几何画板与初中数学教学整合的

几何画板与初中数学教学整合的实践应用沈忠良（江苏省吴江市铜罗中学）摘要：几何画板作为信息技术与数学教学整合的主要工具，具有灵活的绘图功能和丰富的变换功能，并能对图形的几何变换进行动态演示，增加了学习的直观性和参与性，这些教学能效在传统的笔纸环境中是难以实现的。几何画板在辅助数学教学方面的独特优势开创了教与学的新方式，教师由简单的知识传输者转变为学生学习的引导者，学生由简单的知识接受者转变为获取知识的探索者。基于此，本文结合教学案例，从实验探究、动态展示、辅助变式和数形结合四个角度来论述几何画板与初中数学教学有效整合的策略，旨在为广大数学教育工作者优化课堂教学提供一些借鉴或启示。关键词：几何画板；初中数学；整合；实践应用全日制义务教育数学课程标准指出：“现代信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及学与教的方式产生了重大的影响。把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。”几何画板是信息技术与数学教学整合的主要工具之一，其快捷精准的绘图、智能的几何变换、直观的动态演示等功能，为学生创造了一个探索几何图形内在关系的环境，让学生在观察、探索、发现的过程中深化对各种图形的感性认识，形成丰富的几何认知经验，促进对数学问题的深入理解和思考。几何画板为学生探索知识增添了更多的途径，同时也为教师研究教学开辟了更广的空间。在初中数学课堂教学中如何充分发挥几何画板的功能优势，优化课堂教学，成了当前新课程改革中值得探索的一个课题。下面笔者结合教学实践，谈一谈如何将几何画板与初中数学教学进行有效的整合。一、探究数学实验，把握问题本质学习和研究数学不仅需要演绎、推理，也需要实验、归纳。数学实验作为一种新颖的数学研究方法，已成为中学数学学习的一种新形式。广义的数学实验是指在特定的实验条件下，实验者为了解决某个未知问题，验证某个数学猜想，获取某个数学结论，运用一定的技术手段或工具，并以数学理论和数学思想为指导，将实验对象进行数学化的处理，从而解释数学现象、理解数学内容或构建数学知识的一类数学研究活动。进行数学教学时，既要关注数学内容抽象化、形式化的一面，还要关注数学发现过程中经验化、具体化的一面，为此可以利用几何画板进行数学实验，辅助学生把握数学问题的结构特点，认清数学本质。【案例1】在初中数学“中点四边形”的探究活动课中，教师可以运用几何画板引导学生探究中点四边形的特征，探究的过程如图1所示。图1 “中点四边形”的探究过程几何画板为学生进行数学实验创造了良好的条件，利用其实时度量功能，能快速地为学生提供精准的度量数据，利用其动画功能，可以动态地展示任意改变四边形形状时某些几何元素的变化情况，这有利于学生发现问题背后所隐藏的规律。如图2，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；如图3，对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形；如图4，对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形。学生可以在各种情况下观察到，若四边形ABCD的形状发生变化，则结论也随之发生改变。如图5所示，如果改变四边形ABCD一个顶点的位置，还能将凸四边形演变成凹四边形，并探究不同的结论。这些实验操作既让学生体验了由特殊到一般、由一般到特殊的数学研究过程，又让学生进一步理解和掌握了四边形的有关概念、性质和判定。几何画板所呈现的丰富的动态图形，极大地开阔了学生的视野，给学生提供了更多“发现”的机会。