数学建模：投资问题

.投资的收益与风险问题摘要对市场上的多种风险资产和一种无风险资产存银行进展组合投资策略的设计需要考虑两个目标：总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，而这两个目标在一定意义上是对立的。本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型，并通过最大化策略，即控制风险使收益最大，将原模型简化为单目标的线性规划模型一；在保证一定收益水平下，以风险最小为目标，将原模型简化为了极小极大规划模型二；以及引入收益风险偏好系数，将两目标加权，化原模型为单目标非线性模型模型三。然后分别使用Matlab的部函数linprog，fminma*，fmincon对不同的风险水平，收益水平，以及偏好系数求解三个模型。关键词：组合投资，两目标优化模型，风险偏好2. 问题重述与分析3. 市场上有种资产如股票、债券、()供投资者选择，*公司有数额为的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这种资产进展了评估，估算出在这一时期购置的平均收益率为，并预测出购置的风险损失率为。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购置假设干种资产时，总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量。购置要付交易费，费率为，并且当购置额不超过给定值时，交易费按购置计算不买当然无须付费。另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险。1、时的相关数据如下：资产收益率(%)风险率(%)交易费(%)阀值(元)282.51103211.52198235.54.552252.66.540试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购置假设干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。2、试就一般情况对以上问题进展讨论，并利用以下数据进展计算。资产收益率(%)风险率(%)交易费(%)阀值(元)9.6422.118118.5543.240749.4606.042823.9421.55498.11.27.627014393.439740.7685.617831.233.43.122033.653.32.747536.8402.924811.8315.119595.55.732035462.72679.45.34.532815237.6131此题需要我们设计一种投资组合方案，使收益尽可能大，而风险尽可能小。并给出对应的盈亏数据，以及一般情况的讨论。这是一个优化问题，要决策的是每种资产的投资额，要到达目标包括两方面的要求:净收益最大和总风险最低，即此题是一个双优化的问题，一般情况下，这两个目标是矛盾的，因为净收益越大则风险也会随着增加，反之也是一样的，所以，我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标的决策方案，我们只能做到的是：在收益一定的情况下，使得风险最小的决策，或者在风险一定的情况下，使得净收益最大，或者在收益和风险按确定好的偏好比例的情况下设计出最好的决策方案，这样的话，我们得到的不再是一个方案，而是一个方案的组合，简称组合方案。设购置Si i=0,1.n;S0表示存入银行，的金额为*i;所支付的交易费为ci(*i)，则：对Si 投资的净收益为:i0，1，n对Si投资的风险为:i0，1，n，q0=0对Si投资所需资金即购置金额*i与所需的手续费ci(*i) 之和是i0，1，n投资方案用*=*0，*1，*n表示，则，净收益总额为：总风险为：=所需资金为：所以，总收益最大，总风险最小的双目标优化模型表示为：但是像这样的双目标模型用一般的方法很难求解出来的，所以经过分析把次模型转化为三种较简单的单目标模型。3.假设与模型假设该公司在这一时期是一次性投资；除交易费和投资费用外再无其他的费用开支；在这一时期市场开展根本上是稳定的；外界因素对投资的资产无较大影响；无其他的人为干预；社会政策无较大变化；公司的经济开展对投资无较大影响资产投资是在市场中进展的，市场是复杂多变的，是无法用数量或函数进展准确描述的，因此以上的假设是必要的，一般说来物价变化具有一定的周期性，社会政策也并非天天改变，公司自身的开展在稳定的情况下才会用额外的资金进展较大的风险的投资，市场与社会的系统开展在一个时期是良性的、稳定的，以上假设也是合理的。3.1模型a假设投资的风险水平是k,即要求总风险Q*限制在k，Q*，则模型可转化为：ma* s.t 3.2模型b假设投资的收益水平是h，即净收益总额不少于 h：h，则模型可转化为：s.t 3.3模型c假设投资者对风险和收益的相对偏好参数为0，则模型可转化为：s.t.3.4 模型求解及分析由于交易费ci(*i)是分段函数，使得上述模型中的目标函数或约束条件相比照拟复杂，是一个非线性规划问题，难于求解. 但注意到总投资额M相当大，一旦投资资产Si，其投资额*i一般都会超过ui，于是交易费ci(*i)可简化为线性函数从而，资金约束简化为净收益总额简化为在实际进展计算时，可设M=1，此时=i0，1，n可视作投资Si的比例. 以下的模型求解都是在上述两个简化条件下进展讨论的.1模型 a 的求解模型 a 的约束条件Q(*)k即k，所以此约束条件可转化为i0，1，n.这时模型 a 可化简为如下的线性规划问题：具体到n=4 的情形，按投资的收益和风险问题中题中给定的数据，模型为：s.t i0，1，4利用matlab7.1 求解模型a输出结果是0.177638, *0 - 0.158192, *1 - 0.2, *2 - 0.333333, *3 - 0.0909091,*4 - 0.192308这说明投资方案为0.158192，0.2，0.333333，0.0909091，0.192308时，可以获得总体风险不超过 0.005 的最大收益是 0.177638M.当k取不同的值00.025，风险与收益的关系见图1.