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第第8 8节函数与方程节函数与方程知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破易混易错辨析易混易错辨析知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读【教材导读】 1.1.当函数当函数y=f(xy=f(x) )在在(a,b(a,b) )内有零点时内有零点时, ,是否一定有是否一定有f(a)f(bf(a)f(b)0?)0?提示提示: :当函数当函数y=f(xy=f(x) )在在(a,b(a,b) )内有零点时内有零点时, ,不一定有不一定有f(a)f(a)f(bf(b)0,)0.f(1)0.2.2.函数函数y=f(xy=f(x) )在在a,ba,b 上图象是连续不断的、单调的上图象是连续不断的、单调的, ,且且f(a)f(a)f(bf(b)0,)0,那么它在那么它在a,ba,b 上有多少个零点上有多少个零点? ?提示提示: :只有只有1 1个零点个零点. .知识梳理知识梳理 1.1.函数的零点函数的零点函数零点的概念函数零点的概念对于函数对于函数y=f(xy=f(x),),把使把使 的实数的实数x x叫做函叫做函数数y=f(xy=f(x) )的零点的零点方程的根与函数方程的根与函数零点的关系零点的关系方程方程f(xf(x)=0)=0有有 函数函数y=f(xy=f(x) )的图象的图象与与 有交点有交点函数函数y=f(xy=f(x) )有有 . .函数零点存在的函数零点存在的判定方法判定方法函数函数f(xf(x) )图象在图象在a,ba,b 上连续不断上连续不断, ,若若 , ,则则y=f(xy=f(x) )在在(a,b(a,b) )内存在零点内存在零点函数存在零点的函数存在零点的判断方法判断方法解方程解方程f(xf(x)=0)=0利用端点函数值异号判断利用端点函数值异号判断数形结合数形结合f(xf(x)=0)=0实数根实数根x x轴轴零点零点 f(a)f(bf(a)f(b)0)0【重要结论【重要结论】 1.1.若函数若函数y=f(xy=f(x) )在闭区间在闭区间a,ba,b 上的图象是连续不断的一条曲线上的图象是连续不断的一条曲线, ,并且有并且有f(a)f(bf(a)f(b)0,)0,则函数则函数y=f(xy=f(x) )一定有零点一定有零点. .特别是特别是, ,当当y=f(xy=f(x) )在在a,ba,b 上单上单调时调时, ,它仅有一个零点它仅有一个零点. .2.2.由函数由函数y=f(xy=f(x) )在闭区间在闭区间a,ba,b 上有零点不一定能推出上有零点不一定能推出f(a)f(bf(a)f(b)0,)0,如如图所示图所示, ,所以所以f(a)f(bf(a)f(b)0)0是是y=f(xy=f(x) )在闭区间在闭区间a,ba,b 上有零点的充分不必上有零点的充分不必要条件要条件. .夯基自测夯基自测C C B B C C3.3.给出下列命题给出下列命题: :函数函数f(xf(x)=x)=x2 2-1-1的零点是的零点是(-1,0)(-1,0)和和(1,0);(1,0);函数函数y=f(xy=f(x) )在区间在区间(a,b(a,b) )内有零点内有零点( (函数图象连续不断函数图象连续不断),),则一定有则一定有f(a)f(a)f(bf(b)0;)0;二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)在在b b2 2-4ac0-4ac0时没有零点时没有零点; ;若函数若函数f(xf(x) )在在(a,b(a,b) )上单调且上单调且f(a)f(a)f(bf(b)0,)0.f(2)0.正确正确. .当当b b2 2-4ac0-4ac0时时, ,二次函数图象与二次函数图象与x x轴无交点轴无交点, ,从而二次函数没有零点从而二次函数没有零点. .正确正确. .由已知条件由已知条件, ,数形结合可得数形结合可得f(xf(x) )与与x x轴在区间轴在区间a,ba,b 上有且仅有一个上有且仅有一个交点交点. .4.4.