广义切比雪夫滤波器设计

分类号 密级 UDC 学 位 论 文广义切比雪夫滤波器设计（题名和副题名）王一凡（作者姓名） 指导教师姓名 罗正祥 贾宝富 教 授 电子科技大学 成 都 （职务、职称、学位、单位名称及地址） 申请专业学位级别 硕士 专业名称 物理电子学 论文提交日期 2007.1 论文答辩日期 2007.3 学位授予单位和日期 电子科技大学 答辩委员会主席 评阅人 2007年3月 日注1：注明国际十进分类法UDC的类号。独 创 性 声 明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。签名： 日期： 年 月 日关于论文使用授权的说明本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。（保密的学位论文在解密后应遵守此规定）签名： 导师签名： 日期： 年 月 日摘要摘要近年来，随着无线通讯技术的飞速发展，无线通讯使用的电磁波频谱变得非常拥挤。因此，无线通讯系统对滤波器的性能指标也提出了越来越高的要求。这意味着滤波器除了要有小尺寸、高选择性、低的插入损耗外，还要满足通带内平坦的群延迟响应和通带外足够大的的衰减。通常，这种类型的滤波器都采用广义切比雪夫滤波器来实现通讯系统对它的要求。广义切比雪夫滤波器的传输零点，可以位于阻带内的任意位置处，这能更加灵活地对滤波器的带外抑制度进行调节，其矩形系数可以做得很高。另外通过一些特定的交叉耦合，广义切比雪夫滤波器还能实现复数传输零点，以改善通带内的群时延特性，减小信号的畸变。本文系统地总结了广义切比雪夫滤波器的综合过程，并针对不同的拓扑结构给出了相应的耦合矩阵消元方法。接下来，文章又给出了六腔同轴结构线性相位滤波器的设计实例和测试曲线。最后，运用MATLAB GUI的界面编程语言设计了滤波器综合的计算程序，使得广义切比雪夫滤波器的综合过程更加快捷直观。实测结果表明，设计的滤波器综合程序对广义切比雪夫滤波器的设计生产有重要的指导作用，具有很好的工程实用价值。关键词：广义切比雪夫滤波器，交叉耦合，传输零点，耦合矩阵 -I-ABSTRACTABSTRACTRecently, with the fast development of wireless communication, the electromagnetic frequency used by wireless communication becomes very narrow. So, the requirement of filters performance for wireless communication is becoming harder and harder, this means that the filter should have flat group delay response in passband and enough attenuation out of band, besides the common requirement of small size, high selection and low insert loss. Usually the General Chebyshev filter is used to meet these hard requirements.The transmission zeros of General Chebyshev filter could be placed in any position, so the attenuation out of band is controllable, then a high selection performance could get. In addition, through some special cross couple, the complex transmission zeroes could be formed to improve the group delay response and decrease the distortion. This thesis gives a whole procedure of synthesis the General Chebyshev filter and a variety of couple