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高考数学精品复习资料 2019.5第四节 解三角形题型55 正弦定理的应用1. (20xx天津理6）在中， 则（ ）.A B C D2. (20xx湖南理3）在锐角中，角所对的边长分别为.若（ ）.A B C D 3.(20xx安徽12)设的内角所对边的长分别为.若，则角 .4.（20xx浙江理16）中，是的中点，若，则 _.5.（20xx 北京理 15）如图所示，在中，点在边上，且.（1）求；（2）求的长.6.（20xx广东）设的内角，的对边分别为，若，则 6.解析 解法一：因为且，所以或又，所以，所以，且又，由余弦定理得，所以又，解得，所以解法二：因为且，所以或又，所以，又，由正弦定理得故应填1.7.（20xx湖南）设的内角，的对边分别为，且为钝角.（1）证明：；（2）求的取值范围.7.解析（1）由及正弦定理，得,所以，即，又为钝角，因此，故，即.（2）由（1）知，所以，于是，因为,所以,因此，由此可知的取值范围是 .8.（20xx全国甲理13）的内角，的对边分别为，若，则 8. 解析 解法一：由题可知，.由正弦定理可得.由射影定理可得.解法二：同解法一，可得.又.由余弦定理可得.解法三：因为，.由正弦定理得，解得9.（20xx江苏15）在中，（1）求的长；（2）求的值9. 解析 （1）因为，而，所以.由正弦定理，故（2）因为，所以.又，所以，故10.（20xx浙江理16）在中，内角所对的边分别为，.已知.（1）求证：；（2）若的面积，求出角的大小.10.解析 （1）由正弦定理得，故，于是又，故，所以 或，因此（舍去）或，所以（2）由，得.由正弦定理得，因为，得又，所以当时，由，得；当时，由，得综上所述，或11.（20xx天津理15）在中，内角所对的边分别为.已知，.（1）求和的值；（2）求的值.11.解析 （1）在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，得，所以.由正弦定理，得.（2）由（）及，得，所以，故.12.（20xx山东理9）在中，角，的对边分别为，若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（ ）.A. B. C. D.12.解析 因为，所以，又，得，即.故选A.题型56 余弦定理的应用1. (20xx重庆理20）在中，内角的对边分别是，且.（1）求；（2）设，求的值.2.（20xx山东理17）设的内角，所对的边分别为，且，.（1）求，的值；（2）求的值.3.（20xx 江苏理 14）若的内角满足，则的最小值是 4.（20xx 天津理 12）在中，内角所对的边分别是.已知，则的值为_.5.（20xx 湖南理 18）如图所示，在平面四边形中，.（1）求的值；（2）若，求的长.6.（20xx安徽）在中，,点在边上，求的长6.解析 解法一：设的内角，所对边的长分别是，由余弦定理得，所以，所以由正弦定理得，由题设知，所以在中，由正弦定理得解法二：如图所示，设由余弦定理得，所以在中，设，则，故，即 ，即 由式，式得，即7.（20xx福建）若锐角 的面积为 ，且 ，则 7.解析 由已知得的面积为，所以又因为，所以由余弦定理得，所以8.（20xx江苏）在中，已知，（1）求的长；（2）求的值8.解析 （1）由余弦定理，解得（2）.因为，故，故评注 在运算的过程中类似，可不化简，有时候会利于下面的运算9.（20xx陕西）的内角所对的边分别为，向量与平行（1）求；（2）若，求的面积9.解析 （1）由可知， ，由正弦定理，得.(2)由余弦定理，得.所以.10.（20xx天津理3）在中，若， ，则（ ）.A.1B.2 C.3D.410.A解析 由余弦定理得，解得.故选A.11.（20xx全国丙理8）在中，边上的高等于，则（ ）.A. B. C. D.11. C 解析 如图所示.依题意，.在中，由余弦定理得故选C.12.（20xx北京理15）在中，.（1）求的大小；（2）求的最大值.12. 解析 （1）由题设可得.由余弦定理，可得.又，所以.（2）由（1）可得，.再由，得，所以.由，得，所以当且仅当，即时， 取到最大值，且最大值是1.题型57 判断三角形的形状1. (20xx陕西理7） 设的内角所对的边分别为，若，则 的形状为（ ）.A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定题型58 解三角形的综合应用1. (20xx陕西理9） 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位）的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 2.（20xx 江西理4）在中，内角所对应的边分别为.若，则的面积是（ ）.A. B. C. D. 3.（20xx 新课标2理4）钝角三角形的面积是， ，则 （ ）.A. B. C. D. 4.（20xx 重庆理 10）已知的内角满足，面积满足，记分别为所对的边，则下列不等式成立的是（ ）.A. B. C. D. 5.（20xx 福建理 12）在中，则的面积等于 .6.