向量在立体几何中的应用举例

向量在立体几何中的应用举例 刚教书那阵，教材里并没有关于向量的学习，立体几何尤其是空间角和距离的问题，基本上都要通过添加辅助线，作出角和垂线段，再放在三角形里计算才能解决。难度大一些的题目，很多学生根本找不到辅助线的下手处，往往因为作不出角和垂线段，而与立体几何题失之交臂现在新教材里不仅有了平面向量，还引进了空间向量，尤其是数量积的加入，犹如一缕温暖的阳光照亮了我们的立体几何，顿时柳暗花明起来!根据数量积的性质与，不需要添加任何辅助线，就可以轻轻松松算出角和距离啦！下面主要就角和距离以及一些探索性问题等方面作出些许介绍。一 、不用作角，利用公式算出角的大小。DCBAD1C1B1A1立体几何中经常会碰到求异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角的问题，我们可以先写出相关直线的方向向量和平面的法向量，转化为求向量间的夹角问题来解决。例1.已知单位正方体,E,F分别是棱的中点，试求:（1） 直线所成角的大小；(2)AF与面所成角的角。分析：题（1）中，直线与EF所成的角即向量与的夹角（或其补角）；题（2）可先求出面的一个法向量，直线AF与面BEB所成的角也即向量与夹角（或其补角）的余角.解：不妨设正方体的棱长为1，分别以DA,DC,DD为单位正交基底建立空间直角坐标系OXYZ. 则A(1,0,0), C(0,1,0), D(0,0,1),E(), F(,所以=(-1,0,1), =(),=,得 =,又 直线与直线所成角的范围为,故直线与直线所成的角的大小为.(2)面BEB的一个法向量为,又,其绝对值即为直线AF与面BEB所成角的正弦值,记作,而线面角的范围为,所以.点评：这里值得注意的是：向量间的夹角，而直线间的夹角，直线与平面间的夹角，可以根据，结合题目所问准确作答.PADEBC例2. PA面ABC,ACBC,BC=,PA=AC=1，求二面角A-PB-C的余弦值。法一：可作ADPB, CEPB,垂足分别为D,E，将二面角A-PB-C的大小转化成向量与的夹角。,故CE=1,在中，AD=,则PD=，+故, =，又， 则，故二面角A-PB-C的余弦值为.法二:以C为坐标原点,CA为X轴,CB为Y轴,过C且与PA平行的直线为Z轴,建立坐标系。则A(1,0,0),B(0,),P(1,0,1)，设面PAB, =（x,y,z），由 得，设面PBC, 且，由 得 ，二面角A-PB-C的余弦值为点评：这里两种方法各有千秋：法一将二面角转化成两个向量的夹角，无需建系，便可准确求出二面角的大小，但要注意两向量的夹角与二面角张口方向是否一致；法二更具普遍性，是求二面角的一种通法，但要注意两个面的法向量的夹角可能是二面角也可能是其补角，可以结合图中二面角张口大小判断是锐角还是钝角，再作结论。二、不用作出垂线段，利用公式算出距离立体几何中也会碰到一些距离问题，如点到面的距离，异面直线间的距离，直线与平面的距离，平行平面间的距离等，这些距离都可以转化成点到面的距离。我们可以将点到面的距离，看作是经过该点的向量在该平面的法向量方向上射影的绝对值，再利用射影公式便可算出该距离。PABCDG例3.已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是平行四边形，PG面ABCD,垂足为G , G在AD 上，且AG=GD, BGGC, GB=GC=2，四面体P-BCG的体积为，求点D到平面PBG的距离。分析：建立空间直角坐标系，可先求出面PBG的法向量与经过点D的一个向量（如的坐标，那么，点D到平面PBG的距离即为在方向上射影的绝对值。解：已G为原点，分别以GB,GC,GP为x轴，y轴，z轴建立如图所示坐标系。由得PG=4，则BC=2，AG=,则G(0，0，0), B(2，0，0), P(0，0，4), C(0, 2, 0 ),显然面PBG , ,而,在方向上的射影为=,故点D到平面PBG的距离为=.点评：这种方法回避了过点向面作垂线段这一难点，更易被学生接纳，也是求距离的一种通法。三利用向量法确定点的位置立体几何中，探索性的命题也很受命题人的青睐，带着向量的思想去探索往往会事半功倍。例4. 在正方体AC中，O为底面ABCD的中心，P是DD的中点，设Q是CC上的点，问：当点Q在什么位置时，面DBQ/面PAO?DOBAD1C1B1A1分析：在不明确Q点的确定位置时，可根据题目条件先设出Q点的坐标，再求其坐标从而确定点Q的位置。解：以D为坐标原点，分别以DA, DC, DD为x轴, y轴, z轴建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为2. 则D (0，0，0)，O(1，1，0) , A(2，0，0) ,P(0，0，1), B(2，2，0), D(0，0，2). 由题意可设Q (0，2，C),设面PAO的法向量为,由,得,若面DBQ/面PAO,则也是面DBQ的法向量,则有可得,这时也成立,故当即Q为CC的中点时，面DBQ/面PAO.点评：这类题目用向量方法解决大大降低了思考的难度，将探索命题轻松变成了求点的坐标的问题，美哉！