输出结果列表如下：表1模型1的计算结果风险水平k最大收益00.05100000.0010.07550.83160.040.06670.01820.03850.0020.10110.66330.080.13330.03640.07690.0030.12660.49490.120.20.05450.11540.0040.15210.32660.160.26670.07270.15380.0050.17760.15820.20.33330.09090.19230.0060.201900.240.40.10910.22120.0070.206600.280.46670.12730.10160.0080.211200.320.53330.127100.0090.215500.360.60.023300.010.21900.40.5843000.0110.222300.440.5447000.0120.225600.480.5051000.0130.228800.520.4655000.0140.232100.560.4259000.0150.235400.60.3863000.0160.238700.640.3467000.0170.241900.680.3071000.0180.245200.720.2675000.0190.248500.760.2278000.020.251800.80.1882000.0210.25500.840.1486000.0220.258300.880.109000.0230.261600.920.0694000.0240.264900.960.0298000.0250.267300.9901000图1模型1中风险k与收益的关系结合图1，对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择图中曲线的拐点0.006，0.2019，这时对的投资比例见表1的黑体所示。从表1中的计算结果可以看出，对低风险水平，除了存入银行外，投资首选风险率最低的S2，然后是S1和S4，总收益较低；对高风险水平，总收益较高，投资方向是选择净收益率ripi较大的S1和S2这些与人们的经历是一致的，这里给出了定量的结果2模型 b 的求解模型 b 本来是极小极大规划：s.t. h*0但是，可以引进变量*n+1=，将它改写为如下的线性规划：s.t ,i=0,1,2,n,h,*0具体到n=4 的情形，按投资的收益和风险问题中题中给定的数据，模型为：min *5s.t i0，1，5利用 matlab7.1 求解模型 b，当h取不同的值0.10.25，我们计算最小风险和最优决策,收益水平h取，结果如表2所示，风险和收益的关系见图2.从表2看出，对低收益水平，除了存入银行外，投资首选风险率最低的资产，然后是和，总收益当然较低。对高收益水平，总风险自然也高，应首选净收益率最大的和。这些与人们的经历是一致的。表2模型2的计算结果风险水平k最大收益0.0020.10.67020.07830.13060.03560.07530.00240.110.60430.0940.15670.04270.09040.00270.120.53830.10970.18280.04990.10550.00310.130.47240.12540.20890.0570.12050.00350.140.40640.1410.2350.06410.13560.00390.150.34050.15670.26120.07120.15070.00430.160.27450.17240.28730.07830.16570.00470.170.20860.1880.31340.08550.18080.00510.180.14260.20370.33950.09260.19590.00550.190.07670.21940.36560.09970.21090.00590.20.01070.2350.39170.10680.2260.00780.2100.31140.5190.05690.09080.01030.2200.4120.5725000.01340.2300.53410.4515000.01640.2400.65630.3305000.01950.2500.77840.209600图2模型2中风险与收益h的关系结合图2，对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择图中曲线的拐点0.059，0.2，这时对的投资比例见表2的黑体所示。3模型 c 的求解类似模型 b 的求解，我们同样引进变量*n+1=，将它改写为如下的线性规划：min *n+11s.t ,i=0，1，2，n*0具体到n=4 的情形，按投资的收益和风险问题题中给定的数据，模型为：s.t i0，1，5利用 matlab7.1 求解模型 c，当取不同的值0.750.95，我们计算最小风险和最优决策输出结果列表如下：表3模型3的计算结果风险水平最大收益率0.760.02480.267300.99010000.770.02480.267300.99010000.780.00920.216500.36930.6147000.790.00920.216500.36920.6148000.80.00790.210700.31510.52180.143100.810.00920.216500.36870.6154000.820.00740.208400.29570.49280.13440.05470.830.00790.210600.31390.52350.142500.840.0060.201700.23860.39730.10820.2260.850.0060.201600.23750.39670.10840.22750.860.00620.202600.24680.41130.07530.23720.870.00660.204500.26530.44220.00880.25520.880.00590.201700.23790.39640.10780.22790.890.0060.201700.2390.39370.10790.22940.90.0060.201800.23920.3980.10290.22990.910.00590.201700.2380.39580.10750.22870.920.00590.201600.23760.39610.1080.22840.930.00590.201600.23750.39630.1080.22820.940.00610.18470.1350.24360.33090.11060.15570.950.00590.201600.23760.3960.1080.22850.960.00170.09160.72560.06520.10650.03020.06410.970.00540.18480.1140.21410.35640.09740.192从图5可以看出，模型3的风险与收益关系与模型1和模型2的结果几乎完全一致。