贵州各市中考数学试题压轴题分类解析汇编

贵州各市2012年中考数学试题分类解析汇编专题12：押轴题一、 选择题1. （2012贵州贵阳3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，当5x0时，下列说法正确的是【 】A有最小值5、最大值0 B有最小值3、最大值6C有最小值0、最大值6 D有最小值2、最大值6【答案】B。【考点】二次函数的图象和最值。【分析】由二次函数的图象可知，5x0，当x=2时函数有最大值，y最大=6；当x=5时函数值最小，y最小=3。故选B。2. （2012贵州安顺3分）下列说法中正确的是【 】A是一个无理数B函数的自变量的取值范围是x1C若点P（2，a）和点Q（b，3）关于x轴对称，则ab的值为1D8的立方根是2【答案】C。【考点】无理数，函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，关于x轴对称的点的坐标，立方根。【分析】A、=3是有理数，故此选项错误；B、函数的自变量的取值范围是x1，故此选项错误；C、若点P（2，a）和点Q（b，3）关于x轴对称，则b=2，a=3，故ab=32=1，故此选项正确；D、8的立方根式2，故此选项错误。故选C。3. （2012贵州毕节3分）如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边AEF，交BC边于E，交DC边于F；又以A为圆心，AE的长为半径作。若AEF的边长为2，则阴影部分的面积约是【 】（参考数据：，取3.14）A. 0.64 B. 1.64 C. 1.68 D. 0.36【答案】A。【考点】正方形和等边三角形的性质，勾股定理，扇形和三角形面积。【分析】由图知，。因此，由已知，根据正方形、等边三角形的性质和勾股定理，可得等边AEF的边长为2，高为；RtAEF的两直角边长为；扇形AEF的半径为2圆心角为600。 。故选A。4. （2012贵州六盘水3分）如图为反比例函数在第一象限的图象，点A为此图象上的一动点，过点A分别作ABx轴和ACy轴，垂足分别为B，C则四边形OBAC周长的最小值为【 】A4B3C2D1【答案】A。【考点】反比例函数综合题，矩形的判定和性质，配方法的应用，函数的最值。【分析】反比例函数在第一象限的图象，点A为此图象上的一动点，过点A分别作ABx轴和ACy轴，垂足分别为B，C四边形OBAC为矩形。设宽BO=x，则AB=，则。四边形OBAC周长的最小值为4。故选A。5. （2012贵州黔东南4分）点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90，得线段PE，连接BE，则CBE等于【 】A75 B60 C45 D30【答案】C。【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。【分析】过点E作EFAF，交AB的延长线于点F，则F=90，四边形ABCD为正方形，AD=AB，A=ABC=90。ADP+APD=90。由旋转可得：PD=PE，DPE=90，APD+EPF=90。ADP=EPF。在APD和FEP中，ADP=EPF，A=F，PD=PE，APDFEP（AAS）。AP=EF，AD=PF。又AD=AB，PF=AB，即AP+PB=PB+BF。AP=BF。BF=EF又F=90，BEF为等腰直角三角形。EBF=45。又CBF=90，CBE=45。故选C。6. （2012贵州黔南4分）为做好“四帮四促”工作，黔南州某局机关积极倡导“挂帮一日捐”活动。切实帮助贫困村民，在一日捐活动中，全局50名职工积极响应，同时将所捐款情况统计并制成统计图，根据图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是【 】A20，20 B30，20 C30，30 D20，30【答案】C。 【考点】众数，中位数。【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是30，故这组数据的众数为30。中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）。由此将这组数据的中位数是第25和26名职工捐款金额的平均数，（3030）2=30。故选C。7. （2012贵州黔西南4分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（1，0），点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MCMD的值最小时，m的值是【 】（A） （B） （C） （D） 【答案】B。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，三角形三边关系。【分析】如图，作点C关于x轴的对称点C1，连接C1D交x轴于点M，连接CM。 则根据轴对称的性质和三角形三边关系，此时MCMD的值最小。 点A（1，0）在抛物线， ，解得。抛物线解析式为。 又，点D的坐标为。 在中，令x=0，得，点C的坐标为（0，2），点C1的坐标为（0， 2）。 