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高考数学精品复习资料 2019.5曲线与方程(含轨迹问题)一、选择题(每小题6分，共36分) 1.(20xx潍坊模拟)方程(xy2)0表示的曲线是()(A)一个圆和一条直线 (B)半个圆和一条直线(C)一个圆和两条射线 (D)一个圆和一条线段2.设x1、x2R，常数a0，定义运算“*”：x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,若x0，则动点P(x,)的轨迹是( ) (A)圆 (B)椭圆的一部分(C)双曲线的一部分 (D)抛物线的一部分3.(20xx日照模拟)若M、N为两个定点且|MN|6，动点P满足0，则P点的轨迹是()(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线来源:4.设动点P在直线x1上，O为坐标原点，以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ，则动点Q的轨迹是()(A)圆 (B)两条平行直线(C)抛物线 (D)双曲线5.设圆(x1)2y225的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()(A)1 (B)1(C)1 (D)16.已知点P在定圆O的圆内或圆周上，动圆C过点P与定圆O相切，则动圆C的圆心轨迹可能是()(A)圆或椭圆或双曲线(B)两条射线或圆或抛物线(C)两条射线或圆或椭圆(D)椭圆或双曲线或抛物线二、填空题(每小题6分，共18分)7.(易错题)倾斜角为的直线交椭圆y21于A、B两点，则线段AB的中点M的轨迹方程是.8.已知A(，0)，B是圆F：(x)2y24(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为.9.坐标平面上有两个定点A、B和动点P，如果直线PA、PB的斜率之积为定值m，则点P的轨迹可能是：椭圆；双曲线；抛物线；圆；直线.试将正确的序号填在横线上：.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(20xx陕西高考)如图，设P是圆x2y225上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.11.(预测题)在平面直角坐标系中，已知向量a(x，y)，b(kx，y)(kR)，ab，动点M(x，y)的轨迹为T.(1)求轨迹T的方程，并说明该方程表示的曲线的形状；(2)当k时，已知点B(0，)，是否存在直线l：yxm，使点B关于直线l的对称点落在轨迹T上？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由.【探究创新】(16分)如图，椭圆长轴端点为点A、B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且1，| |1.(1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P、Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由.答案解析1.【解析】选C.(xy2)0变形为：x2y290或表示以原点为圆心，3为半径的圆和直线xy20在圆x2y290外面的两条射线，如图所示：2.【解析】选D.x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,则P(x,2).设P(x1，y1)，即，消去x得y4ax1(x10，y10)，故点P的轨迹为抛物线的一部分.3.【解析】选A.以MN的中点为坐标原点，MN所在直线为x轴，建立直角坐标系.并设M(3,0)，N(3,0)，P(x，y)，则(3x，y)(3x，y)(x29)y20，即x2y29，故选A.4.【解析】选B.设P(1，t)，Q(x，y)，由题意知|OP|OQ|， x2y21t2又0，xty0，t，y0.来源:把代入，得(x2y2)(y21)0，即y1.所以动点Q的轨迹是两条平行直线.5.【解题指南】找到动点M满足的等量关系，用定义法求解.【解析】选D.M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|MQ|，|MC|MA|MC|MQ|CQ|5(5|AC|)，即点M的轨迹是椭圆，a，c1，则b2a2c2，点M的轨迹方程为1.6.【解析】选C.当点P在定圆O的圆周上时，圆C与圆O内切或外切，O，P，C三点共线，轨迹为两条射线；当点P在定圆O内时(非圆心)，|OC|PC|r0为定值，轨迹为椭圆；当P与O重合时，圆心轨迹为圆.【误区警示】本题易因讨论不全，或找错关系而出现错误.7.