【方法指导】“等比数列”学法指津

“等比数列”学法指津摘要：等比数列时高中数列教学中的重难点，也是高考中的热点。等比数列往往能与函数、不等式、解析几何等知识相结合，具有相当的难度。本文就等比数列教学中涉及的性质结论、思想方法进行系统归纳，以求举一反三。关键词：等比数列一、知识精讲1. 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做该等比数列的公比，我们通常用字母（）表示。数学语言描述：对于数列，如果满足（、，为常数，），那么为等比数列。2.当等比数列的公比时。该等比数列为常数列。3.等比数列的通项公式：，对于等比数列的通项公式，我们有以下结论：；（，此结论对于有意义时适用）。4. 等比数列的增减性：若，当时，等比数列为递增数列；当时，等比数列为递减数列；当时，等比数列的增减性无法确定（摆动数列）。若，当时，等比数列为递减数列；当时，等比数列为递增数列；当时，等比数列的增减性无法确定（摆动数列）。5. 如果在数和中间插入一个数，使得、三数成等比数列，那么我们就称数为数和的等比中项，且。6.等比数列的前项和公式设数列是公比为的等比数列，那么该数列的前项和。7.等比数列的主要性质：（1）在等比数列中，若，则；（2）在等比数列中，若，则；（3）对于等比数列，若数列是等差数列，则数列也是等比数列；（4）若数列是等比数列，则对于任意实数，数列、也是等比数列；（5）若数列是等比数列且，则数列也是等比数列；（6）若数列是等比数列且，则数列为等差数列；（7）若数列和都是等比数列，则数列也是等比数列；（8）若是等比数列的前项和，则、成等比数列，其公比为；二、方法指引1.等差数列的证明：（）；（、），；证明为常数（对于适用）；证明。2.当引入公比辅助解题或作为参数时，注意考虑是否需要对和进行分类讨论。3.证明数列是等比数列、不是等比数列，讨论数列是否等比数列，求解含参等比数列中的参数这四类问题同源。4.注意巧用等比数列的主要性质，特别是（）和（）。5. 三数成等比数列，一般可设为、；四数成等比数列，一般可设为、；五数成等比数列，一般可设为、。三、典型例题例1 数列为各项均为正数的等比数列，它的前项和为80，且前项中数值最大的项为54，它的前项和为6560，求首项和公比。解：若，则应有，与题意不符合，故。依题意有：得即得或（舍去），。由知，数列的前项中最大，得。将代入（1）得 （3），由得，即 （4），联立（3）（4）解方程组得。例2 （1）已知为等比数列，求的通项公式。（2）记等比数列的前项和为，已知，求和公比的值。解：（1）设等比数列的公比为（），则，即也即，解此关于的一元方程得或。，或。（2）在等比数列中，有，又，联立解得或，由此知，而，从而解得或。例3 已知数列，其中，且数列（为常数）为等比数列，求常数。解：为等比数列，那么，将代入并整理得，解之得或。例4 设、是公比不相等的两个等比数列，证明数列不是等比数列。解：设、分别是公比为、（）的两个等比数列，要证明不是等比数列，我们只需证即可。事实上，又、，数列不是等比数列。四、同步训练1.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是( ) 2.已知是等比数列，则 3.若实数、成等比数列，则函数与轴的交点的个数为（ ） 无法确定4. 在数列中，且是公比为（）的等比数列，该数列满足（），则公比的取值范围是（ ） 5.设数列满足（，），且，则_。6.设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则_。7.设是由正数组成的等比数列，公比，且，则_。8.设两个方程、的四个根组成以2为公比的等比数列，则_。9.设数列为等比数列，已知，。（1）求等比数列的首项和公比；（2）求数列的通项公式。10.设数列的前项和为，已知（1）证明：当时，是等比数列；（2）求的通项公式。11.已知数列和满足：，其中为实数，为正整数。（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（3）设,为数列的前项和。是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。【同步训练参考答案】1. 解析：设数列的公比为，那么，函数（）的值域为，从而求得的取值范围。2. 解析：等比数列的公比，显然数列也是等比数列，其首项为，公比，。3. 解析：、成等比数列，二次函数的判别式，从而函数与轴无交点。4. ，而，即，解得，而，故公比的取值范围为。5. 解析：，即，也即，从而数列是公比为的等比数列。6.解析：的两根分别为和，从而、，。7.解析：，。8.解析：设该等比数列为、， ，从而、，。9.解：（1）对于等式，令得；令得，。（2），则 得 得：。10.解：（1）证明：由题意知，且，两式相减得，即 当时，由知，于是又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。（2）当时，由（1）知，即； 当时，由得11.解：（1）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有，即，矛盾。所以不是等比数列.（2）解： 。又，所以当时，这时不是等比数列；当时，由上可知，。故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列。（3）由（2）知，当时，不满足题目要求。，故知，可得，要使对任意正整数成立，即，得 令，则当为正奇数时，；当为正偶数时，。所以的最大值为，最小值为。于是，由式得。当时，由知，不存在实数满足题目要求；当时，存在实数，使得对任意正整数，都有，且的取值范围是。