数学培优网双曲线典型例题一

.双曲线典型例题（一）例1根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线有公共焦点，且过点；（2）与双曲线有共同渐近线，且过点解：（1）方法一：设双曲线方程为由题意易求又双曲线过点又故所求双曲线方程为方法二：设双曲线方程为将点代入得双曲线方程为（2）方法一：设双曲线方程为由题意得解之，得故双曲线方程为方法二：设所求双曲线方程为，将点代入得所以双曲线方程为即例2已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点。（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：；（3）求的面积。解析：（1）可设双曲线方程为双曲线过点，即双曲线方程为（2）证法一：由（1）可知，双曲线中，点M（3，m）在双曲线上，故证法二：，M点在双曲线上，即，即（3）的底，的高例3双曲线C：的两条准线间距离为3，右焦点到直线的距离为，（1）求双曲线C的方程；（2）双曲线C中是否存在以为中点的弦.解：（1）根据题意有解之，得，所以双曲线C的方程为（2）假设存在以为中点的弦AB，且设则（*）方法一：设AB所在直线方程为，即将代入双曲线C：，整理得由（*）及得，整理得将代入有即当时，方程无解，从而不存在以为中点的弦方法二：将代入双曲线C：有，得即又由（*）知即过AB的弦所在直线的斜率从而AB所在的直线方程为，即代入双曲线C的方程，化简得，此时即时，所求直线与双曲线实际上没有交点故不存在以为中点的弦例4在双曲线的同一支上的不同三点，与焦点F（0，5）的距离成等差数列。（1）求；（2）证明线段AC的垂直平分线经过定点，并求出定点的坐标。解析：（1）点A在双曲线上支上，由双曲线第二定义，同理，由题意，得（2）证明：设AC的中点为，AC的中垂线为，其斜率为，则的方程为由题意可得整理，得把代入上式，得代入直线方程，得即故直线过定点. v