图2图3图4图5二、展示动态过程，形成数学表象数学表象就是人脑对数学物象的形式结构特征进行概括而得到的观念性形象，它是构成数学形象思维的基本元素，其载体是客观实物模型或原型以及各种几何图形、代数图式，包括数学公式、图表、图象和符号等形象性的外部信息。数学形象思维是人脑对表象信息进行处理，并得出新的数学表象的思维过程。初中阶段的学生其形象思维能力还处于发展阶段，其理论知识储备有限，所以很难透彻地理解教材中一些较抽象的数学问题。这时就需要借助几何画板丰富的动态展示功能，形象地反映图形的运动变化规律和空间结构，呈现知识的产生和发展过程，从而帮助学生形成直观的表象，深化对数学问题的理解和掌握，并发展形象思维能力。【案例2】在初中数学“二次函数”的教学中，关于二次函数、中a、b、c、h、k的值与抛物线的开口大小、开口方向、位置变化之间的关系是一个教学难点。在传统教学中，教师即便采取降低难度、让学生提前预习、选用网格纸画图、设计变式题组等煞费苦心的措施，由于呈现的图形并非动态的，无法形象、直观地展现函数的变化规律，教学效果自然大打折扣。教师费时费力进行“表演”或学生绞尽脑汁凭空想象，学生始终无法逾越知识过于抽象这一障碍，只能依靠机械的记忆，不能有效掌握二次函数的字母系数与图象形状之间的内在联系。而几何画板能弥补这方面的欠缺，它的图象动态演示功能能使抽象的函数变得具体、形象。在函数教学中合理运用几何画板工具，能调动学生学习的积极性，使课堂教学更生动，突破教学难点更轻松。如图6、图7，用几何画板将二次函数中字母系数与抛物线形状位置之间的关系直观、快捷地展现出来，克服了手工画图费时、费力的弊端，有利于学生将精力和时间转移到二次函数的“数”与“形”之间变化规律的探究上。图7图6如图8，通过一系列的探究，引发学生思考这种变化规律的本质，从而由感性认识上升到理性认识，能有效提高课堂教学效果。图8 二次函数的字母系数与图象之间的关系的探究过程三、辅助变式教学，提高解题能力变式教学是促进数学学习的一种有效的教学方式，长期以来被数学教师广泛地用于教学之中。在现代信息技术不断发展的背景下，重新审视数学变式教学，对培养学生的创新思维能力有着深远的意义。几何画板所具有的图形动画处理、几何变换、自动推理、符号计算等功能，为数学变式教学创造了一个简易、快捷的智能操作平台。在数学变式教学中，利用几何画板从不同层次、不同角度、不同途径、不同背景这四方面变更数学对象的内容或形式，引导学生从变化的现象中抓住不变的本质，从不变的本质中探索变化的规律，让学生经历数学知识的发生、发展及形成的过程，强化对知识结构的认识，增加思维活动的经验，提高分析问题和解决问题的技能。【案例3】如图9，已知AOB=90，P 为AOB的角平分线上一点，PC交AO于N，PD交BO于M。若PNO=PMO=90，则利用角平分线的性质易证：PM=PN。变式1：如图10，若保持CPD=90不变，将CPD绕点P旋转，则PM与PN仍相等吗？变式2：如图11，若将题目背景改为P为等腰直角三角形斜边AB的中点，CPD绕点P旋转，并保持CPD=90不变，则PM与PN仍相等吗？变式3：如图12，若将已知条件“AOB=90”改为“AOB=() ”，条件“PNO=PMO=90”改为“PNO+PMO=180”，其它条件不变，结论还成立吗？图9图10图11图12变式4：如图13-15，P为正多边形的中心，仍保持PNO+PMO=180，其它条件不变，结论还成立吗？图13图14图15图16以上变式题还可以拓展为研究CPD与AOB围成部分的面积等问题，此处不再展开。在初中阶段存在一些典型的几何变换问题，由于传统的变式教学无法直观、形象地演示图形的变化过程，使得学生的认知不能深入到问题的内部本质，此时可借助几何画板的几何变换、动画等功能，将几何图形因条件改变而变化的过程从不同角度呈现出来。