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函数与方程的思想方法四川省仁寿县钟祥中学 余仁宏 概述函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是历年高考的重点。函数的思想,是用运动和变化的观点、集合与对应的思想,去分析和研究数学问题中的数量关系,建立函数关系或构造函数,再利用函数的图像和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决。函数思想的精髓就是构造函数。 方程的思想,是分析数学问题中变量间的等量关系,从而建立方程或方程组,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决。 方程的思想与函数的思想密切相关,函数与方程的思想方法,几乎渗透到中学数学的各个领域,在解题中有着广泛的运用。对于函数,当时,就转化为方程,也可以把函数式看做二元方程,函数与方程这种相互转化的关系十分重要。 函数与表达式也可以相互转化,对于函数,当时,就转化为不等式,借助与函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式。 数列的通项或前项和时自变量为自然数的函数,用函数观点去处理数列问题也是十分重要。 函数与二项式定理密切相关,利用这个函数,用赋值法和比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题。 解析几何中的许多问题,例如直线与二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才能解决,这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。建立空间向量后,立体几何与函数的关系就更加密切。 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关问题,达到化难为易、化繁为简的目的。 高考中的方程和不等式问题包括方程、不等式的求解及方程、不等式观点的应用,可以分成逐渐提高的四个层次。 第一层次:解方程或不等式,主要是指解代数(一次、二次等)方程或不等式,指数、对数方程或不等式,三角方程或不等式,复数方程等; 第二层次:对带参数的方程或不等式的讨论,常涉及二次方程的判别式、韦达定理、区间根、区间上恒成立的不等式等问题; 第三层次:转化为方程的讨论,如曲线的位置关系(包括点与曲线及直线与曲线的位置关系)、函数的性质、集合的关系等; 第四层次:构造方程或不等式求解问题。 其中第三、四层次(特别是第四层次)已经进入到方程、不等式观点应用的境界,即把方程、不等式作为基本数学工具去解决各个学科中的问题。 纵观中学数学,可谓是以函数为中心,以函数为纲,“纲举目张”,抓住了函数这个“纲”就带动起了中学数学的“目”。即使对函数极限、导数的研究,也完全是以函数为对象、为中心的。熟练掌握基本初等函数的图像和性质,是应用函数与方程思想解题的基础。善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键。经典例题:一 函数思想所谓函数思想,不仅仅是使用函数的方法来研究和解决函数的问题,它的精髓是运用函数分析问题、解决问题的观点、方法,是通过构造函数关系,使用函数方法来解决问题的思想。1. 构造函数,运用函数的性质例1.(1)已知关于的方程有唯一解,求的值; (2)解不等式。分析:(1)构造函数,则问题转化为求的零点唯一时的。(2)由观察可构造函数再利用函数的性质,解决问题。解析:(1)令,的图像关于轴对称,而题设方程由唯一解,从而此解必为(否则必有另一解),。(2)设,易证在区间内为增函数。点评:有关不等式、方程及最值之类的问题,通过构造函数关系式,借助函数的图像与性质,常可使问题简单得解。2.选定主元,揭示函数关系例2对于的一切值,使不等式恒成立的的取值范围是 分析:从一个含有多变元的数学问题里,选定合适的主变元,从而揭示其中主要的函数关系。解析; 且,即。当时,不定式不成立。当时,设。当,即又当, 即故的取值范围时。点评:本解的巧妙之处是“反客为主”,求x反而以a为主变元对x进行讨论,这才是真正切中要害。若以x为主元对a进行讨论,则问题的解决就繁就难多了。3选取变元,确定函数关系例3函数的值域是 。分析:一般思路是:平方,移项,孤立根式,再平方,可以化无理式为有理式。面对这样一个低于四次的含双变量的方程,其难度真不敢想象。