2017年北京市第四中学高三上学期期中考试数学（理）试卷（解析版）

2016-2017学年北京市第四中学高三上学期期中考试数学（理）一、选择题：共8题1已知全集U=1,2,3,4,集合A=1,2,则UA=A.4B.3,4C.3D.1,3,4【答案】B【解析】本题主要考查集合的基本运算.由补集的定义可知，UA=3,42设命题p:nN,n22n,则p为A.nN,n22nB.nN,n22nC.nN,n22nD.nN,n2bcB.acbC.bcaD.cba【答案】D【解析】本题主要考查抽象函数的性质，考查了逻辑推理能力.因为f(x+1)=-f(x),所以fx+2=-fx+1=f(x),所以偶函数f(x)的周期为2，又函数f(x)在区间-1,0上单调递增,所以函数f(x)在区间0,1上单调递减,又a=f3=f(1),b=f2-2=f(2-2),c=f2=f(0),所以cba8已知函数f(x)=-x2+2x,x0ln(x+1),x0,若|f(x)|ax,则实数a的取值范围是A.(-,0B.(-,1C.-2,1D.-2,0【答案】D【解析】本题主要考查导数、函数的性质，考查了数形结合思想与逻辑推理能力.作出函数y=|f(x)|的图像与y=ax的图像，如图所示，由图像可知：函数y=ax的图像为过原点的直线，当直线介于直线l与x轴之间时符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为y=x2-2x,y=2x-2,因为x0，故y-2,故直线l的斜率为-2，故只需直线y=ax的斜率a介于-2与0之间即可，即a-2,0二、填空题：共6题9设i是虚数单位,则1-i1+i=.【答案】-i【解析】本题主要考查复数的四则运算.1-i1+i=(1-i)(1-i)(1+i)(1-i)=-i10执行如图所示的框图,输出值x=.【答案】12【解析】本题主要考查条件结构与循环结构的程序框图，考查了逻辑推理能力.运行程序：x=1;x=2;x=4,x=5;x=6;x=8,x=9;x=10;x=12,此时满足条件，循环结束，输出x=12.11若等差数列an满足a7+a8+a90,a7+a100,a8+a9=a7+a100,a90时,f(x)=x2-4x,则不等式xf(x)0的解集为_.【答案】(-,-4)(4,+)【解析】本题主要考查函数的性质，考查了转化思想与逻辑推理能力.设gx=xf(x),因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以gx=xf(x)是R上的偶函数，且g0=0,x0时,解不等式xf(x)0可得x4,所以不等式xf(x)0的解集为(-,-4)(4,+)13要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米200元,侧面造价是每平方米100元,则该容器的最低总造价是_元.【答案】1600【解析】本题主要考查函数的解析式与性质、基本不等式的应用，考查了分析问题与解决问题的能力.设长方体的底面的长为xm，则宽为4xm，总造价为y元，则y=4200+2100x+4x800+400x4x=1600，当且仅当x=4x，即x=2时，等号成立，故答案为1600元14已知函数y=f(x),任取tR,定义集合:At=y|y=f(x),点P(t,f(t),Q(x,f(x)满足|PQ|2.设Mt,mt分别表示集合At中元素的最大值和最小值,记h(t)=Mt-mt.则(1) 若函数f(x)=x,则h(1)=_;(2)若函数f(x)=sin(2x),则h(t)的最小正周期为_.【答案】22【解析】本题主要考查新定义问题、集合、三角函数，考查了逻辑推理能力与计算能力.(1)若函数f(x)=x,则点P(t,t),Q(x,x),因为|PQ|2，所以(x-t)2+(x-t)22，化简可得|x-t|1,即1-txt+1,即Mt=t+1,mt=1-t,因为h(t)=Mt-mt，所以h1=1+1-1-1=2；(2)若函数f(x)=sin(2x),此时，函数的最小正周期为T=4，点P(t,sin(2t),Q(x,sin(2x),如图所示：当点P在A点时，点O在曲线OAB上，Mt=1,mt=0,ht=Mt-mt=1，当点P在B点时，Mt=1,mt=-1,ht=Mt-mt=2，当点P在曲线上从B接近C时，ht逐渐减小，当点P在曲线上从C接近D时，ht逐渐增大，Mt=1,mt=-1,ht=Mt-mt=2，当点P在曲线上从D接近E时，ht逐渐减小，Mt=1,mt=0，ht=Mt-mt=1，依次类推，发现ht的最小正周期为2，因此，本题正确答案为2.三、解答题：共6题15集合A=x|x2-3x+20,B=x|122x-18,C=x|(x+2)(x-m)0,其中mR.()求AB;()若(AB)C,求实数m的取值范围.【答案】()A=x|x2-3x+20=(1,2);B=x|122x-1-2,则C=(-2,m),若AB=(0,4)C,则m4;若m=-2,则C=,不满足AB=(0,4)C,舍;若m-2、m=-2、m0.