matrix reducing methods for different topological structures. Further more, a process of design a linear phase filter with six coaxial cavities is presented and the measured result is recorded. At last, based on MATLAB GUI language, a filter synthesis program is designed, which makes the General Chebyshev filter synthesis fast and simple. A good agreement between the measured result and the synthesized one verifies validity of the program. It would be helpful in engineering application. Keywords: General Chebyshev filter, cross couple, transmission zero, coupling matrix -目录目录摘要IABSTRACTII目录III第一章绪论11.1广义切比雪夫滤波器的研究意义11.2国内外的研究现状21.3论文的内容安排及创新点3第二章广义切比雪夫滤波器综合42.1广义切比雪夫多项式42.2滤波器S参数与广义切比雪夫函数的联系52.3用迭代法得出S参数的多项式表达式72.4交叉耦合滤波器的等效电路分析112.5耦合矩阵综合13第三章不同拓扑结构的耦合矩阵化简193.1用相似变换对耦合矩阵消元193.2折叠型拓扑矩阵化简213.3异型拓扑矩阵化简233.4轮型拓扑矩阵化简243.5CT，CQ拓扑结构单元电路的传输特性263.6CT，CQ拓扑矩阵化简29第四章广义切比雪夫线性相位滤波器设计实例334.1广义切比雪夫滤波器的群时延表达式334.2复数传输零点对群时延的影响344.3六阶线性相位滤波器的实现364.4滤波器实物及测试结果39第五章基于MATLAB的滤波器综合程序设计415.1MATLAB GUI编程简介415.2程序的需求分析425.3程序的模块化435.4程序主体架构445.5程序的界面设计45第六章结束语48致谢49参考文献50攻读硕士学位期间发表的论文52-III-第一章 绪论第一章 绪论1.1 广义切比雪夫滤波器的研究意义滤波器作为一种二端口网络，具有特定的频率选择特性，即让某些频率的信号顺利通过，而对另外一些频率的信号加以阻隔和衰减。目前在雷达、广播、无线通信等领域，多频率工作越来越普遍，对分隔频率的要求也相应地提高了。因此，滤波器在这些领域被广泛运用，是微波，毫米波系统中不可缺少的器件，其性能的优劣往往直接影响整个通信系统的质量。 近年来，随着无线通讯技术的飞速发展，无线通讯使用的电磁波频谱变得非常拥挤。因此，无线通讯系统对滤波器的性能指标提出了越来越高的要求。特别是在移动通讯基站双工器和多工器中使用的滤波器，除了高选择性、小尺寸、通带内低插入损耗的要求以外，对滤波器通带内的群延迟和通带外的衰减都提出了十分苛刻的要求。面对这些要求，传统的滤波器比如：最大平坦（Butterworth）和切比雪夫（Chebyshev）滤波器很难胜任，因为普通结构的滤波器只有通过增加阶数来满足要求，而这样却会增加滤波器的插损，而且生产出来的滤波器的重量和体积都会非常大，不满足现代通信的需求。椭圆函数（Ellipse）滤波器虽然有良好的选择性，但实现起来却比较困难。相比之下，广义切比雪夫（General Chebyshev）滤波器具有更多的优越性。广义切比雪夫滤波器能通过引入传输零点而不用增加滤波器阶数来提高通道的选择性，并且只需要通过非相邻谐振腔的交叉耦合就可以实现。因此，目前很多通信用的滤波器都使用交叉耦合结构来实现，而这种结构的滤波器原型就是广义切比雪夫，要研究此类滤波器就必须先搞清广义切比雪夫函数的一些基本特性。广义切比雪夫函数不仅可以产生传输零点，而且这些传输零点是可以人为指定的，可以是对称的，也可以是不对称的，这可以更加灵活地根据需要对滤波器的带外抑制度进行调节，其矩形系数可以做得很高，这是椭圆函数滤波器所不能做到的。