函数函数f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的偶函数上的偶函数, ,且满足且满足f(x+2)=f(xf(x+2)=f(x).).当当x0,1x0,1时时,f(x,f(x)=2x.)=2x.若在区间若在区间-2,3-2,3上方程上方程ax+2a-f(x)=0ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实恰有四个不相等的实数根数根, ,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是.考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 函数零点所在区间函数零点所在区间答案答案: :(1)D (1)D 答案答案: : (2)(1,2) (2)(1,2)反思归纳反思归纳 确定函数确定函数f(x)f(x)的零点所在区间的常用方法的零点所在区间的常用方法(1)(1)利用解方程利用解方程: :当对应方程易解时当对应方程易解时, ,可通过解方程确定方程是否有根落在可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上给定区间上. .(2)(2)利用函数零点存在的判定方法利用函数零点存在的判定方法: :首先看函数首先看函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图上的图象是否连续象是否连续, ,再看是否有再看是否有f(a)f(a) f(b)0.f(b)0.若有若有, ,则函数则函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内内必有零点必有零点. .(3)(3)数形结合法数形结合法: :通过画函数图象通过画函数图象, ,观察图象与观察图象与x x轴在给定区间上是否有交点轴在给定区间上是否有交点来判断来判断. .提醒提醒: :在一个区间上单调的函数在该区间内至多有一个零点在一个区间上单调的函数在该区间内至多有一个零点, ,在确定函数零在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性点的唯一性时往往要利用函数的单调性. .解析解析: :(1)(1)因为因为f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上为单调增函数上为单调增函数, ,且且f(1)=ln 2-20,f(2)=f(1)=ln 2-20,ln 3-10,所以函数的零点所在的大致区间是所以函数的零点所在的大致区间是(1,2).(1,2).故选故选B.B.答案答案: : (1)B (1)B 答案答案: : (2)-3 (2)-3或或2 2考点二考点二函数零点个数的判断函数零点个数的判断 解析解析: :(1)(1)函数函数y=f(x)-g(xy=f(x)-g(x) )的零点个数就是函数的零点个数就是函数y=f(xy=f(x) )与与y=g(xy=g(x) )图象的交图象的交点个数点个数. .在同一坐标系中画出这两个函数的图象在同一坐标系中画出这两个函数的图象, ,如图如图. .由图可得这两个函数的交点为由图可得这两个函数的交点为A,O,B,C,D,E,A,O,B,C,D,E,共共6 6个点个点. .所以函数所以函数y=f(x)-g(xy=f(x)-g(x) )共有共有6 6个零点个零点. .故选故选B.B.反思归纳反思归纳 判断函数判断函数y=f(xy=f(x) )零点个数的常用方法零点个数的常用方法(1)(1)直接法直接法. .令令f(xf(x)=0,)=0,则方程实根的个数就是函数零点的个数则方程实根的个数就是函数零点的个数. .(2)(2)零点存在的判定方法零点存在的判定方法. .判断函数在区间判断函数在区间a,ba,b 上是连续不断的曲线上是连续不断的曲线, ,且且f(a)f(a)f(bf(b)0,)0 x0时时,f(x,f(x)=e)=ex x+x-3,+x-3,则则f(xf(x) )的零点个数为的零点个数为( () )(A)1(A)1(B)2(B)2(C)3(C)3(D)4(D)4解析解析: :因为函数因为函数f(xf(x) )是定义域为是定义域为R R的奇函数的奇函数, ,所以所以f(0)=0,f(0)=0,所以所以0 0是函数是函数f(xf(x) )的一个零点的一个零点. .