高考数学理总复习高考达标检测三十三 空间向量2综合折叠、探索 Word版含答案

高考数学精品复习资料 2019.5高考达标检测（三十三） 空间向量2综合折叠、探索1如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，E为BC的中点(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2)在线段AN上是否存在点S，使ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由解：(1)由题意知，DA，DC，DM两两垂直，故以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz.由题意易得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E，(1,0,1)|cos，|，异面直线NE与AM所成角的余弦值为.(2)假设在线段AN上存在点S，使ES平面AMN，连接AE.(0,1,1)，可设(0，)，又，.由ES平面AMN，得即故，此时，|，经检验，当AS时，ES平面AMN.故线段AN上存在点S，使得ES平面AMN，此时AS.2如图1，在ABC中，C90，ACBC3a，点P在AB 上，PEBC交AC于点E，PFAC交BC于点F.沿PE将APE翻折成APE，使得平面APE平面ABC；沿PF将BPF翻折成BPF，使得平面BPF平面ABC，如图2.(1)求证：BC平面APE；(2)若AP2PB，求二面角APCB的正切值解：(1)证明：因为FCPE，FC平面APE，PE平面APE，所以FC平面APE.因为平面APE平面ABC，且平面APE平面ABCPE，AEPE，所以AE平面ABC.同理BF平面ABC，所以BFAE，从而BF平面APE.又FCBFF，所以平面BCF平面APE，从而BC平面APE.(2)法一：因为ACBC3a，AP2PB，所以CEa，EA2a，PE2a，PCa.如图，过E作EMPC，垂足为M，连接AM.由(1)知AE平面ABC，可得AEPC，所以PC平面AEM，所以AMPC.所以AME即二面角APCE的平面角在RtPEC中，由等面积法易得EMa，所以在RtAEM中，可得tanAME.过F作FNPC，垂足为N，连接BN.同理可得BNF即二面角BPCF的平面角，且tanBNF.设二面角APCB的大小为，则AMEBNF，所以tan tan(AMEBNF)，即二面角APCB的正切值为.法二：易知EC，EP，EA两两垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系Exyz.则C(a,0,0)，P(0,2a,0)，A(0,0,2a)，B(a,2a，a)所以(a,0，2a)，(0,2a，2a)，(0，2a，a)，(a,0，a)设平面ACP的一个法向量为m(x，y,1)，则即解得所以平面ACP的一个法向量为m(2,1,1)设平面BCP的一个法向量为n(x，y，1)，则即解得所以平面BCP的一个法向量为n.设二面角APCB的大小为，易知为锐角，则cos ，从而可得tan ，即二面角APCB的正切值为.3.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM平面ABCD，DAB60，AD2，AM1，E为AB的中点(1)求证：AN平面MEC；(2)在线段AM上是否存在点P，使二面角PECD的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由解：(1)证明：如图，连接NB交MC于点F，连接EF.由已知可得四边形BCNM是平行四边形，F是BN的中点，又E是AB的中点，ANEF.又EF平面MEC，AN平面MEC，AN平面MEC.(2)假设线段AM上存在点P，使二面角PECD的大小为.在AM上取一点P，连接EP，CP.由于四边形ABCD是菱形，且DAB60，E是AB的中点，可得DEAB，所以DECD.因为四边形ADNM是矩形，所以DNAD.又平面ADNM平面ABCD，平面ADNM平面ABCDAD，DN平面ABCD，以DE，DC，DN所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E(，0,0)，C(0,2,0)，P(，1，h)，则(，2,0)， (0，1，h)，设平面PEC的法向量为n1(x，y，z)，则令yh，则n1(2h，h，)，又平面DEC的法向量n2(0,0,1)，cos n1，n2，解得h，在线段AM上存在点P，使二面角PECD的大小为，此时h.4如图，已知在长方形ABCD中，AB2，A1，B1分别是边AD，BC上的点，且AA1BB11，A1E垂直B1D于E，F为AB的中点把长方形ABCD沿直线A1B1折起，使得平面AA1B1B平面A1B1CD，且直线B1D与平面AA1B1B所成的角为30.(1)求异面直线A1E，B1F所成角的余弦值；(2)求二面角FB1DA1的余弦值解：由已知条件可得A1A，A1B1，A1D两两垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系，由已知AB2，AA1BB11，可得A1(0,0,0)，B1(2,0,0)，F(1,0,1)又A1D平面AA1B1B，所以B1D与平面AA1B1B所成的角为DB1A130，又A1B1AB2，A1EB1D，所以A1E1，A1D，从而易得E，D.(1)因为，(1,0,1)，所以cos ，.所以异面直线A1E，B1F所成角的余弦值为.(2)易知平面A1B1CD的一个法向量m(0,0,1)设n(x，y，z)是平面B1DF的法向量，易知，所以即令x1，得n(1，1)所以cosm，n.由图知二面角FB1DA1为锐角，所以二面角FB1D A1的余弦值为.