（20xx 广东理 12）在中，角所对应的边分别为.已知，则 . 7.（20xx 山东理 12）在中，已知，当时，的面积为.8.（20xx 四川理 13）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度约等于 .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：，）9.（20xx 新课标1理16）已知分别为的三个内角的对边，且，则面积的最大值为 .10.（20xx 浙江理 17）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若，则的最大值 .11.（20xx 大纲理 17） 的内角的对边分别为，已.求.12.（20xx 江苏理 18）170 m60 m东北OABMC如图，为了保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上并与相切的圆且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于经测量，点位于点正北方向处，点位于点正东方向处（为河岸）， （1）求新桥的长； （2）当多长时，圆形保护区的面积最大？13.（20xx 山东理 16）已知向量，函数，且的图像过点和点.（1）求的值；（2）将的图像向左平移个单位后得到函数的图像，若图像上各最高点到点的距离的最小值为，求的单调递增区间.14.（20xx 浙江理 18）（本题满分14分）在中，内角所对的边分别为，已知，（1）求角的大小；（2）若求的面积.15. (20xx福建理13）如图，在中，已知点在边上， ，, 则的长为 .16（20xx湖北理17）在中，对应的边分别是 已知(1) 求角的大小(2) 若的面积，求的值17（20xx江西理16） 在中，角所对的边分别为，已知()(1) 求角的大小；(2) 若，求的取值范围18（20xx四川理17） 在中，角的对边分别为，且（1）求的值；（2）若，求向量在方向上的投影19. （20xx江苏18）CBA如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲.乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为.在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，.（1）求索道的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？20. (20xx全国新课标卷理17）在内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，求面积的最大值.21.（20xx北京）在中，则 .21.解析 在中，由正弦定理得，由余弦定理得，因此.22.（20xx湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. 22.解析 在中，所以，因为，由正弦定理可得，即，在中，因为，所以，所以. 23.（20xx全国1）在平面四边形中，则的取值范围是 .23.解析 解法一：如图所示，延长，交于点，则可知，且在中，在中，由正弦定理可得，所以由题意可得在中，由正弦定理可得 ，所以又因为，所以的取值范围是 （解法一图） （解法二图）解法二（构造法）：如图所示，构造，使得，则，取边上一点，边上一点，使得若平移使点与点重合，此时四边形退化为，且可在中利用正弦定理求得；若平移使点与点重合，此时四边形退化为，且可在中利用正弦定理求得又因为是平面四边形，所以点应在点与点之间，且不与点与点重合，所以的取值范围是24.（20xx天津）在中，内角， 所对的边分别为， ，已知的面积为 ，则的值为 .24.解析 因为，所以，又，所以，解方程组得，由余弦定理得，所以.25.（20xx全国2）在中，是上的点，平分，是面积的2倍(1)求 ；(2)若 ，求和的长.25.分析 (1)用正弦定理求面积的方法写出面积，然后根据已知条件中面积为2倍关系、角相等进行代换；(2)由(1)的结论得高相同，面积比等于边长比，再由余弦定理建立等式来求解.解析 (1)根据题意可得右图，由正弦定理得，又因为， 所以得.由正弦定理得.(1) 由题意知，所以. 又因为，所以在和中，由余弦定理得，故由(1)知，所以即所求为，.26.（20xx山东）设.(1)求的单调区间；(2)在锐角中，角的对边分别为. 若，求面积的最大值.26.解析（1）由题意知由，可得，；由，可得，所以的单调递增区间是；单调递减区间是（2）由，得，由题意知为锐角，所以由余弦定理，可得，即，且当时等号成立，因此所以面积的最大值为27.（20xx四川）如图所示，为平面四边形的四个内角.(1)求证：；（2）若，求的值.27.分析（1）首先切化弦得，为了将半角变为单角，可在分子分母同时乘，然后逆用正弦与余弦的二倍角公式即可；（2）由题设知，该四边形的两对角互补. 再结合（1）的结果，有，所以只需求出即可. 由于已知四边，且，故考虑用余弦定理列方程组求，从而求出.解析 （1）.（2）由，得，.由（1），有.连接，在中，有，在中，有所以，则，所以.