所以，则，所以不会能否出现ACBC的情况。【考点】圆一般方程，圆弦长【名师点睛】：直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题3.【2017北京，文19】已知椭圆C的两个顶点分别为A(2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为（）求椭圆C的方程；（）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：BDE与BDN的面积之比为4:5【答案】（） ；（）详见解析.（）设，则.由题设知，且.直线的斜率，故直线的斜率.所以直线的方程为.直线的方程为.联立解得点的纵坐标.由点在椭圆上，得. 所以.又，所以与的面积之比为.【考点】1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系. 4.【2016高考北京文数】（本小题14分）已知椭圆C：过点A（2,0），B（0,1）两点.（I）求椭圆C的方程及离心率；（）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.【答案】（）；（）见解析. 【解析】 考点：椭圆方程，直线和椭圆的关系，运算求解能力.【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 5. 【2016高考山东文数】(本小题满分14分)已知椭圆C:（ab0）的长轴长为4，焦距为2.（I）求椭圆C的方程； ()过动点M(0，m)(m0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k，证明为定值.(ii)求直线AB的斜率的最小值.【答案】() .()(i)见解析；(ii)直线AB 的斜率的最小值为 . 【解析】此时，所以为定值. 所以直线AB 的斜率的最小值为 .考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式. 【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到参数的解析式或方程是关键，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分析问题解决问题的能力等.6. 【2016高考四川文科】（本小题满分13分）已知椭圆E：的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上.()求椭圆E的方程；()设不过原点O且斜率为2(1)的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：【答案】（1）；（2）证明详见解析.【解析】所以.又.所以.考点：椭圆的标准方程及其几何性质. 【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得，再把用表示出来，并代入刚才的，这种方法是解析几何中的“设而不求”法可减少计算量，简化解题过程7. 【2016年高考北京理数】（本小题14分）已知椭圆C： （）的离心率为 ，的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.求证：为定值.【答案】（1）；（2）详见解析. 考点：1.椭圆方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 8. 【2016年高考四川理数】（本小题满分13分）已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆E有且只有一个公共点T.（）求椭圆E的方程及点T的坐标；（）设O是坐标原点，直线l平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P证明：存在常数，使得，并求的值.【答案】（），点T坐标为（2,1）；（）.（II）由已知可设直线 的方程为，有方程组 可得所以P点坐标为（ ），. 考点：椭圆的标准方程及其几何性质.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得，再把用表示出来，并代入刚才的，这种方法是解析几何中的“设而不求”法可减少计算量，简化解题过程9.【2017北京，文19】已知椭圆C的两个顶点分别为A(2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为（）求椭圆C的方程；（）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：BDE与BDN的面积之比为4:5【答案】（） ；（）详见解析.（）设，则.由题设知，且.直线的斜率，故直线的斜率.所以直线的方程为.直线的方程为.联立解得点的纵坐标.【反馈练习】1. 【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知椭圆： （）的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于， 两点，且，直线： 与椭圆交于， 两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点，若是一个与无关的常数，求实数的值.【答案】（1）；（2）1【解析】试题分析：（1）由题意， ，又，求得椭圆方程；（2）联立方程组，得到韦达定理， ，所以所以，解得. （2）设， ，联立方程消元得， ，又是一个与无关的常数，即， .，.当时， ，直线与椭圆交于两点，满足题意. 2. 【2018北京大兴联考】已知椭圆的短轴端点到右焦点的距离为2（）求椭圆的方程；（）过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，若， ，求证： 为定值【答案】(1) ;(2)详见解析. 方法一：因为，所以. 同理，且与异号， 所以 . 所以， 为定值. 方法三：由题意直线过点，设方程为 ， 将代人得点坐标为， 由 消元得， 设， ，则且， 因为，所以. 同理，且与异号， 所以 . 又当直线与轴重合时， ， 所以， 为定值.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线过点，在设方程时，往往设为 ，可减少讨论该直线是否存在斜率.3. 【2018云南昆明一中一模】已知动点满足： .