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第九章平面解析几何第43课 直线的方程最新考纲内容要求ABC直线的斜率与倾斜角直线方程1直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是0，)2斜率公式(1)直线l的倾斜角为90，则斜率ktan_.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则l的斜率k.3直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0，A2B20平面内所有直线都适用1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(3)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程yy0k(xx0)表示()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)直线xya0(a为常数)的倾斜角为_60直线的斜率为ktan ，又因为0180，则60.3已知直线l经过点P(2,5)，且斜率为.则直线l的方程为_3x4y140直线l的方程为y5(x2)，即3x4y140.4如果AC0，且BC0，那么直线AxByC0不通过第_象限三AxByC0可变形为yx.又AC0，BC0，故A，B同号所以0，所以AxByC0不通过第三象限5过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为_3x2y0或xy10当直线过原点时，方程为yx，即3x2y0.当直线l不过原点时，设直线方程为1.将P(2,3)代入方程，得a1，所以直线l的方程为xy10.综上，所求直线l的方程为3x2y0或xy10.直线的倾斜角和斜率(1)直线xycos 10(R)的倾斜角的取值范围是_. 【导学号：62172235】(2)若直线l过点P(3,2)，且与以A(2，3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是_(1)(2)(1)当k(kZ)时，cos 0，直线为x10，其倾斜角为.当k(kZ)时，直线l的斜率为tan (，11，)，所以直线l的倾斜角的取值范围是.综上，的取值范围是.(2)因为P(3,2)，A(2，3)，B(3,0)，则kPA5，kPB.如图所示，当直线l与线段AB相交时，直线l的斜率的取值范围为.规律方法1.(1)任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是0，)，斜率的取值范围是R.(2)正切函数在0，)上不单调，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角的取值范围2第(2)问求解要注意两点：(1)斜率公式的正确计算；(2)数形结合写出斜率的范围，切莫误认为k5或k.变式训练1(1)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜率k的取值范围是_(2)直线l经过点A(3,1)，B(2，m2)(mR)两点，则直线l的倾斜角的取值范围是_(1)k1或k(2)(1)设直线的斜率为k，则直线方程为y2k(x1)，直线在x轴上的截距为1.令313，解不等式得k1或k.(2)直线l的斜率k1m21，所以ktan 1.又ytan 在上是增函数，因此.求直线的方程(1)过点A(1,3)，斜率是直线y4x的斜率的的直线方程为_(2)若A(1，2)，B(5,6)，直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程(1)4x3y130设所求直线的斜率为k，依题意k4.又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即4x3y130.(2)法一：设直线l在x轴，y轴上的截距均为a.由题意得M(3,2)若a0，即l过点(0,0)和(3,2)，所以直线l的方程为yx，即2x3y0.若a0，设直线l的方程为1，因为直线l过点M(3,2)，所以1，所以a5，此时直线l的方程为1，即xy50.综上，直线l的方程为2x3y0或xy50.法二：易知M(3,2)，由题意知所求直线l的斜率k存在且k0，则直线l的方程为y2k(x3)令y0，得x3；令x0，得y23k.所以323k，解得k1或k.所以直线l的方程为y2(x3)或y2(x3)，即xy50或2x3y0.规律方法1.截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解2求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法运用待定系数法要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数利用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要变式训练2求过点A(1，3)且倾斜角等于直线y3x的倾斜角的2倍的直线方程解由已知设直线y3x的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2.tan 3，tan 2.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即3x4y150.直线方程的综合应用已知直线l过点M(1,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点求：(1)当OAOB取得最小值时，直线l的方程；(2)当MA2MB2取得最小值时，直线l的方程. 【导学号：62172236】解(1)设A(a,0)，B(0，b)(a0，b0)设直线l的方程为1，则1，所以OAOBab(ab)2224，当且仅当ab2时取等号，此时直线l的方程为xy20.(2)设直线l的斜率为k，则k0，直线l的方程为y1k(x1)，则A，B(0,1k)，所以MA2MB221212(11k)22k2224.当且仅当k2，即k1时，上式等号成立当MA2MB2取得最小值时，直线l的方程为xy20.规律方法1.求解本题的关键是找出OAOB与MA2MB2取得最小值的求法，恰当设出方程的形式，利用均值不等式求解，但一定要注意等号成立的条件2利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式变式训练3已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当a为何值时，四边形的面积最小？解由得xy2，直线l1与l2交于点A(2,2)(如图)易知OBa22，OC2a，则S四边形OBACSAOBSAOC2(a22)2(2a)a2a42，a(0,2)，当a时，四边形OBAC的面积最小思想与方法1求直线方程的两种常见方法：(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程25种形式的直线方程都有不同的适用条件，当条件不具备时，要注意分类讨论思想的应用易错与防范1求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率2根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性3应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.4由一般式AxByC0确定斜率k时，易忽视判定B是否为0.当B0时，k不存在；当B0时，k.课时分层训练(四十三)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1倾斜角为135，在y轴上的截距为1的直线方程是_xy10直线的斜率为ktan 1351，所以直线方程为yx1，即xy10.2设直线axbyc0的倾斜角为，且sin cos 0，则a，b满足的等量关系式为_ab由sin cos 0，得1，即tan 1.又因为tan ，所以1，则ab.3直线l：xsin 30ycos 15010的斜率是_直线l可化简为：xy10.即yx，故斜率k.4直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是_由x(a21)y10得yx.a211，1,0)设直线的倾斜角为，则1tan 0，又0，)，故.5斜率为2的直线经过(3,5)，(a,7)，(1，b)三点，则ab_. 【导学号：62172237】1由题意可知2，解得a4，b3，ab1.6若直线l的斜率为k，倾斜角为，而，则k的取值范围是_，0)ktan ，当时，tan ktan ，即k1；当时，tan k0，b0)经过点(1,2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是_32直线l过定点(1,2)，1，ab(ab)332，当且仅当ba时上式等号成立直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为32.二、解答题11直线l过点(2,2)且与x轴，y轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若|a|b|，求l的方程解若ab0，则直线l过点(0,0)与(2,2)，直线l的斜率k1，直线l的方程为yx，即xy0.若a0，b0，则直线l的方程为1，由题意知解得此时，直线l的方程为xy40.综上，直线l的方程为xy0或xy40.12设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. 【导学号：62172239】解(1)当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距为零，a2，方程即为3xy0.当直线不过原点时，截距存在且均不为0，a2，即a11，a0，方程即为xy20.直线l的方程为3xy0或xy20.(2)将l的方程化为y(a1)xa2，或a1.综上可知，a的取值范围是a1.B组能力提升(建议用时：15分钟)1设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且PAPB，若直线PA的方程为xy10，则直线PB的方程为_xy50由条件得点A的坐标为(1,0)，点P的坐标为(2,3)，因为PAPB，根据对称性可知，点B的坐标为(5,0)，从而直线PB的方程为，整理得xy50.2已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是_3直线AB的方程为1.动点P(x，y)在直线AB上，则x3y，xy3yy2(y24y)3，即当P点坐标为时，xy取最大值3.3已知曲线y，求曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积解y，因为ex0，所以ex22，所以ex24，故y(当且仅当x0时取等号)所以当x0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为，切线的方程为y(x0)，即x4y20.该切线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S2.4已知直线l：kxy12k0(kR)(1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程解(1)由方程知，当k0时，直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k0；当k0时，直线为y1，符合题意，故k0.(2)由l的方程，得A，B(0,12k)依题意得解得k0.SOAOB|12k|(224)4，“”成立的条件是k0且4k，即k，Smin4，此时直线l的方程为x2y40.
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