设直线C1D：，由C1（0， 2），D 得 ，解得。直线C1D：。 令y=0，即，解得。故选B。8. （2012贵州铜仁4分）如图，第个图形中一共有1个平行四边形，第个图形中一共有5个平行四边形，第个图形中一共有11个平行四边形，则第个图形中平行四边形的个数是【 】A54B110C19D109【答案】D。【考点】分类归纳（图形的变化类）。【分析】寻找规律： 第个图形中有1个平行四边形；第个图形中有1+4=5个平行四边形；第个图形中有1+4+6=11个平行四边形；第个图形中有1+4+6+8=19个平行四边形；第n个图形中有1+2（2+3+4+n）个平行四边形；则第个图形中有1+2（2+3+4+5+6+7+8+9+10）=109个平行四边形。故选D。9. （2012贵州遵义3分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为【 】A B C D二、填空题1. （2012贵州贵阳4分）如图，在ABA1中，B=20，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；，按此做法进行下去，An的度数为 【答案】。【考点】分类归纳（图形的变化类），等腰三角形的性质，三角形的外角性质。【分析】先根据等腰三角形的性质求出BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出CA2A1，DA3A2及EA4A3的度数，找出规律即可得出An的度数：在ABA1中，B=20，AB=A1B，BA1A=。A1A2=A1C，BA1A是A1A2C的外角，CA2A1=。同理可得，DA3A2=20，EA4A3=10，An=。2. （2012贵州安顺4分）已知2+=22，3+=32，4+=42，若8+=82（a，b为正整数），则a+b= 【答案】71。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】根据规律：可知a=8，b=821=63，a+b=71。3. （2012贵州毕节5分）在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有 个小正方形。【答案】100。【考点】分类归纳（图形的变化类）。【分析】寻找规律： 第1个图案中共有1=12个小正方形；第2个图案中共有4=22个小正方形；第3个图案中共有9=32个小正方形；第4个图案中共有16=42个小正方形；第10个图案中共有102=100个小正方形。4. （2012贵州六盘水4分）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数。例如，展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字。请认真观察此图，写出（a+b）4的展开式，（a+b）4= 【答案】a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4。【考点】分类归纳（数字的变化类），完全平方公式。【分析】由（a+b）=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）n1的相邻两个系数的和，由此可得（a+b）4的各项系数依次为1、4、6、4、1。如图：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4。5. （2012贵州黔东南4分）如图，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（2）个图有6个相同的小正方形，第（3）个图有12个相同的小正方形，第（4）个图有20个相同的小正方形，按此规律，那么第（n）个图有 个相同的小正方形【答案】n（n+1）。【考点】分类归纳（图形的变化类）。【分析】寻找规律：第（1）个图有2个相同的小正方形，2=12， 第（2）个图有6个相同的小正方形，6=23，第（3）个图有12个相同的小正方形，12=34，第（4）个图有20个相同的小正方形，20=45，按此规律，第（n）个图有n（n+1）个相同的小正方形。6. （2012贵州黔南5分）如图，四边形ABCD是矩形，A，B两点在x轴的正半轴上，C，D两点在抛物线上，设OA=m（0m3），矩形ABCD的周长为l，则l 与m的函数解析式为 。【答案】。【考点】矩形的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】求l与m的函数解析式就是把m当作已知量，求l，先求AD，它的长就是D点的纵坐标，再把D点纵坐标代入函数解析式求C点横坐标，C点横坐标与D点横坐标的差就是线段CD的长，用l=2（AD+AB），建立函数关系式： 把x=m代入抛物线中，得AD=，把y=代入抛物线中，得，解得x1=m，x2=6m。C的横坐标是6m。AB=6mm=62m。矩形的周长是。7. （2012贵州黔西南3分）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF，若AB3cm，BC5cm，则重叠部分DEF的面积为 cm 2。