第2部力系的简化与合成

1第第2章章 力系的简化与合成力系的简化与合成 2.1 平面汇交力系合成和平衡的几何法平面汇交力系合成和平衡的几何法2.2 平面汇交力系合成和平衡的解析法平面汇交力系合成和平衡的解析法2.3 平面力偶系的合成平面力偶系的合成2.4 空间力偶系的合成空间力偶系的合成2.5 平面任意力系的简化平面任意力系的简化2.6 力系的简化结果力系的简化结果2.7 空间力系向一点简化，主矢和主矩空间力系向一点简化，主矢和主矩2.8 平行力系的中心平行力系的中心22.1 2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法2.1.12.1.1平面汇交力系合成的几何法平面汇交力系合成的几何法cos2212221FFFFR)180sin(sin1RF1.1.两个共点力的合成两个共点力的合成合力方向由正弦定理：由余弦定理：cos)180cos(由力的平行四边形法则合成，也可用力的三角形法则合成。BC32. 任意个共点力的合成任意个共点力的合成 ( 力多边形法）力多边形法）先作力多边形abcde再将R 平移至 A 点 即：平面汇交力系的即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的合力的作用线通过各力的汇交点。汇交点。即：FRnFFFFR321结论：结论：推广至 n 个力42.1.2平面汇交力系平衡的几何法平面汇交力系平衡的几何法在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：平面汇交力系平衡的充要条件是：0FR或矢量和矢量和力多边形自行封闭力多边形自行封闭力系中各力的力系中各力的等于零。等于零。52.2 2.2 平面一般力系的平衡的几何条件平面一般力系的平衡的几何条件一、平面一般力系的平衡方程一、平面一般力系的平衡方程平面任意力系向任一点简化，得到主矢平面任意力系向任一点简化，得到主矢 及对简化中心的主及对简化中心的主矩矩MO 。22)()(iiYXR)(iOOFmM汇交力系平衡表明作用在简化中心的若, 0R若若MO=0，表明附加力偶系平衡，表明附加力偶系平衡R6;111dFM 222dFM dPM11 又dPM22 21PPRA21PPRB212121)( MMdPdPdPPdRMA 合力偶矩2.32.3 平面力偶系的合成平面力偶系的合成平面力偶系：平面力偶系：作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系设有两个力偶dd7 niinMMMMM121结论结论: : 平面力偶系合成结果还是一个力偶平面力偶系合成结果还是一个力偶, ,其合力偶矩等于各分其合力偶矩等于各分力偶矩的代数和力偶矩的代数和。8111222,.,nnnMrF MrFMrF= = =iMMM为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和. .2.42.4 空间力偶系的合成空间力偶系的合成9222()()()xyzMMMM合力偶矩矢的大小和方向余弦合力偶矩矢的大小和方向余弦,xxyyzzMMMMMMcosxMMcosyMMcoszMM10证证 力力F2.5 2.5 平面任意力系的简化平面任意力系的简化FFF ,力系力系dFFMMB )(2.5.1力的平移定理力的平移定理力线平移定理：作用在刚体上力线平移定理：作用在刚体上A点的力点的力 可以平行移动可以平行移动F须在该力须在该力 与指定点与指定点B 所决定的平所决定的平 面内附加一力偶，其力偶面内附加一力偶，其力偶F矩等于原力矩等于原力 对指对指 定点定点B 之矩。之矩。F到刚到刚 体内任一指定点体内任一指定点B 若不改变该力对于刚体的作用，则必若不改变该力对于刚体的作用，则必）力偶（力F,FF 11力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力力+力偶力偶 讨论讨论力线平移定理是力系简化的理论基础。力线平移定理是力系简化的理论基础。力线平移定理可考察力对物体的作用效应。力线平移定理可考察力对物体的作用效应。（刚体、变形体两种情况）ePM 12 2.5.22.5.2平面一般力系向一点简化平面一般力系向一点简化 一、简化方法一、简化方法RFFFFFFFFRinino2121汇交力系合力汇交力系合力一般力系（任意力系）一般力系（任意力系）汇交力系汇交力系+力偶系力偶系向一点简化向一点简化（未知力系）（未知力系）（已知力系）（已知力系）132222)()(YXRRRyxXYRRxy11tgtg附加力偶的合力偶矩附加力偶的合力偶矩)()()()(2121 ionoooinoFMFMFMFMMMMMM二、主矢与主矩二、主矢与主矩1. 