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高中数学难点解析高中数学难点解析教案37 数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位,其“数”与“形”结合,相互渗透,把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合,使代数问题、几何问题相互转化,使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想,就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义又揭示其几何意义,将数量关系和空间形式巧妙结合,来寻找解题思路,使问题得到解决.运用这一数学思想,要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征. 难点磁场1.曲线y=1+ (2x2)与直线y=r(x2)+4有两个交点时,实数r的取值范围 .2.设f(x)=x22ax+2,当x1,+)时,f(x)a恒成立,求a的取值范围.案例探究例1设A=x2xa,B=yy=2x+3,且xA,C=zz=x2,且xA ,若CB,求实数a的取值范围.命题意图:本题借助数形结合,考查有关集合关系运算的题目.属级题目.知识依托:解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C.进而将CB用不等式这一数学语言加以转化.错解分析:考生在确定z=x2,x2,a的值域是易出错,不能分类而论.巧妙观察图象将是上策.不能漏掉a2这一种特殊情形.技巧与方法:解决集合问题首先看清元素究竟是什么,然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言,进而分析条件与结论特点,再将其转化为图形语言,利用数形结合的思想来解决.解:y=2x+3在2, a上是增函数1y2a+3,即B=y1y2a+3作出z=x2的图象,该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下:当2a0时,a2z4即C=zz2z4要使CB,必须且只须2a+34得a与2a0矛盾.当0a2时,0z4即C=z0z4,要使CB,由图可知:必须且只需1 / 7解得a2当a2时,0za2,即C=z0za2,要使CB必须且只需解得2a3当a2时,A=此时B=C=,则CB成立.综上所述,a的取值范围是(,2),3.例2已知acos+bsin=c, acos+bsin=c(ab0,k, kZ)求证:.命题意图:本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力.属级题目.知识依托:解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上.错解分析:考生不易联想到条件式的几何意义,是为瓶颈之一.如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二.技巧与方法:善于发现条件的几何意义,还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义,这样才能巧用数形结合方法完成解题.证明:在平面直角坐标系中,点A(cos,sin)与点B(cos,sin)是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图.从而:AB2=(coscos)2+(sinsin)2=22cos()又单位圆的圆心到直线l的距离由平面几何知识知OA2(AB)2=d2即.锦囊妙计应用数形结合的思想,应注意以下数与形的转化:(1)集合的运算及韦恩图(2)函数及其图象(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线以形助数常用的有:借助数轴;借助函数图象;借助单位圆;借助数式的结构特征;借助于解析几何方法.以数助形常用的有:借助于几何轨迹所遵循的数量关系;借助于运算结果与几何定理的结合.歼灭难点训练一、选择题1.()方程sin(x)=x的实数解的个数是( )A.2 B.3 C.4 D.以上均不对2.()已知f(x)=(xa)(xb)2(其中ab,且、是方程f(x)=0的两根(,则实数a、b、的大小关系为( )A.ab B.abC.ab D.ab二、填空题3.()(4cos+32t)2+(3sin1+2t)2,(、t为参数)的最大值是 .4.()已知集合A=x5x,B=xx2axxa,当AB时,则a的取值范围是 .三、解答题5.()设关于x的方程sinx+cosx+a=0在(0,)内有相异解、.(1)求a的取值范围;(2)求tan(+)的值.6.()设A=(x,y)y=,a0,B=(x,y)(x1)2+(y3)2=a2,a0,且AB,求a的最大值与最小值.7.()已知A(1,1)为椭圆=1内一点,F1为椭圆左焦点,P为椭圆上一动点.求PF1+PA的最大值和最小值.8.()把一个长、宽、高分别为25 cm、20 cm、5 cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过,那么正方形窗口的边长至少应为多少?参 考 答 案难点磁场1.解析:方程y=1+的曲线为半圆,y=r(x2)+4为过(2,4)的直线.答案:(2.解法一:由f(x)a,在1,+)上恒成立x22ax+2a0在1,+)上恒成立.考查函数g(x)=x22ax+2a的图象在1,+时位于x轴上方.如图两种情况:不等式的成立条件是:(1)=4a24(2a)0a(2,1)(2)a(3,2,综上所述a(3,1).解法二:由f(x)ax2+2a(2x+1)令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象.如图满足条件的直线l位于l1与l2之间,而直线l1、l2对应的a值(即直线的斜率)分别为1,3,故直线l对应的a(3,1).歼灭难点训练一、1.解析:在同一坐标系内作出y1=sin(x)与y2=x的图象如图.答案:B2.解析:a,b是方程g(x)=(xa)(xb)=0的两根,在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图象如图所示:答案:A二、3.解析:联想到距离公式,两点坐标为A(4cos,3sin),B(2t3,12t)点A的几何图形是椭圆,点B表示直线.考虑用点到直线的距离公式求解.答案:4.解析:解得A=xx9或x3,B=x(xa)(x1)0,画数轴可得.答案:a3三、5.解:作出y=sin(x+)(x(0,)及y=的图象,知当1且时,曲线与直线有两个交点,故a(2,)(,2).把sin+cos=a,sin+cos=a相减得tan,故tan(+)=3.6.解:集合A中的元素构成的图形是以原点O为圆心,a为半径的半圆;集合B中的元素是以点O(1,)为圆心,a为半径的圆.如图所示AB,半圆O和圆O有公共点.显然当半圆O和圆O外切时,a最小a+a=OO=2,amin=22当半圆O与圆O内切时,半圆O的半径最大,即a最大.此时aa=OO=2,amax=2+2.7.解:由可知a=3,b=,c=2,左焦点F1(2,0),右焦点F2(2,0).由椭圆定义,PF1=2aPF2=6PF2,PF1+PA=6PF2+PA=6+PAPF2如图:由PAPF2AF2=知PAPF2.当P在AF2延长线上的P2处时,取右“=”号;当P在AF2的反向延长线的P1处时,取左“=”号.即PAPF2的最大、最小值分别为,.于是PF1+PA的最大值是6+,最小值是6.8.解:本题实际上是求正方形窗口边长最小值.由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小,所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小.如图:设AE=x,BE=y,则有AE=AH=CF=CG=x,BE=BF=DG=DH=y. -温馨提示:如不慎侵犯了您的权益,可联系文库删除处理,感谢您的关注!
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