【答案】。【考点】折叠问题，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理。【分析】设ED=x，则根据折叠和矩形的性质，得AE=AE=5x，AD=AB=3。 根据勾股定理，得，即，解得。 （cm 2）。8. （2012贵州铜仁4分）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是 9. （2012贵州遵义4分）如图，平行四边形ABCD的顶点为A、C在双曲线上，B、D在双曲线上，k1=2k2（k10），ABy轴，SABCD=24，则k1= 【答案】8。【考点】反比例函数综合题，平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征。【分析】在ABCD中，ABCD，AB=CD（平行四边形的对边平行且相等），设A（x，y1）、B（x、y2），（x0）。则根据反比例函数的图象关于原点对称的性质知，C（x，y1）、D（x、y2）。A在双曲线上，B在双曲线上，。又k1=2k2（k10），y1=2y2。SABCD=24，即。解得，k1=8。三、解答题1. （2012贵州贵阳12分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线（1）三角形有 条面积等分线，平行四边形有 条面积等分线；（2）如图所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，ABCD，且SABCSACD，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由【答案】解：（1）6；无数。 （2）这个图形的一条面积等分线如图：连接2个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成2个相等的部分即OO为这个图形的一条面积等分线。（3）四边形ABCD的面积等分线如图所示：理由如下：过点B作BEAC交DC的延长线于点E，连接AE。BEAC，ABC和AEC的公共边AC上的高也相等， SABC=SAEC。SACDSABC，面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线。【考点】面积及等积变换，平行线之间的距离，三角形的面积，平行四边形的性质，矩形的性质。【分析】（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：三角形的面积等分线是三角形的中线所在的直线；过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分；从而三角形有3条面积等分线，平行四边形有无数条面积等分线。（2）由（1）知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线；（3）过点B作BEAC交DC的延长线于点E，连接AE根据ABC和AEC的公共边AC上的高也相等推知SABC=SAEC；由“割补法”可以求得。2. （2012贵州贵阳12分）如图，二次函数y=x2x+c的图象与x轴分别交于A、B两点，顶点M关于x轴的对称点是M（1）若A（4，0），求二次函数的关系式；（2）在（1）的条件下，求四边形AMBM的面积；（3）是否存在抛物线y=x2x+c，使得四边形AMBM为正方形？若存在，请求出此抛物线的函数关系式；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）A（4，0）在二次函数y=x2x+c的图象上，（4）2（4）+c=0，解得c=12。二次函数的关系式为。（2），顶点M的坐标为（1，）。A（4，0），对称轴为x=1，点B的坐标为（6，0）。AB=6（4）=6+4=10。SABM=。顶点M关于x轴的对称点是M，S四边形AMBM=2SABM=2=125。（3）存在抛物线，使得四边形AMBM为正方形。理由如下：在y=x2x+c中，令y=0，则x2x+c=0，设点AB的坐标分别为A（x1，0）B（x2，0），则x1+x2=，x1x2=。点M的纵坐标为：。顶点M关于x轴的对称点是M，四边形AMBM为正方形，-，整理得，4c2+4c3=0，解得c1=，c2=。又抛物线与x轴有两个交点，=b24ac=（1）24c0，解得c。c的值为。存在抛物线，使得四边形AMBM为正方形。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解一元二次方程，轴对称的性质，正方形的性质。【分析】（1）把点A的坐标代入二次函数解析式，计算求出c的值，即可得解。（2）把二次函数解析式整理成顶点式解析式，根据对称性求出点B的坐标，求出AB的长。根据顶点坐标求出点M到x轴的距离，然后求出ABM的面积，根据对称性可得S四边形AMBM=2SABM，计算即可得解。（3）令y=0，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出AB的长度，根据抛物线解析式求出顶点M的纵坐标，然后根据正方形的对角线互相垂直平分且相等列式求解，如果关于c的方程有解，则存在，否则不存在。