主矢：指原平面一般力系各力的矢量和主矢：指原平面一般力系各力的矢量和 。iFiFR即 主矢主矢 的的R解析求法解析求法方向方向：大小大小：注意注意：因主矢等于原力系各力的矢量和因主矢等于原力系各力的矢量和,所所以它与简化中心的位置无关。以它与简化中心的位置无关。14)(iOOFMM 转向转向 + 2. 主矩：指原平面一般力系对简化中心之矩的代数和主矩：指原平面一般力系对简化中心之矩的代数和 。 )( ioFM )(iooFMM即三、结论三、结论平面一般力系向作用面内任一点简化平面一般力系向作用面内任一点简化 ，一般可以得到，一般可以得到主矩主矩 MO大小大小：正、负规定正、负规定 ：因主矩等于各力对简化中心之矩的代数和，因主矩等于各力对简化中心之矩的代数和，所以它的大小和转向一般与简化中心有关。所以它的大小和转向一般与简化中心有关。注意注意：一力和一力偶一力和一力偶 ；该力作用于简化中心；该力作用于简化中心 ，其大小及方向等于该，其大小及方向等于该力系的主矢力系的主矢 ，该力偶之矩等于该力系对于简化中心的主矩，该力偶之矩等于该力系对于简化中心的主矩 。15 0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力合力。这时，简化结果就是合力（这个力系的合力）, 。（此时简化结果与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）RRR2.6 2.6 力系的简化结果力系的简化结果 =0,MO0 即简化结果为一合力偶合力偶, M=MO 此时刚 体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。R =0， MO =0，则力系平衡平衡,下节专门讨论。 R简化一般结果：主矢 ，主矩 MO ，下面讨论简化最后结果：R一、简化最后结果一、简化最后结果16 0,MO 0,为最一般的情况。此种情况还可以继续可以继续 化为一个合力化为一个合力 。RR合力合力 的大小等于原力系的主矢的大小等于原力系的主矢合力合力 的作用线位置的作用线位置RMdORR17)()()(主矩合力偶iOOFmM 平面任意力系的简化结果平面任意力系的简化结果 ：合力偶合力偶MO ； 合力合力 R 结论结论)()(合力偶OOMdRRm)()(1niiOOFmRM即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。二、合力矩定理二、合力矩定理182.7 2.7 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化主矢和主矩主矢和主矩2.7.1 2.7.1 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化iiFF()iOiMMF空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系. .19RixyzFFF iF jF k 主矩主矩()OiOiMMMF( )( )( )OxyzMMF iMF jMF k主矢主矢空间力偶系的合力偶矩空间力偶系的合力偶矩由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力20有效推进力有效推进力RxF飞机向前飞行飞机向前飞行RyF有效升力有效升力飞机上升飞机上升RzF侧向力侧向力飞机侧移飞机侧移OxM滚转力矩滚转力矩飞机绕飞机绕x x轴滚转轴滚转OyM偏航力矩偏航力矩飞机转弯飞机转弯OzM俯仰力矩俯仰力矩飞机仰头飞机仰头21（1 1） 合力合力ORdMF合力合力. .合力作用线距简化合力作用线距简化中心为中心为2.7.22.7.2空间任意力系的简化结果分析（最后结果）空间任意力系的简化结果分析（最后结果）0,0,ROROFMFM0,0ROFM 过简化中心合力过简化中心合力()( )OROROMdFMFMF合力矩定理：合力对某点合力矩定理：合力对某点( (轴）之矩等于各分力对同轴）之矩等于各分力对同 一点（轴）之矩的矢量和一点（轴）之矩的矢量和. .22（2 2）合力偶（）合力偶（一个合力偶，此时与简化中心无关。一个合力偶，此时与简化中心无关。