当当x0 x0时时, ,令令f(xf(x)=e)=ex x+x-3=0,+x-3=0,则则e ex x=-x+3.=-x+3.分别画出函数分别画出函数y=ey=ex x和和y=-x+3y=-x+3的图象的图象, ,如图所示如图所示, ,有一个交点有一个交点, ,所以函数所以函数f(xf(x) )在在(0,+)(0,+)上有一个零点上有一个零点. .又根据对称性知又根据对称性知, ,当当x0 x0时函数时函数f(xf(x) )也有一个零点也有一个零点. .综上所述综上所述,f(x,f(x) )的零点个数为的零点个数为3 3个个. .故选故选C.C.函数零点的应用函数零点的应用 考点三考点三 解析解析: :函数函数f(xf(x) )在在(1,2)(1,2)内单调内单调, ,结合条件可知结合条件可知f(1)f(2)0,f(1)f(2)0,即即(2-2-a)(4-(2-2-a)(4-1-a)0,1-a)0,即即a(a-3)0,a(a-3)0,解得解得0a3.0a3.故选故选C.C.反思归纳反思归纳 根据已知函数的零点或方程的根所在区间求参数的取根据已知函数的零点或方程的根所在区间求参数的取值范围值范围, ,先判断函数的单调性先判断函数的单调性, ,再利用零点存在性定理再利用零点存在性定理, ,建立参数所建立参数所满足的不等式满足的不等式, ,解不等式解不等式, ,即得参数的取值范围即得参数的取值范围. .答案答案: : (0,1) (0,1)反思归纳反思归纳 已知函数零点或方程根的个数求参数的取值范围已知函数零点或方程根的个数求参数的取值范围, ,先对先对解析式变形解析式变形, ,再在同一平面直角坐标系中画出函数的图象再在同一平面直角坐标系中画出函数的图象, ,数形结合数形结合求解求解. .考查角度考查角度3:3:利用函数零点比较大小利用函数零点比较大小. .【例【例5 5】 已知函数已知函数f(xf(x)=2)=2x x+x,g(x)=log+x,g(x)=log2 2x+x,h(x)=xx+x,h(x)=x3 3+x+x的零点依次为的零点依次为a,b,ca,b,c, ,则则a,b,ca,b,c的大小关系为的大小关系为( () )(A)abc(A)abc(B)acb(B)acbc(C)abc(D)cab(D)cab解析解析: :f(xf(x)=2)=2x x+x+x的零点的零点a a为函数为函数y=2y=2x x与与y=-xy=-x图象的交点的横坐标图象的交点的横坐标, ,由图由图象可知象可知a0,g(x)=loga0,b0,令令h(xh(x)=0,)=0,得得c=0.c=0.故选故选B.B.备选例题备选例题 (2)(2)函数函数y=f(xy=f(x) )在在(0,1)(0,1)内有两个零点内有两个零点. .易混易错辨析易混易错辨析 用心练就一双慧眼用心练就一双慧眼对函数图象把握不准确出错对函数图象把握不准确出错解析解析: :画出函数画出函数f(xf(x) )的图象如图所示的图象如图所示, ,观察图象可知观察图象可知, ,若方程若方程f(xf(x)-a=0)-a=0有三个不同的实数根有三个不同的实数根, ,则函数则函数y=f(xy=f(x) )的图的图象与直线象与直线y=ay=a有有3 3个不同的交点个不同的交点, ,此时需满足此时需满足0a1.0a1.故选故选D.D.易错提醒易错提醒: :(1)(1)已知方程根的个数求参数的取值范围时已知方程根的个数求参数的取值范围时, ,常转化为两函数图常转化为两函数图象交点个数问题象交点个数问题, ,转化过程中转化过程中, ,尽可能使函数图象便于画出尽可能使函数图象便于画出. .(2)(2)画函数图象时一定要准确画函数图象时一定要准确, ,对图象所过的定点、最高点、最低点以及对图象所过的定点、最高点、最低点以及走向趋势弄清楚走向趋势弄清楚, ,若作图不规范可能会导致参数取值范围求错若作图不规范可能会导致参数取值范围求错. .
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