3. （2012贵州安顺12分）如图，在O中，直径AB与弦CD相交于点P，CAB=40，APD=65（1）求B的大小；（2）已知AD=6，求圆心O到BD的距离【答案】解：（1）APD=C+CAB，CAB=40，APD=65，C=6540=25。B=C=25。（2）过点O作OEBD于E，则DE=BE，又AO=BO，OE=AD=6=3。圆心O到BD的距离为3。【考点】圆周角定理，三角形外角性质，垂径定理，三角形中位线定理。【分析】（1）根据圆周定理以及三角形外角求出即可。（2）利用三角形中位线定理得出OE= AD，即可得出答案。4. （2012贵州安顺14分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且18a+c=0（1）求抛物线的解析式（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动移动开始后第t秒时，设PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】解：（1）由题意知点A（0，12）， 由矩形OABC知ABOC，且AB=6， B（6，12）。抛物线y=ax2+bx+c经过A、B两点，且18a+c=0，解得抛物线的解析式为。（2）由已知，PB=6t，QB=2t， 。，当t=3时，S取最大值为9。这时点P的坐标（3，12），点Q坐标（6，6）。若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况：（）当点R在BQ的左边，且在PB下方时，点R的坐标（3，18），将（3，18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在，点R的坐标就是（3，18）。（）当点R在BQ的左边，且在PB上方时，点R的坐标（3，6），将（3，6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件。（）当点R在BQ的右边，且在PB上方时，点R的坐标（9，6），将（9，6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件。综上所述，点R坐标为（3，18）。【考点】二次函数综合题，矩形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，平行四边形的判定。【分析】（1）由已知，求出A，B的坐标，结合18a+c=0，解方程组即可求出抛物线的解析式。 （2）由已知得PB=6t，QB=2t，根据三角形面积公式即可得出S与t之间的函数关系式。 由于AB=6，点P的速度为1；BC=12，点Q的速度为2，从而。将抛物线的解析式化为顶点式即可求出S取最大值时t的值，从而求出点P和Q的坐标。根据平行四边形的判定分三种情况讨论：（）当点R在BQ的左边，且在PB下方时，（）当点R在BQ的左边，且在PB上方时，（）当点R在BQ的右边，且在PB上方时。5. （2012贵州毕节14分）如图，AB是O的直径，AC为弦，D是的中点，过点D作EFAC的延长线于E，交AB的延长线于E，交AB的延长线于F。（1）求证：EF是O的切线；（2）若F=，AE=4，求O的半径和AC的长。【答案】（1）证明：连接OD，D是的中点，BOD=A。ODAC。EFAC，E=90。ODF=90。EF是O的切线；（2）解：在AEF中，E=90，sinF= ，AE=4，。设O的半径为R，则OD=OA=OB=R，AB=2R在ODF中，ODF=90，sinF=，OF=3OD=3R。OF+OA=AF，3R+R=12，R=3。连接BC，则ACB=90。E=90，BCEF。AC：AE=AB：AF。AC：4=2R：4R，AC=2。O的半径为3，AC的长为2。【考点】弧、圆周角和圆心角的关系，圆周角定理，平行的判定和性质，切线的判定，锐角三角函数定义，平行线分线段成比例定理。【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理，可得BOD=A，则ODAC，从而得出ODF=90，即EF是O的切线。（2）先解直角AEF，由sinF= ，得出AF=3AE=12，再在RtODF中，由sinF=，得出OF=3OD，设O的半径为R，由AF=12列出关于R的方程，解方程即可求出O的半径。连接BC，证明BCEF，根据平行线分线段成比例定理得出AC：AE=AB：AF，即可求出AC的长。6. （2012贵州毕节16分）如图，直线l1经过点A（1，0），直线l2经过点B(3，0), l1、l2均为与y轴交于点C(0，)，抛物线经过A、B、C三点。（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴依次与轴交于点D、与l2交于点E、与抛物线交于点F、与l1交于点G。求证：DE=EF=FG;(3)若l1l2于y轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使PCG为等腰三角形，请写出符合条件的点P的坐标，并简述理由。