图3模型3中风险与收益的关系图4模型3中风险与偏好系数的关系图5模型3中收益与偏好系数的关系四模型评价与推广本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型，通过控制风险使收益最大，保证收益使风险最小，以及引入收益风险偏好系数，将两目标模型化为了单目标模型，并使用matlab7.1求解，所得结果具有一定的指导意义。但是，本文没有讨论收益和风险的评估方法，在实际应用中还存在资产相关的情形，此时，用最大风险代表组合投资的风险未必合理，因此，对不同风险度量下的最优投资组合进展比拟研究是进一步的改良方向。五总结历经两周的时间终于完成了这次课设，在这次实践课程中，我真的遇到了不少的问题，在同学，教师的帮助以及在图书馆和搜集资料，解决了所有遇到的问题。尤其在问题分析的过程中，是难度最大也是问题最多的环节，感觉总是把问题分析的不够全面透彻，经常顾及这个方面而无视了另一方面，最后我请教了同学，终于完成了问题分析并且建立了模型。在完成这一环节后，接下来的任务都是我独立完成，也遇到了不少的困难，但都是较易解决的。通过这次实践，我确实学到了不少，学会了使用MATLAB，也知道了分析问题的方法。六参考文献1MATLAB程序设计与实例应用。铮等。：中国铁道，2003.102运筹学方法与应用。吴风平。：河海大学，2000.123数学模型及方法。火林主编。高校，1997.104数学建模教育及竞赛。甘筱青主编。：高校。2004.65萧树铁，面向21世纪课程教材：大学数学数学实验，：高等教育，1999.7.6赫孝良，戴永红等编著，数学建模竞赛：赛题简析与论文点评，：交通大学，2002.6.7叔平，谭永基，一类投资组合问题的建模与分析，数学的实践与认识，297：45-49，1999.七附录function result=qiujie()%data为表格数据data=28 2.5 1 10321 1.5 2 19823 5.5 4.5 5225 2.6 6.5 40;data1=9.6 42 2.1 18118.5 54 3.2 40749.4 60 6.0 42823.9 42 1.5 5498.1 1.2 7.6 27014 39 3.4 39740.7 68 5.6 17831.2 33.4 3.1 22033.6 53.3 2.7 47536.8 40 2.9 24811.8 31 5.1 1959 5.5 5.7 32035 46 2.7 2679.4 5.3 4.5 32815 23 7.6 131;data=5 0 0 0;data./100;%增加存银行r=data(:,1);q=data(:,2);p=data(:,3);% %模型一求解% result=;% for a=0:0.01:0.5% result=result;mo*ing1(r,q,p,a);% end% result=round(result.*10000)./10000;% plot(result(:,1),result(:,2)% grid on% *label(风险 )% ylabel(收益)% %模型二求解% result=;% for k=0.1:0.01:0.4% result=result;mo*ing2(r,q,p,k);% end% result=round(result.*10000)./10000;% plot(result(:,1),result(:,2)% grid on% *label(风险 )% ylabel(收益)%模型三求解result=;for s=0.76:0.01:0.97 result=result;mo*ing3(r,q,p,s);endresult=round(result.*10000)./10000;figure(1)plot(result(:,2),result(:,3)grid on*label(风险 )ylabel(收益)pausefigure(2)plot(result(:,1),result(:,2)grid on*label(偏好系数 )ylabel(风险)pausefigure(3)plot(result(:,1),result(:,3)grid on*label(偏好系数 )ylabel(收益)function result1=mo*ing1(r,q,p,a)%线性规划模型%r收益率，为列向量%p交易费率，为列向量%q风险率，为列向量%a风险水平 f=(p-r);%转为求极小 n=length(q); I=eye(n);for i=2:n A(i-1,:)=q(i)*I(i,:);end b=a*ones(n-1,1);Aeq=(1+p); beq=1; lb=zeros(n,1);ub=; *,fval,e*itflag,output=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub); result1=a,-fval,*;endfunction result2=mo*ing2(r,q,p,k)%极小极大模型%r收益率，为列向量%p交易费率，为列向量%q风险率，为列向量%k收益水平 n=length(q); f=(*)q.*(1:n); A=(p-r); b=-k; Aeq=1+p; beq=1; lb=zeros(n,1); ub=;*0=rand(n,1); *,fval,ma*fval,e*itflag=fminima* (f,*0,A,b,Aeq,beq,lb,ub); result2=ma*(q.*),k,*;endfunction result3=mo*ing3(r,q,p,s)%极小极大模型%r收益率，为列向量%p交易费率，为列向量%q风险率，为列向量%s投资偏好系数 n=length(q); f=(*)(s*ma*(q.*)-(1-s)*sum(r-p).*); A=;b=;Aeq=1+p; beq=1; lb=zeros(n,1); ub=; *0=rand(n,1); *,fval,e*itflag,output = fmincon(f,*0,A,b,Aeq,beq,lb,ub);result3=s,ma*(q.*),sum(r-p).*),*;end end.