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数学思想方法和常用的解题技巧巩固训练一、选择题1若ab1，P，Q(lg alg b)，Rlg，则()ARPQ BPQRCQPR DPRQ解析取a100，b10，此时P ，Qlg ，Rlg 55lg ，比较可知PQ0时，可作出ylnx，yx22x的图象如图所示由图示可得函数f(x)ln xx22x(x0)有两个零点当x0时，f(x)2x1有零点x.综上，可得f(x)有3个零点答案D4设0x，则“xsin2 x1”是“xsinx1”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析由0x，得0sin x1，故由xsin x1，可得xsin2xxsin x1，即“xsin2x1”是“xsin x1”的必要条件；而若xsin2x1，则xsin x1，故不能得到xsin x1，所以“xsin2x1”是“xsin x0时，函数为减函数，故选A.答案A6已知函数f(x)sin(0)的最小正周期为，则f(x)的图象的一条对称轴方程是()Ax Bx Cx Dx解析由，所以1，所以f(x)sin，代入验证可知使sin1，只有x，选C.答案C7已知函数f(x)mx2(m3)x1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是()A(0,1) B(0,1C(，1) D(，1解析令m0，由f(x)0，得x，适合，排除A，B.令m1，由f(x)0，得x1；适合，排除C.答案D8已知三个互不重合的平面，m，n，且直线m，n不重合，由下列三个条件：m，n；m，n；m，n.能推得mn的条件是()A或 B或C只有 D或解析构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件；取平面为平面ADDA，平面为平面ABCD，则直线m为直线AD.因m，故可取平面为平面ABCD，因为n且n，故可取直线n为直线AB.则直线AD与直线AB为异面直线，故m与n不平行因此，可排除A，C，D，选B.答案B9若动点P，Q在椭圆9x216y2144上，且满足OPOQ，则中心O到弦PQ的距离OH必等于()A. B. C. D.解析选一个特殊位置(如图)，令OP，OQ分别在长、短正半轴上，由a216，b29，得OP4，OQ3，则OH.根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也成立”可知，答案C正确答案C10在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为()A5 B1 C2 D3解析如图阴影部分即为满足x10与xy10的可行域而直线axy10恒过点(0,1)，故看作该直线绕点(0,1)旋转，当a5时，则可行域不是一个封闭区域；当a1时，封闭区域的面积是1；当a2时，封闭区域的面积是；当a3时，封闭区域的面积恰好为2.答案D11同时具有性质“最小正周期是，图象关于直线x对称；在上是增函数”的一个函数是()Aysin BycosCysin Dycos解析对于函数ysin的周期是4，所以排除A；对于函数ycos的周期为，而cos（2）1，故x是此函数的对称轴，但此函数在上不是增函数，所以排除B；对于函数ysin的周期为，又sin1，故x是此函数的对称轴，又由2k2x2k，得kxk(kZ)，当k0时，知此函数在上是增函数，故选C.答案C12设0b(ax)2的解集中的整数恰有3个，则()A1a0 B0a1C1a3 D3a0，解得x2b，不符合条件，从而排除A，B.取a4代入原不等式得15x22bxb20，解得x，0b5，解集中的整数解少于3个，从而排除D，故选C.答案C二、填空题13已知a，b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a，b在上的射影有可能是：两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点在上面的结论中，正确结论的序号是_(写出所有正确的序号)解析用正方体ABCD-A1B1C1D1实例说明A1D1与BC1在平面ABCD上的射影互相平行，AB1与BC1在平面ABCD上的射影互相垂直，BC1与DD1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点答案14已知函数f(x)ln x.若f(x)x2在(1，)上恒成立，则a的取值范围是_解析f(x)x2，ln x1，axln xx3，令g(x)xln xx3，h(x)g(x)1ln x3x2，h(x)6x，当x(1，)时，h(x)0恒成立，h(x)在(1，)上单调递减h(x)h(1)20.即g(x)0g(x)在(1，)上单调递减g(x)1.答案(1，)15过抛物线yax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p，q，则为_解析若用常规方法，运算量很大，不妨设PQx轴，则pq，4a.