【答案】解：（1）抛物线经过A（1，0），B（3，0），C（0，）三点， ，解得。抛物线的解析式为：（2）证明：设直线l1的解析式为y=kx+b，由直线l1经过A（1，0），C（0，），得 ，解得，直线l1的解析式为：y=-x 。直线l2经过B（3，0），C（0，）两点，同理可求得直线l2解析式为：y= x 。抛物线，对称轴为x=1，D（1，0），顶点坐标为F（1， ）。点E为x=1与直线l2：y= x的交点，令x=1，得y= ，E（1， ）。点G为x=1与直线l1：y=-x 的交点，令x=1，得y= ，G（1，）。各点坐标为：D（1，0），E（1， ），F（1，），G（1， ），它们均位于对称轴x=1上。DE=EF=FG=。（3）如图，过C点作C关于对称轴x=1的对称点P1，CP1交对称轴于H点，连接CF，PG。PCG为等腰三角形，有三种情况：当CG=PG时，如图，由抛物线的对称性可知，此时P1满足P1G=CG。C（0，），对称轴x=1，P1（2， ）。当CG=PC时，此时P点在抛物线上，且CP的长度等于CG。如图，C（1， ），H点在x=1上，H（1，）。在RtCHG中，CH=1，HG=|yGyH|=| （）|= ，由勾股定理得：。PC=2如图，CP1=2，此时与中情形重合。又RtOAC中，点A满足PC=2的条件，但点A、C、G在同一条直线上，所以不能构成等腰三角形。当PC=PG时，此时P点位于线段CG的垂直平分线上.l1l2，ECG为直角三角形。由（2）可知，EF=FG，即F为斜边EG的中点。CF=FG，F为满足条件的P点，P2（1，）。又，CGE=30。HCG=60。又P1C=CG，P1CG为等边三角形。P1点也在CG的垂直平分线上，此种情形与重合。综上所述，P点的坐标为P1（2， ）或P2（1， ）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）已知A、B、C三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式。（2）D、E、F、G四点均在对称轴x=1上，只要分别求出其坐标，就可以得到线段DE、EF、FG的长度。D是对称轴与x轴交点，F是抛物线顶点，其坐标易求；E是对称轴与直线l2交点，需要求出l2的解析式，G是对称轴与l1的交点，需要求出l1的解析式，而A、B、C三点坐标已知，所以l1、l2的解析式可以用待定系数法求出。从而问题得到解决。（3）PCG为等腰三角形，需要分三种情况讨论：CG=PG，CG=PC，PC=PG。7. （2012贵州六盘水10分）为鼓励居民节约用水，某市决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每月用水量不超过15吨时（包括15吨），采用基本价收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分每吨采用市场价收费小兰家4、5月份的用水量及收费情况如下表：月份用水量（吨）水费（元）4225152045（1）求该市每吨水的基本价和市场价（2）设每月用水量为n吨，应缴水费为m元，请写出m与n之间的函数关系式（3）小兰家6月份的用水量为26吨，则她家要缴水费多少元？【答案】解：（1）根据当每月用水量不超过15吨时（包括15吨），采用基本价收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分每吨采用市场价收费，4月份用水22吨，水费51元，5月份用水20吨，水费45元，市场价收费标准为：（5145）（2220）=3（元/吨）。设基本价收费为x元/吨，根据题意得出：15x+（2215）3=51，解得：x=2。该市每吨水的基本价和市场价分别为：3元/吨，2元/吨。（2）当n15时，m=2n，当n15时，m=152+（n15）3=3n15。m与n之间的函数关系式为。-（3）小兰家6月份的用水量为26吨，她家要缴水费32615=63元。【考点】一元一次方程和一次函数的应用。【分析】（1）利用已知得出4月份用水22吨，水费51元，5月份用水20吨，水费45元，求出市场价收费标准为：（5145）（2220）=3（元/吨），进而得出每吨水的基本价。（2）利用（1）中所求不同水价，再利用当n15时，m=2n，当n15时，分别求出即可。（3）根据（2）中所求得出，用水量为26吨时要缴水费。8. （2012贵州六盘水16分）如图1，已知ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0t4）解答下列问题：（1）当t为何值时，PQBC（2）设AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由（4）如图2，把AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由【答案】解：AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，由勾股定理逆定理得ABC为直角三角形，C为直角。（1）BP=2t，则AP=102t若PQBC，则，即，解得。当s时，PQBC。