尽管图形的部分条件发生变化，但解题思路依然没变，上述变式题组的基本模型如图16所示，其中一个直角三角形是由另一个直角三角形经过旋转而得到。利用几何画板的复制和动态模拟功能，可以从复杂图形中分离出基本模型，并使其与原图形保持同步变化，这样有助于学生认识图形，学会从基本模型入手寻找解题的突破口，从而收到触类旁通、举一反三的效果。四、揭示数形关系，优化思维品质数（数量关系）与形（空间形式）是数学教学中的两大基本对象，也是数学发展过程中的两大基石。数形结合思想贯穿于整个中学数学教材体系之中，它是重要的数学思想方法之一。华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”，也就是说数与形之间相辅相成：以形助数，可以化抽象为直观；以数辅形，可以化直观为精确。在传统的数学教学中，因受教学条件的限制，数与形很难真正地完美结合，特别是有些蕴藏在数量关系背后的几何意义很难直观地展现出来。而几何画板凭借其强大的功能优势弥补了这一不足，能化隐为显，化静为动，直观地反映数、形的同步变化，为学生提供一个探索和构建数学模型的平台，从而帮助学生优化思维品质，简化解题过程，提高学习效率。【案例4】有一张三角形纸片ABC，其中BC=6，C=90，A=30。(1) 如图17，若用这张纸片裁剪出一个矩形CDEF，使点D、E、F分别落在AC、AB、BC上，且使矩形CDEF的面积最大，则点E应选在何处？(2) 如图18，若用这张纸片裁剪出一个矩形DEFG，使点D、G分别落在AC、BC上，点E、F均在AB上，且使矩形DEFG的面积最大，则点E应选在何处？图17图18对于上述题组，建立恰当的数学模型是解解决该问题的关键，而学生很难找到解题的突破口，因而退避三舍。这里运用几何画板就能有效突破难点，几何画板为学生寻求解题模型提供了便利。第（1）问中，若假设AE的长为x，则矩形CDEF的面积可表示为y=，用几何画板构造动点P(x，y)，再运用动点追踪功能，就能直观地演示当点E在线段AB上运动时，动点P的运动轨迹（如图19），帮助学生快速建立二次函数模型来解题。第（2）问中，也可以设AE的长为x，则矩形CDEF的面积可表示为y=，类似地用几何画板直观地演示动点P(x，y)的运动轨迹（如图20）。用几何画板将数、形之间的关系动态地展示出来，活跃了学生的思维活动，使抽象的数学知识变得生动形象，容易接受。图19图20数学教学中合理、有效地整合几何画板，能让学生真正参与问题的解决过程，体验知识的形成过程，构建合理、清晰的认知结构，深刻地理解和掌握数学知识。几何画板丰富了教学的手段，给数学课堂教学注入了新的活力，使得在传统的笔纸环境中无法开展的数学探究活动能真正开展起来，更重要的是它使抽象、枯燥的数学变得直观、形象，激发了学生的学习兴趣，有助于学生从传统的被动式学习向主动式学习转换。但是，教学中不能用几何画板完全代替教师的板书和学生的思维训练，几何画板只能视为辅助教师解决教学难点问题、提高教学效率、辅助学生思维的工具。随着课程改革的不断推进，日新月异的信息技术必然会促使数学课堂教学模式发生巨大的变化。如何在教学中恰到好处地运用几何画板，以优化数学课堂教学，仍需要广大教育工作者不断地去探索和思考。参考文献：1 中华人民共和国教育部全日制义务教育数学课程标准（实验稿）S北京：北京师范大学出版社，20012 G波利亚怎样解题数学教学法的新面貌M上海：上海科技教育出版社，2002 3 鲍建生，黄金荣，易凌峰，顾冷沅变式教学研究（续）J数学教学，2003，（2）：6-104 刘胜利几何画板课件制作教程M北京：科学出版社，20045 陶维林几何画板实用范例教程M北京：清华大学出版社，2011作者简介：沈忠良：中学一级教师，本科，研究方向为中学数学教学7