然而,可考虑转换选取新变元。解析:由,设,那么,当点评:虽然经选取变元后的函数简洁明快,可以使人拍案叫绝,但须特别注意到:转化后的函数上没有单调性,故最大值不能在其右端点取得。4.利用二项式定理构造函数例4:求证:。分析:构造函数,比较两个展开式中的系数。解析:令,展开式中的系数,又其中的系数为,故=。点评:利用函数,用赋值法或“二项”展开来比较系数可以解决许多二项式定理有关的问题。5.用函数的思想方法解数列题例5.已知不定式对一切大于1的自然数n都成立,求实数a的取值范围。分析:无法求和,常规数列的方法就不起作用了,故必须用函数的思想,用研究函数单调性的方法研究这个数列,求出最小值。解析:令,所以为增函数,且由题意得。点评:利用数列的函数性质(本例为单调性)求出的最小值。用函数方法解决问题,正是函数思想的核心。6.建立函数关系解应用题例6.用总长为14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架,要求底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积。分析:这里有四个变量:底面的长、宽、长方体的体积和高。设长、高可用x表示,容积y是x的函数。运用长方体的体积公式,建立目标函数表达式,再求函数的最大值。解析:设容器底面宽为x(m),则长为x+0.5(m),高为由,设容器的容积为y(m),则有整理得,求导,得,令即解得。从而,在定义域内只有在。因此,当时,y取得最大值,这时,高为。答:当容器的高为1.2m时,容积最大,最大容积是1.8(m)。点评:此题容易忽视的时自变量x的取值范围,缺少它,很难判断求出的最大值是否符合题意。另外,适当设出自变量,建立函数关系是解此类题的关键。本题在求函数最大值时,是用求导的方法求出极值点,再根据实际情况判断是最大值还是最小值。二 方程的思想方程与函数密切相关,在解题中,方程的思想占有重要的地位,也是近年来高考所重点考查的数学思想方法之一。1. 解方程或分析方程的解例7.已知实数成等差数列,成等比数列,且求。分析:利用数列的有关公式,列出方程组求解。解析:由题意得由1、2两式,解得,将带入3式,整理得故。经验算,上述两组数符合题意。点评:本题的列方程组和求解的过程,体现的就是方程的思想。2通过换元构成新的方程例8.关于的方程恒有解,求的取值范围。分析:通过换元将方程变为二次方程恒有正根,同时利用根与系数的关系。解析:(法一)设原方程有解即方程有正根,即,解得(方法二)设当;.综上可得,。点评:对于多元方程(含参数)通常有两类办法:一是换元,将问题转化为二次方程,利用根与系数的关系或判别式,或者利用三角函数的有界性加以解决;二是分离变量构造函数,把方程有解转化为求函数的值域,再根据函数的图像和性质来解决。3.构造方程求解例9.设函数,且存在使得成立。若若直线的图像交与M,N两点,且M,N两点的连线被直线平分,求出的最大值。分析:对于小题,由题设条件易得,由方程根的意义可构造一个根为的一元二次方程,再借助韦达定理发现与对称轴的关系。最后运用二次函数的单调性可判断出;第小题可先建立的函数关系式,再运用均值不等式可求得的最大值。解析:由题意的图像的对称轴为, 。由,代入直线方程,得当且仅当。点评:若没有方程的思想意识,则不能从中观察出m,n是某一个一元二次方程的两根,从而也就无法得出这样有用的关系式,使解答陷入困境。因此,由根的意义或韦达定理构造一元二次方程是最常见的思路,不可忽视。三 函数与方程相互转化的思想解题时,不能局限于函数思想或方程思想,而应该根据两者之间的相互关系,使其能相互转化,以达到快速解题之目的。例10.已知抛物线当为何值时,抛物线与轴有两个交点?若关于的方程的两个不等实根的倒数平方和不大于2,求的取值范围;如果抛物线与轴相交于A,B两点,与轴交于C点,且的面积等于2,试确定的值。分析:令函数,则转化为求方程有两个不等的实根时的值;利用根与系数的关系转化成解不等式;建立面积的函数关系式,再求函数值为2时方程的解。解析:令据题意,须,即。在得所以m的取值范围是由。点评:型的抛物线,二次方程以及二次不等式之间相互关联,应特别关注它们相互转化时的等价性和互补性。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m友情提示:部分文档来自网络整理,供您参考!文档可复制、编制,期待您的好评与关注!7 / 7
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