（2）如图1所示，过P点作PDAC于点D。则PDBC，APDABC。，即，解得。S=AQPD=2t（）。当t=s时，S取得最大值，最大值为cm2。（3）不存在。理由如下：假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分，则有SAQP=SABC，而SABC=ACBC=24，此时SAQP=12。由（2）可知，SAQP=，=12，化简得：t25t+10=0。=（5）24110=150，此方程无解，不存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分。（4）存在。假设存在时刻t，使四边形AQPQ为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t。如图2所示，过P点作PDAC于点D，则有PDBC，APDABC。，即。解得：PD=，AD=，QD=ADAQ=。在RtPQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，即（）2+（）2=（2t）2，化简得：13t290t+125=0，解得：t1=5，t2=。t=5s时，AQ=10cmAC，不符合题意，舍去，t=。由（2）可知，SAQP=S菱形AQPQ=2SAQP=2（）=2（）2+6=。存在时刻t=，使四边形AQPQ为菱形，此时菱形的面积为cm2。【考点】动点问题，勾股定理和逆定理，平行的判定，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程和一元二次方程根的判别式，二次函数的最值，菱形的性质。【分析】（1）由PQBC时的比例线段关系，列一元一次方程求解。（2）如图1所示，过P点作PDAC于点D，得APDABC，由比例线段，求得PD，从而可以得到S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值。（3）利用（2）中求得的AQP的面积表达式，再由线段PQ恰好把ABC的面积平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于0，则可以得出结论：不存在这样的某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分。（4）根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、QD和PD的长度；然后在RtPQD中，求得时间t的值；最后求菱形的面积，值得注意的是菱形的面积等于AQP面积的2倍，从而可以利用（2）中AQP面积的表达式，这样可以化简计算。9. （2012贵州黔东南12分）我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案甲家是35人（含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人（含45人）以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？【答案】解：设总人数是x，当x35时，选择两个，宾馆是一样的；当35x45时，选择甲宾馆比较便宜；当x45时，甲宾馆的收费是：y甲=35120+0.9120（x35）=108x+420；乙宾馆的收费是y乙=45120+0.8120（x45）=96x+1080。当y甲=y乙时，108x+420=96x+1080，解得：x=55；当y甲y乙时，即108x+42096x+1080，解得：x55；当y甲y乙时，即108x+42096x+1080，解得：x55。综上所述，当x35或x=55时，选择两个宾馆是一样的；当35x55时，选择甲宾馆比较便宜。当x55时，选乙宾馆比较便宜。【考点】一次函数的应用。【分析】当x35时，选择两个，宾馆是一样的；当35x45时，选择甲宾馆比较便宜，当x35时，两个宾馆的收费可以表示成人数x的函数，比较两个函数值的大小即可。10. （2012贵州黔东南12分）如图，已知抛物线经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MNy轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由【答案】解：（1）抛物线经过点A（1，0）、B（3，0）两点， 设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x3）， 将C（0，3）代入，得a（0+1）（03）=3，a=1。抛物线的解析式：y=（x+1）（x3）=x2+2x+3。（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ，解得。直线BC的解析式：y=x+3。已知点M的横坐标为m，则M（m，m+3）、N（m，m2+2m+3）；MN=m2+2m+3（m+3）=m2+3m（0m3）。（3）存在。如图；SBNC=SMNC+SMNB=MN（OD+DB）=MNOB，SBNC=（m2+3m）3=（m）2+（0m3）。当m=时，BNC的面积最大，最大值为。