【解析】设直线AB的方程为yxm，代入椭圆方程，得2mxm210，设AB的中点坐标为M(x，y)，则x，y，消去m得x4y0，又因为4m25(m21)0，所以m，于是 x.答案：x4y0(x)【误区警示】本题易出现x4y0的错误结论，其错误原因是没有注意到动点在椭圆内.8.【解析】如图，连接PA.依题意可知|PA|PB|，|PA|PF|PB|PF|BF|2，P点轨迹为以A(，0)，F(，0)为焦点，长半轴长为1的椭圆.其方程可设为1.又c，a1，b2a2c2.故P点的轨迹方程为x2y21.答案：x2y219.【解析】以直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设A(a,0)，B(a,0)，P(x，y)，则有m，即mx2y2a2m，当m0且m1时，轨迹为椭圆；当m0时，轨迹为双曲线；当m1时，轨迹为圆；当m0时，轨迹为一直线；但不能是抛物线的方程.来源:答案：10.【解析】(1)设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(xP，yP)，因为点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|PD|，所以xPx，且yPy，P在圆x2y225上，x2(y)225，整理得1，即点M的轨迹C的方程是1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程是y(x3)，设此直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入C的方程1得：1，化简得x23x80，x1x23，x1x28，|x1x2|，所以线段AB的长度是|AB|来源:，即所截线段的长度是.11.【解析】(1) ab，ab(x，y)(kx，y)0，得kx2y220，即kx2y22，当k0时，方程表示两条与x轴平行的直线；来源:当k1时，方程表示以原点为圆心，以为半径的圆；当k0且k1时，方程表示椭圆；当k0时，方程表示焦点在y轴上的双曲线.(2)当k时，动点M的轨迹T的方程为1，设满足条件的直线l存在，点B关于直线l的对称点为B(x0，y0)，则由轴对称的性质可得：1，m，解得：x0m，y0m，点B(x0，y0)在轨迹T上，1，整理得3m22m20，解得m或m，来源:直线l的方程为yx或yx，经检验yx和yx都符合题意，满足条件的直线l存在，其方程为yx或yx.【变式备选】已知两点M和N分别在直线ymx和ymx(m0)上运动，且|MN|2，动点P满足：2 (O为坐标原点)，点P的轨迹记为曲线C.来源:来源:(1)求曲线C的方程，并讨论曲线C的类型；(2)过点(0,1)作直线l与曲线C交于不同的两点A、B，若对于任意m1，都有AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围.【解析】(1)由2，得P是MN的中点.设P(x，y)，M(x1，mx1)，N(x2，mx2)，依题意得：，消去x1，x2，整理得1.当m1时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；来源:当0m1时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当m1时，方程表示圆.(2)由m1知方程表示焦点在y轴上的椭圆，直线l与曲线C恒有两交点，直线斜率不存在时不符合题意.可设直线l的方程为ykx1，直线与椭圆交点A(x3，y3)，B(x4，y4).(m4k2)x22kx1m20.x3x4，x3x4.y3y4(kx31)(kx41)1.要使AOB为锐角，只需0，x3x4y3y40.即m4(k21)m210，可得m2k21，对于任意m1恒成立.而m22，k212，1k1.所以k的取值范围是1,1.【探究创新】来源:【解题指南】对于(1)，可结合平面向量直接求解.对于(2)，探索性问题是解析几何中的一类常见题，这类问题通常是先假设存在，然后再根据已知信息进行计算或论证，并注意检查其条件之间的相容性.【解析】(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，由题意知c1，又1，即(ac)(ac)a2c21，a22，b21，椭圆方程为y21.(2)假设存在直线l交椭圆于P、Q两点，且F恰为PQM的垂心，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(0,1)，F(1,0)，kPQ1，于是设直线l为yxm，由得3x24mx2m220.0x1(x21)y2(y11)x1(x21)(x2m)(x1m1)0.即2x1x2(x1x2)(m1)m2m0，由根与系数的关系得2(m1)m2m0，解得m或m1，8m224，当m时，满足0，m，而m1时，直线l经过M点，不符合题意，l的方程为yx.
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