数学思想与方法(函数与方程的思想方法)

函数与方程的思想方法四川省仁寿县钟祥中学 余仁宏 概述函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再利用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想的精髓就是构造函数。 方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。 方程的思想与函数的思想密切相关，函数与方程的思想方法，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的运用。对于函数，当时，就转化为方程，也可以把函数式看做二元方程，函数与方程这种相互转化的关系十分重要。 函数与表达式也可以相互转化，对于函数，当时，就转化为不等式，借助与函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。 数列的通项或前项和时自变量为自然数的函数，用函数观点去处理数列问题也是十分重要。 函数与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题。 解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。建立空间向量后，立体几何与函数的关系就更加密切。 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关问题，达到化难为易、化繁为简的目的。 高考中的方程和不等式问题包括方程、不等式的求解及方程、不等式观点的应用，可以分成逐渐提高的四个层次。 第一层次：解方程或不等式，主要是指解代数（一次、二次等）方程或不等式，指数、对数方程或不等式，三角方程或不等式，复数方程等； 第二层次：对带参数的方程或不等式的讨论，常涉及二次方程的判别式、韦达定理、区间根、区间上恒成立的不等式等问题； 第三层次：转化为方程的讨论，如曲线的位置关系（包括点与曲线及直线与曲线的位置关系）、函数的性质、集合的关系等； 第四层次：构造方程或不等式求解问题。 其中第三、四层次（特别是第四层次）已经进入到方程、不等式观点应用的境界，即把方程、不等式作为基本数学工具去解决各个学科中的问题。 纵观中学数学，可谓是以函数为中心，以函数为纲，“纲举目张”，抓住了函数这个“纲”就带动起了中学数学的“目”。即使对函数极限、导数的研究，也完全是以函数为对象、为中心的。熟练掌握基本初等函数的图像和性质，是应用函数与方程思想解题的基础。善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键。经典例题：一 函数思想所谓函数思想，不仅仅是使用函数的方法来研究和解决函数的问题，它的精髓是运用函数分析问题、解决问题的观点、方法，是通过构造函数关系，使用函数方法来解决问题的思想。1. 构造函数，运用函数的性质例1.（1）已知关于的方程有唯一解，求的值； （2）解不等式。分析：（1）构造函数，则问题转化为求的零点唯一时的。（2）由观察可构造函数再利用函数的性质，解决问题。解析：（1）令，的图像关于轴对称，而题设方程由唯一解，从而此解必为（否则必有另一解），。（2）设，易证在区间内为增函数。点评：有关不等式、方程及最值之类的问题，通过构造函数关系式，借助函数的图像与性质，常可使问题简单得解。2.选定主元，揭示函数关系例2对于的一切值，使不等式恒成立的的取值范围是 分析：从一个含有多变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系。解析; 且，即。当时，不定式不成立。当时，设。当，即又当， 即故的取值范围时。点评：本解的巧妙之处是“反客为主”，求x反而以a为主变元对x进行讨论，这才是真正切中要害。若以x为主元对a进行讨论，则问题的解决就繁就难多了。3选取变元，确定函数关系例3函数的值域是 。分析：一般思路是：平方，移项，孤立根式，再平方，可以化无理式为有理式。面对这样一个低于四次的含双变量的方程，其难度真不敢想象。然而，可考虑转换选取新变元。解析：由，设，那么，当点评：虽然经选取变元后的函数简洁明快，可以使人拍案叫绝，但须特别注意到：转化后的函数上没有单调性，故最大值不能在其右端点取得。4.利用二项式定理构造函数例4：求证：。分析：构造函数，比较两个展开式中的系数。解析：令，展开式中的系数，又其中的系数为，故=。点评：利用函数，用赋值法或“二项”展开来比较系数可以解决许多二项式定理有关的问题。5.用函数的思想方法解数列题例5.已知不定式对一切大于1的自然数n都成立，求实数a的取值范围。分析：无法求和，常规数列的方法就不起作用了，故必须用函数的思想，用研究函数单调性的方法研究这个数列，求出最小值。解析：令，所以为增函数，且由题意得。点评：利用数列的函数性质（本例为单调性）求出的最小值。用函数方法解决问题，正是函数思想的核心。6.建立函数关系解应用题例6.用总长为14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，要求底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。分析：这里有四个变量：底面的长、宽、长方体的体积和高。设长、高可用x表示，容积y是x的函数。运用长方体的体积公式，建立目标函数表达式，再求函数的最大值。解析：设容器底面宽为x(m),则长为x+0.5(m),高为由，设容器的容积为y(m),则有整理得，求导，得，令即解得。从而，在定义域内只有在。因此，当时，y取得最大值，这时，高为。答：当容器的高为1.2m时，容积最大，最大容积是1.8(m)。点评：此题容易忽视的时自变量x的取值范围，缺少它，很难判断求出的最大值是否符合题意。另外，适当设出自变量，建立函数关系是解此类题的关键。本题在求函数最大值时，是用求导的方法求出极值点，再根据实际情况判断是最大值还是最小值。二 方程的思想方程与函数密切相关，在解题中，方程的思想占有重要的地位，也是近年来高考所重点考查的数学思想方法之一。1. 解方程或分析方程的解例7.已知实数成等差数列，成等比数列，且求。分析：利用数列的有关公式，列出方程组求解。解析：由题意得由1、2两式，解得，将带入3式，整理得故。经验算，上述两组数符合题意。点评：本题的列方程组和求解的过程，体现的就是方程的思想。2通过换元构成新的方程例8.关于的方程恒有解，求的取值范围。分析：通过换元将方程变为二次方程恒有正根，同时利用根与系数的关系。解析：（法一）设原方程有解即方程有正根，即，解得（方法二）设当；.综上可得，。点评：对于多元方程（含参数）通常有两类办法：一是换元，将问题转化为二次方程，利用根与系数的关系或判别式，或者利用三角函数的有界性加以解决；二是分离变量构造函数，把方程有解转化为求函数的值域，再根据函数的图像和性质来解决。3.构造方程求解例9.设函数，且存在使得成立。若若直线的图像交与M,N两点，且M,N两点的连线被直线平分，求出的最大值。分析：对于小题，由题设条件易得，由方程根的意义可构造一个根为的一元二次方程，再借助韦达定理发现与对称轴的关系。最后运用二次函数的单调性可判断出；第小题可先建立的函数关系式，再运用均值不等式可求得的最大值。解析：由题意的图像的对称轴为， 。由，代入直线方程，得当且仅当。点评：若没有方程的思想意识，则不能从中观察出m,n是某一个一元二次方程的两根，从而也就无法得出这样有用的关系式，使解答陷入困境。因此，由根的意义或韦达定理构造一元二次方程是最常见的思路，不可忽视。三 函数与方程相互转化的思想解题时，不能局限于函数思想或方程思想，而应该根据两者之间的相互关系，使其能相互转化，以达到快速解题之目的。例10.已知抛物线当为何值时，抛物线与轴有两个交点？若关于的方程的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求的取值范围；如果抛物线与轴相交于A,B两点，与轴交于C点，且的面积等于2，试确定的值。分析：令函数，则转化为求方程有两个不等的实根时的值；利用根与系数的关系转化成解不等式；建立面积的函数关系式，再求函数值为2时方程的解。解析：令据题意，须，即。在得所以m的取值范围是由。点评：型的抛物线，二次方程以及二次不等式之间相互关联，应特别关注它们相互转化时的等价性和互补性。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！7 / 7