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数最值。【分析】（1）由抛物线经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点用待定系数法即可求。 （2）求得直线BC的解析式，即可由点M的横坐标为m得其纵坐标为m+3，结合点N的纵坐标m2+2m+3即可用m的代数式表示MN的长。 （3）求出SBNC关于m的函数关系式，应用二次函数最值原理即可求得结论。11. （2012贵州黔南12分）如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的点，且AEEF，BE=2（1）求EC：CF值；（2）延长EF交正方形BCD的外角平分线CP于点P（图2），试判断AE与EP大小关系，并说明理由；（3）在图2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）AEEF，BEA+CEF=90。四边形ABCD为正方形，B=C=90。BAE +BEA =90。BA E=CEF。ABEECF。EC：CF=AB：BE=5：2。（2）在AB上取一点M，使BM=BE，连接ME。AM=CE。BME=45。AME=135。CP是外角平分线，DCP=45。ECP=135。AME=ECP。AEB+BAE=90，AEB+CEF=90，BAE=CEF。AMEPCE（ASA）。AE=EP。（3）存在，过点D作DMAE交AB于点M，则此时M使得四边形DMEP是平行四边形。证明如下： DMAE，ADM=90DAE。 四边形ABCD为正方形，AB=AD，B=BAD=90。 BAE=90DAE。BAE=ADM。 BAEADM（ASA）。AD=DM。 由（2）AE=EP，得DM= EP。 双DMAE，AEEF，DM EP。四边形DMEP是平行四边形。【考点】相似三角形的判定和性质，正方形的性质，外角平分线定义，全等三角形的判定和性质，平行的判定，平行四边形的判定。【分析】（1）由正方形的性质可得：B=C=90，由同角的余角相等，可证得：BAE=CEF，即可证得：ABEEFC，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得EC：CF的值.（2）作辅助线：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，利用ASA，易证得：AMEPCE，则可证得：AE=EP。（3）过点D作DMAE交AB于点M，此时M使得四边形DMEP是平行四边形。一方面由BAEADM（ASA）得AD=DM；另一方面由DMAE，AEEF得DM EP。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定得证。12. （2012贵州黔南12分）如图，对称轴为=3的抛物线与轴相交于点B、O。（1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；（2）连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线。点P是上一动点。设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为，当0S18时，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，当取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使OPQ为直角三角形且OP为直角边。若存在，直接写岀点Q的坐标；若不存在，说明理由。（平面几何有个结论：如果两直线垂直，那么它们的斜率的乘积为1，坐标轴所在直线除外）【答案】解：（1）点B与O（0，0）关于x=3对称，点B坐标为（6，0）。将点B坐标代入得：36a+12=0。a=。抛物线解析式为。当x=3时，。顶点A坐标为（3，3）。（2）设直线AB解析式为y=kx+b，A（3，3），B（6，0），解得。直线AB解析式为y=x+6。直线lAB且过点O，直线l解析式为y=x。点P是l上一动点且横坐标为t，点P坐标为（t，t）。当P在第四象限时（t0），则。0S18，09+3t18。3t3。又t0，0t3。当P在第二象限时（t0），作PMx轴于M。设对称轴与x轴交点为N，则。0S18，03t+918。3t3。又t0，-3t0。t的取值范围是3t0或0t3。（3）存在。点Q坐标为（3，3）或（6，0）或（3，9）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程关系，二次函数的性质，直角坐标三角形的判定。【分析】（1）根据抛物线的对称轴方程即可确定a的值，由此可得到抛物线的解析式，通过配方可求出顶点A的坐标。（2）根据A、B的坐标，易求得直线AB的解析式，从而可确定直线l的解析式，即可表示出P点的坐标。