连接，同理可得，所以.所以.28.（20xx浙江）在中，内角所对的边分别为已知，=.(1)求的值；(2)若的面积为，求的值28.（1）解析 解法一：由余弦定理，又，所以消去得，所以，所以.解法二: 由及正弦定理得，所以 ，所以（2）由得.又，所以由正弦定理得，（或由（1）知）所以，所以，所以29.（20xx重庆）在中，的角平分线，则_.29.解析 如图所示，由正弦定理易得,即，故,即，在，知，即由于是的角平分线，故在中，易得在中，由正弦定理得，即，所以30.（20xx上海理9）已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 30解析 不妨设，则，故，因此31.（20xx全国乙理17）的内角，的对边分别为，已知（1）求；（2）若，的面积为，求的周长31.解析 （1）由已知及正弦定理得，即，故，可得，所以.（2）由已知得，.又，所以.由已知及余弦定理得，故，从而.所以的周长为.32.（20xx山东理16）在中，角，的对边分别为，已知.（1）求证：；（2）求的最小值.32.解析 （1）由题意知，化简得，即.因为，所以.从而.由正弦定理得.（2）由（1）知，所以 ，当且仅当时，等号成立.故的最小值为.33.（20xx四川理17）在中，角， 所对的边分别是， ， ，且.（1）求证：；（2）若，求.33.解析（1）根据正弦定理，可设，则，.代入中，有，可变形得在中，由，有，所以（2）由已知，根据余弦定理，有.所以.由（1）得，所以，故34.（20xx全国丙理21）设函数，其中，记 的最大值为.（1）求；（2）求；（3）证明34.解析 （1）.（2）当时，.因此.当时，将变形为.令，则是在上的最大值，且当时，取得极小值，极小值为.令，解得且，所以.（i）当时，在内无极值点，所以.（ii）当时，在同一坐标中画出函数，在上的图像.由如图所示的图形可知，我们得到如下结论当时，.综上可知，.（3）由（1）得.当时，；当时，所以；当时，.所以；综上所述有.35.（20xx江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为，容器的底面对角线的长为，容器的两底面对角线，的长分别为和 分别在容器和容器中注入水，水深均为 现有一根玻璃棒，其长度为（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.（1）将放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；（2）将放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度 35.解析 （1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，记玻璃棒的另一端落在上点处，如图所示为截面的平面图形因为，所以，从而.记与水面的交点为， 过点作，为垂足，则平面，故，从而答：玻璃棒没入水中部分的长度为（2）如图所示为截面的平面图形，是正棱台两底面的中心由正棱台的定义，平面， 所以平面平面，同理，平面平面，记玻璃棒的另一端落在上点处过作，为垂足，则因为，所以，从而设，则因为，所以在中，由正弦定理可得，解得 因为，所以，于是记与水面的交点为，过作，为垂足，则平面，故，从而答：玻璃棒没入水中部分的长度为评注 此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：，所以，所以由，即，解得答：玻璃棒没入水中部分的长度为36.(20xx北京理15)在中，.（1）求的值；（2）若，求的面积.36.解析 （1）在中，因为，所以由正弦定理得.（2）因为，所以.由余弦定理，得，解得或（舍）.所以的面积.37.（20xx全国1理17）的内角，的对边分别为，已知的面积为.（1）求的值；（2）若，求的周长.37.分析 本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.解析 （1）因为的面积且，所以，即.由正弦定理得，由，得.（2）由（1）得，又，因为，所以.又因为，所以，.由余弦定理得 由正弦定理得，所以 由，得，所以，即周长为.38.（20xx全国2理17）的内角的对边分别为，已知(1)求;(2)若，的面积为2，求 38.解析 （1）依题得因为，所以，所以，得（舍去）或.（2）由可知，因为，所以，即，得.因为，所以，即，从而，即，解得39.（20xx全国3理17）的内角的对边分别为 ，已知，（1）求；（2）设为边上一点，且，求的面积39.解析 （1）由，得，即，又，所以，得.由余弦定理得.又因为代入并整理得，解得.（2）因为，由余弦定理得.因为，即为直角三角形，则，得.从而点为的中点，.40.(20xx浙江理14)已知，.点为延长线上的一点，联结，则的面积是_，_.40.解析 如图所示，取的中点为，在等腰中，所以，所以的面积为因为，所以是等腰三角形，所以，解得欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org
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