（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点的直线与曲线交于两点，点关于轴的对称点为（点与点不重合），证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标.【答案】（1）；（2）直线过定点 ，证明见解析. 4. 【2018广西柳州摸底联考】已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.（1）求该抛物线的方程；（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.【答案】（1）；（2）定点【解析】试题分析：（1）利用点斜式设直线直线的方程,与抛物线联立方程组,结合韦达定理与弦长公式求,再根据解得.（2）先设直线方程, 与抛物线联立方程组,结合韦达定理化简，得或,代入方程可得直线过定点 （2）由（1）可得点，可得直线的斜率不为0，设直线的方程为： ，联立，得，则.设，则. 即，得： ，即或，代人式检验均满足，直线的方程为： 或.直线过定点（定点不满足题意，故舍去）.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.5. 【2018河南洛阳联考】如图，点是抛物线： （）的焦点，点是抛物线上的定点，且，点， 是抛物线上的动点，直线， 斜率分别为， （1）求抛物线的方程；（2）若，点是抛物线在点， 处切线的交点，记的面积为，证明为定值【答案】（1）（2）试题解析：（1）设，由题知，所以 ，所以代入（）中得，即，所以抛物线的方程是 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.6. 【2018湖北八校联考】已知抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为（1）若，过点, 的直线与抛物线相交于另一点，求的值；（2）若直线与抛物线相交于两点，与圆相交于两点， 为坐标原点， ，试问：是否存在实数，使得的长为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）时， ， 的长为定值（2）设直线的方程为，代入抛物线方程可得，设 ，则， ，由得： ，整理得，将代入解得，直线，圆心到直线l的距离，显然当时， ， 的长为定值点睛：本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，难度中档；抛物线上点的特征，抛物线上任意一点到焦点的距离和到准线的距离相等，即为，两直线垂直即可转化为斜率也可转化为数量积为0，直线与圆相交截得的弦长的一半，圆的半径以及圆心到直线的距离可构成直角三角形.7. 【2018黑龙江齐齐哈尔八中二模】以边长为的正三角形的顶点为坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，过抛物线的焦点的直线过交拋物线于两点.（1）求抛物线的方程；（2）求证： 为定值；（3）求线段的中点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）试题解析：（1）因为正三角形和抛物线都是轴对称图形，且三角形的一个顶点扣抛物线的顶点重合，所以，三角形的顶点关于轴对称，如图所示.由可得，.抛物线的方程为. 8. 【2018湖南株洲两校联考】已知椭圆E: 经过点P(2,1)，且离心率为（）求椭圆的标准方程；（）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线PM、PN分别交椭圆于A，B探求直线AB是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由【答案】（1）；（2）直线AB过定点Q（0，2）.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；（2）先由特殊情况得到结果，再考虑一般情况，联立直线和椭圆得到二次函数，根据韦达定理，和向量坐标化的方法，得到结果。（）当M，N分别是短轴的端点时，显然直线AB为y轴，所以若直线过定点，这个定点一点在y轴上， 当M，N不是短轴的端点时，设直线AB的方程为y=kx+t，设A（x1，y1）、B（x2，y2），由消去y得（1+4k2）x2+8ktx+4t28=0，则=16（8k2t2+2）0， x1+x2=，x1x2=， 又直线PA的方程为y1=（x2），即y1=（x2），因此M点坐标为（0， ），同理可知：N（0， ），由，则+=0，化简整理得：（24k）x1x2（24k+2t）（x1+x2）+8t=0，则（24k）（24k+2t）（）+8t=0， 当且仅当t=2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，2）.9. 【2018广西南宁联考】已知抛物线上一点到焦点的距离为.（l）求抛物线的方程；（2）抛物线上一点的纵坐标为1，过点的直线与抛物线交于两个不同的点（均与点不重合），设直线的斜率分别为，求证：为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由焦半径定义和点在抛物线上建立两个方程，两个未知数，可求得抛物线方程。（2）由（1）知抛物线的方程，及，设过点的直线的方程为, 10. 【2018重庆市第一中学模拟】已知椭圆的短轴端点和焦点组成的四边形为正方形，且椭圆过点（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形的顶点都在椭圆上，且对角线、过原点，若，求证：四边形的面积为定值【解析】（1）由题意， ，又，解得， ，所以椭圆的标准方程为（2）设直线的方程为，设， ，联立得， ， ， ，设原点到直线的距离为，则 ，即四边形的面积为定值11. 【2018黑龙江齐齐哈尔市第八中学模拟】已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点与拋物线交于两点， 为坐标原点， 的面积为.（1）求；（2）设点为直线与拋物线在第一象限的交点，过点作的斜率分别为的两条弦，如果，证明直线过定点，并求出定点坐标. 而直线的方程为，因为也抛物线上，所以代入上述方程并整理得，.令，则，代入的方程得，整理得，若上式对任意变化的恒成立，则，解得 故直线经过定点.12. 在平面直角坐标系中，已知圆，椭圆， 为椭圆的右顶点，过原点且异于轴的直线与椭圆交于两点， 在轴的上方，直线与圆的另一交点为，直线与圆的另一交点为， （1）若，求直线的斜率；（2）设与的面积分别为，求的最大值. 44