由于P点的位置不确定，因此本题要分成两种情况考虑：P点位于第四象限，此时t0，四边形AOPB的面积可由OAB和OBP的面积和求得，由此可得到关于S、t的函数关系式，根据S的取值范围即可判断出t的取值范围；P点位于第二象限，此时t0，可分别过A、P作x轴的垂线，设垂足为N、M；那么四边形AOPB的面积即可由梯形APMN与ABN的面积和再减去OPM的面积求得，由此可得到关于S、t的函数关系式，可参照的方法求出t的取值范围。综合上面两种情况即可得到符合条件的t的取值范围。（3）根据（2）的结论，可求出t的最大值，由此可得到P点的坐标；若OPQ为直角三角形且OP为直角边，那么有两种情况需要考虑：QOP=90，OPQ=90；可分别过Q、O作直线l的垂线m、n，由于互相垂直的两直线斜率的乘积为-1，根据直线l的解析式以及Q、O的坐标，即可求出直线m、n的解析式，联立抛物线的解析式即可求出Q点的坐标：由（2）知t的最大值为3，则P（3，3）。过O、P作直线m、n垂直于直线l。直线l的解析式为y=x，直线m的解析式为y=x。可设直线n的解析式为y=x+h，则有：3+h=3，h=-6。直线n：y=x6。联立直线m与抛物线的解析式得：，解得，或。Q1（3，3）。联立直线n与抛物线的解析式得：，解得，或。Q2（6，0），Q3（3，9）。综上所述，当取最大值时，使OPQ为直角三角形且OP为直角边的抛物线上存在的点Q为：Q1（3，3），Q2（6，0），Q3（3，9）。13. （2012贵州黔西南14分）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以把代入已知方程，得化简，得：故所求方程为这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”。请阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ；（2）已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二方程，使它的根分别是已知方程的倒数。【答案】解：（1）y2y2=0。 （2）设所求方程的根为y，则（x0），于是（y0）。把代入方程，得，去分母，得a+by+cy2=0。若c=0，有，可得有一个解为x=0，与已知不符，不符合题意。c0。所求方程为cy2+by+a=0（c0）。【考点】一元二次方程的应用。【分析】（1）设所求方程的根为y，则y=x所以x=y。把x=y代入已知方程，得y2y2=0。（2）根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即得出所求的方程。14. （2012贵州黔西南16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线的对称轴l与x轴相交于点M.（1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；（2）设点P为抛物线（x5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；（3）连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）抛物线经过点B（1，0），C（5，0），设抛物线对应的函数解析式为。 又抛物线经过点A（0，4），解得。 抛物线对应的函数解析式为，即。 又，抛物线的对称轴为x=3。（2）（6，4）。（3）存在。NAC的面积最大，即点N距AC的距离最大，此时点N在直线AC下方的抛物线上，过点N与直线AC平行的直线与抛物线只有一个交点。 设直线AC：，则，解得。直线AC：。 设过点N与直线AC平行的直线为。 由整理得。 直线与抛物线只有一个交点， ，解得。 ，解得。当时，。N（，3）。在直线AC下方的抛物线上存在一点N（，3），使NAC的面积最大。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式【分析】（1）由抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），用待定系数法可求出抛物线对应的函数解析式，化为顶点式（或用公式）可求抛物线的对称轴。 （2）由A（0，4）和对称轴x=3知OA=4，OM=3。 由点P为抛物线（x5）上的一点，知PAPM2。 由以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，只能是PA=6，PM=5。由二次函数的轴对称性和勾股定理，知点P与点A关于对称轴对称。P（6，4）。 （3）NAC的面积最大，即点N距AC的距离最大，此时点N在直线AC下方的抛物线上，过点N与直线AC平行的直线与抛物线只有一个交点。应用一元二次方程根的判别式即可求解。15. （2012贵州铜仁12分）为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？【答案】解：（1）设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元， 根据题意得方程组得：， 解方程组得：。购进一件A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50