()若a=1,求f(x)的单调区间;()若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.【答案】定义域为0,+).f(x)=aax+1-2(1+x)2=ax2+a-2(ax+1)(1+x)2.()若a=1,则f(x)=x2-1(x+1)(1+x)2,令f(x)=0,得x=1(舍-1).所以a=1时,f(x)的单调增区间为(1,+),减区间为(0,1).()f(x)=ax2+a-2(ax+1)(1+x)2,x0,a0ax+10当a2时,在区间0,+上,fx0f(x)在1,+)单调递增,所以fx的最小值为f0=1.当0a0解得x2-aa,由fx0解得x2-aaf(x)的单调递减区间为(0,2-aa),单调递增区间为(2-aa,+)所以f(x)在x=2-aa处取得最小值,注意到f2-aa0,fx0,即可得出结论；(2)f(x)=ax2+a-2(ax+1)(1+x)2,分a2、0a0),求g(x)的最大值;()证明函数f(x)的图象与直线y=1没有公共点.【答案】(I)函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=(alnx+bx)ex+(alnx+bx)(ex)=(ax-bx2+alnx+bx)ex由题意可得f(1)=2,f(1)=e.故a=1,b=2e.()g(x)=xe-x-2e,则g(x)=e-x(1-x).所以当x(0,1)时g(x)0;当x(1,+)时,g(x)1,于是函数f(x)的图象与直线y=1没有公共点等价于f(x)1.而f(x)1等价于xlnxxe-x-2e.设函数h(x)=xlnx,则h(x)=lnx+1.所以当x(0,1e)时,h(x)0.故h(x)在(0,1e)单调递减,在(1e,+)单调递增,从而h(x)在(0,+)的最小值为h1e=-1e.由()知综上,当x0时,h(x)g(x),即f(x)1.【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义、函数的性质，考查了转化思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)由题意可得f(1)=2,f(1)=e，求解即可；(2)g(x)=e-x(1-x)，判断函数的单调性，即可求出最大值；(3)由(1)知f(1)=21，由题意可得f(x)1，等价于xlnxxe-x-2e，设函数h(x)=xlnx，求导并求出h(x)的最小值，结合(2)即可得出结论.20对于集合M,定义函数fM(x)=-1,xM,1,xM.对于两个集合M,N,定义集合MN=x|fM(x)fN(x)=-1. 已知A=2,4,6,8,10,B=1,2,4,8,16.()写出fA(1)和fB(1)的值,并用列举法写出集合AB;()用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数,求Card(XA)+Card(XB)的最小值;()有多少个集合对(P,Q),满足P,QAB,且(PA)(QB)=AB?【答案】()fA(1)=1,fB(1)=-1,AB=1,6,10,16.()根据题意可知：对于集合C,X,aC且aX,则Card(C(Xa)=Card(CX)-1;若aC且aX,则Card(C(Xa)=Card(CX)+1.所以要使Card(XA)+Card(XB)的值最小,2,4,8一定属于集合X;1,6,10,16是否属于X不影响Card(XA)+Card(XB)的值;集合X不能含有AB之外的元素.所以当X为集合1,6,10,16的子集与集合2,4,8的并集时,Card(XA)+Card(XB)取到最小值4.()因为AB=x|fA(x)fB(x)=-1,所以AB=BA.由定义可知：fAB(x)=fA(x)fB(x).所以对任意元素x,f(AB)C(x)=fAB(x)fC(x)=fA(x)fB(x)fC(x),fA(BC)(x)=fA(x)fBC(x)=fA(x)fB(x)fC(x).所以f(AB)C(x)=fA(BC)(x).所以(AB)C=A(BC).由(PA)(QB)=AB知：(PQ)(AB)=AB.所以(PQ)(AB)(AB)=(AB)(AB).所以PQ=.所以PQ=,即P=Q.因为P,QAB,所以满足题意的集合对(P,Q)的个数为27=128.【解析】本题主要考查新定义问题、集合与集合间的基本关系、函数、集合的基本运算，考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.(1)由题意易得结论；(2)根据题意可知：对于集合C,X,若aC且aX,则Card(C(Xa)=Card(CX)-1;若aC且aX,则Card(C(Xa)=Card(CX)+1，由此可得结论；(3)由题意易得AB=BA，由定义可知：fAB(x)=fA(x)fB(x)，易知f(AB)C(x)=fA(BC)(x)，由(PA)(QB)=AB可得(PQ)(AB)=AB，则结论易得.