0,0ROFM （3 3）力螺旋）力螺旋0,0,/ROROFMFM中心轴过简化中心的力螺旋中心轴过简化中心的力螺旋23既不平行也不垂直既不平行也不垂直0,0,ROROFMF M力螺旋中心轴距简化中心为力螺旋中心轴距简化中心为sinORMdF（4 4）平衡）平衡平衡平衡0,0ROFM 242.8 2.8 平行力系的中心平行力系的中心平面平行力系平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系2.8.1平面平行力系的中心平面平行力系的中心 FxFRMxiiOR主矢）(FRRO）（主矩iiiOOxFFmM)(合力 作 用线的位置为：RYRRRo而设有F1, F2 Fn 各平行力系， 向O点简化得：25 靠近地球的物体都受到地球引力的作用。如果把物体看成是由无数微小部分组成，则其每一部分都受到地球引力的作用，这些重力可以看成是空间平行力系。整个物体的重力就是各微小部分重力的合力，合力的大小即为物体的重量。 对于刚体而言，无论怎样搁置，物体重力的作用线都会通过物体某个固定不变的点，这个点就是物体的重心重心。 重心在工程中有重要意义意义：起重机、船舶等的重心过高容易倾翻；重力坝的重心越靠近上游，抗倾稳定性越好；高速转动的部件，若其重心不在转轴上就会发生振动等等。2.8.22.8.2重心重心1.重心坐标公式重心坐标公式：26由合力矩定理： iiCxPxPy轴：x轴：iiCyPyPP=Pi物体的重量将系统绕x轴旋转90，使力线与y轴平行，再对x 轴应用合力矩定理得：iiCzPPz27于是得重心坐标公式重心坐标公式：PzPzPyPyPxPxiiCiiCiiC ,若以Pi= mig , P=Mg 代入上式可得质心公式质心公式MzmzMymyMxmxiiCiiCiiC ,1）体积重心 对于均质物体均质物体，单位体积的重量 =恒量恒量，设Vi为第i个小体积，V为物体的总体积，则：VzVzVyVyVxVxiiCiiCiiC,2.均质物体的重心坐标公式均质物体的重心坐标公式：Pi= Vi， P= V于是得：28（2）有对称面（轴、点）的均质物体，其重心必在对称面（轴、点）上。令Vi0，则上式可写成积分形式积分形式：VxdVxVCVydVyVCVzdVzVC均质物体的重心与其重量无关，只与物体的体积（几何形状）有关，这个只由物体的几何形状决定的点称为物体的形心只由物体的几何形状决定的点称为物体的形心。上式又称为物体的形心公式形心公式。（1）形心与重心是两个不同的概念。对于均质物体，重心和形心是重合的。29A面积AzAzAyAyAxAxiiCiiCiiC,lzlzlylylxlxiiCiiCiiC,2）面积重心）面积重心 均质薄壳（板）的重心公式：均质薄壳（板）的重心公式：3）线段重心）线段重心 均质空间曲线的重心公式：均质空间曲线的重心公式：l长度同样可得它们的积分形式。30解解：由于对称，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段dRdLRdRLdLxxLC2cos 2sinRxC1）积分法）积分法（简单形体）例例 求半径为求半径为R，顶角为，顶角为2 的均质圆弧的重心。的均质圆弧的重心。2.8.3确定均质物体重心的方法确定均质物体重心的方法常见简单形状的均质物体的重心公式见教材P97 cos Rx31 2）组合法解法一：解法一： 分割法分割法（由简单形体组成的复杂形体）例例求图示均质薄板的重心，尺寸如图，长度单位：求图示均质薄板的重心，尺寸如图，长度单位：cm。（1）建坐标系（尽量利用对称性）（2）将图形分成、三个部分，则21cm25200120210Acm60120211xcm105210211y32cm330420211203xcm4590213ycm233321332211AAAxAxAxAxCcm4 .86321332211AAAyAyAyAyCcm260420311202xcm130)90210(31902y22cm25200)90210(42021A23cm3780090420A33解法二：解法二： 负面积法 把板看成长方形割去虚线所示三角形而成，将割去的面积看作负值。21cm113400210540Acm270540211xcm105210211y22cm2520012042021Acm400420321202xcm17012032902ycm233212211AAxAxAxCcm4 .86212211AAyAyAyC此方法也称为负面积法340)(FmB由01CxPlP称PlPxC1称3）实验法 悬挂法称重法