答案4a16定义在R上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x)，且在1,0上是增函数，给出下列关于f(x)的命题：f(x)是周期函数；f(x)关于直线x1对称；f(x)在0,1上是增函数；f(x)在1,2上是减函数；f(2)f(0)其中正确命题的序号是_解析由f(x1)f(x)，可得f(x2)f(x1)1)f(x1)(f(x)f(x)，所以函数f(x)是周期函数，它的一个周期为2，所以命题正确；由f(x1)f(x)，令x，可得ff，而函数f(x)为偶函数，所以fff，解得f0，故f0.根据函数f(x)在1,0上为增函数及f0，作出函数f(x)在1,0上的图象，然后根据f(x)为偶函数作出其在0,1上的图象，再根据函数的周期性把函数图象向两方无限延展，即得满足条件的一个函数图象，如图所示 .由函数的图象显然可判断出命题正确，而函数f(x)在0,1上是减函数，在1,2上是增函数，所以命题是错误的综上，命题是正确的答案三、解答题17设函数f(x)xaln x(aR)(1)当a3时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)的单调性解(1)函数f(x)的定义域为(0，)当a3时，f(x)1.令f(x)0，解得x1或2.f(x)与f(x)随x的变化如下表：x(0,1)1(1,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在x1处取得极大值，f(1)1；在x2处取得极小值，f(2)13ln 2.(2)f(x)1，令g(x)x2ax2，其判别式a28，当|a|2时，0，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增当a0，g(x)0的两根都小于0，所以在(0，) 上，f(x)0.故f(x)在(0，)上单调递增当a2时，0，g(x)0的两根为x1，x2，且都大于0， f(x)与f(x)随x的变化如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值极小值故f(x)在，上单调递增，在上单调递减综上，当a2时，f(x)在(0，)上单调递增；当a2时，f(x)在，上单调递增，在上单调递减18已知各项均为正数的等差数列an的公差d不等于0.a12，设a1，a3，a7是公比为q的等比数列bn的前三项(1)求数列anbn的前n项和Tn；(2)将数列an中与bn中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列cn，设其前n项和为Sn，求S2nn122n132n1(n2，nN*)的值解因为a1，a3，a7成等比数列，an是公差d0的等差数列，所以(a12d)2a1(a16d)，整理得a12d.又a12，所以d1，b1a12，q2，所以ana1(n1)dn1，bnb1qn12n，所以anbn(n1)2n.(1)用错位相减法，可求得anbn的前n项和Tnn2n1.(2)新的数列cn的前2nn1项和为数列an的前2n1项和减去数列bn的前n项和，所以S2nn1(2n1)(2n11)，所以S2nn122n132n11.19已知函数f(x)x3ax2(a21)x(aR)(1)若x1为f(x)的极值点，求正数a的值，并求出f(x)在0,4上的最值；(2)若f(x)在区间(0,2)上不单调，求实数a的取值范围解(1)f(x)x22axa21，由题意，f(1)0，即a22a0，解得a0(舍去)或a2.当a2时，f(x)x24x3(x1)(x3)，令f(x)0，解得x3；令f(x)0，解得1x3.f(x)的增区间为(，1)，(3，)，减区间为(1,3)于是f(x)在0,1上单调递增，在1,3上单调递减；在3,4上单调递增，因此f(x)在0,4上的最大值为maxf(1)，f(4)max；f(x)在0,4上的最小值为minf(0)，f(3)min0.(2)函数f(x)在区间(0,2)上不单调函数f(x)在(0,2)内存在零点，而f(x)0的两根为a1，a1，所以0a12，或0a12，即1a3或1ab0) 的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线xa2上的射影依次为点D，K，E.(1)若抛物线x24y的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；(2)连接AE，BD，证明：当m变化时，直线AE，BD相交于一定点解(1)由题意，易知b，椭圆C的右焦点F(1,0)，则c1，所以a2.故所求椭圆C的方程为1.(2)由题意，知F(1,0)，K(a2,0)先探索：当m0时，直线lx轴，此时四边形ABED为矩形，由对称性，知AE，BD相交于FK的中点N.猜想：当m变化时，直线AE，BD相交于定点N.证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(a2，y1)，E(a2，y2)首先证明当m变化时，直线AE过定点N.由消掉x，得(a2b2m2)y22mb2yb2(1a2)0.则4a2b2(a2m2b21)0(a1)，且y1y2，y1y2.又kAN，kEN，所以kANkEN0.所以kANkEN.所以A，E，N三点共线同理可证B，D，N三点共线所以当m变化时，直线AE，BD相交于定点N.
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