另外，通过交叉耦合，广义切比雪夫滤波器还可以产生复数传输零点，以改善通带内的群时延特性，这与传统的滤波器相比又增加了一项优势。传统的滤波器原型要么从幅度特性出发进行综合，得到符合要求的S参数幅度值，要么从相位特性出发，得到合适的相位曲线，例如传统的线性相位滤波器设计，它们都不能同时对幅度和相位进行综合，而广义切比雪夫却能用虚数传输零点控制幅度，同时用复数传输零点控制相位。综上所述，广义切比雪夫滤波器与传统滤波器相比具有体积小，效率高，带外抑制度好，矩形系数高，设计灵活等诸多优点，具有广泛的应用前景，是国内外微波无源器件的研究热点。1.2 国内外的研究现状广义切比雪夫滤波器的等效电路模型是A. E. Atia于1972年在研究交叉耦合结构滤波器1时首先提出来的。在这个模型的基础上，A. E. Atia还提出了耦合矩阵的概念，并根据这些概念给出了用求留数的办法从多项式到耦合矩阵的综合方法。Jia-Sheng Hong在他的书中也对这部分内容做了讲述16。A. E. Atia的等效电路模型，以及耦合矩阵的综合方法对以后广义切比雪夫滤波器的研究起了非常重要的作用。此后，在A. E. Atia的等效电路模型和耦合矩阵概念的基础上，R. J. Cameron 2-4，S. Tamiazzo12，G. Macchiarella7和H. C. Bell11等又对广义切比雪夫滤波器的综合方法作了进一步改进，提出了针对不同拓扑结构耦合矩阵的不同的消元方法，这使得广义切比雪夫滤波器更贴近实用，运用范围更加宽泛。其中R. J. Cameron给出了折叠型（folded），异型（Cul-de-Sac）拓扑结构滤波器的消元方法。S. Tamiazzo和G. Macchiarella从不同的角度给出了CT，CQ拓扑结构的消元方法，而S. Tamiazzo给出的移项消元则是在H. C. Bell提出的轮型结构基础上进行的消元。这些消元方法为滤波器的设计提供了种类繁多的拓扑结构，使滤波器的设计更加灵活多样。另外，S. Amari，R. N. Gajaweera等从滤波器的耦合矩阵出发，利用梯度优化的办法，也得到了相同特性的交叉耦合滤波器5-7。国内，强锐等则利用遗传算法与Solvopt算法相结合的优化方法得到了耦合矩阵19。优化法利用现成的数学优化算法，对耦合矩阵进行优化，具有理论简单，优化方法丰富，优化结果灵活多样等优点。然而随着综合技术的不断进步，优化法精度低（与综合法相比），速度慢等缺点也慢慢开始显现出来，这使得优化算法的使用范围也在渐渐被综合方法所取代。在线性相位滤波器设计方面，Rhodes9早在1970年就提出了线性相位滤波器的低通原型和综合过程，并在文献10中给出了设计实例。然而，由于这种滤波器是以相位作为逼近目标进行综的，没有添加有限传输零点，使得其带外抑制度不好。为了同时兼顾线性的相位特性和带外良好的抑制度，R. J. Cameron在文献23中给出了一个用复数传输零点实现平坦时延特性的例子，但并没有具体给出如何确定复数传输零点的方法。本文通过一些数值计算结果，找到了复数传输零点与群时延特性之间的一些关系，并在第四章作了详细的分析。1.3 论文的内容安排及创新点本文对广义切比雪夫滤波器的综合及耦合矩阵的化简给出了详细的分析过程和相应的数值例子，并给出了六腔同轴结构线性相位滤波器的设计实例和测试曲线，最后运用MATLAB GUI的界面编程设计了计算程序，使得广义切比雪夫滤波器的综合过程更加快捷直观。全文共分六章。第一章讲述了广义切比雪夫滤波器的研究意义，国内外的研究现状和论文的创新点。第二章讲述了广义切比雪夫滤波器的综合过程，并给出了相应的计算实例。第三章针对不同拓扑结构的滤波器，对耦合矩阵的化简做了进一步的阐述。第四章给出了广义切比雪夫线性相位滤波器的设计方法，并依此方法完成了一个六腔同轴结构的线性相位滤波器设计，测试结果与理论计算结果的一致性验证了此设计方法的正确性。第五章叙述了基于MATLAB的广义切比雪夫滤波器的综合程序的设计思路。第六章对论文内容作了简单的总结。本文的主要创新点有：1 找到了复数传输零点与群时延之间的关系，给出了在设计线性相位滤波器时，确定复数传输零点的方法。目前尚未见到对这一问题的报道。2 基于MATLAB，设计了广义切比雪夫滤波器的综合程序，该程序可以完成折叠型，异型，CT，CQ型等多种滤波器的综合。目前尚未见到有关此类程序设计的文章。- 51 -第二章 广义切比雪夫滤波器综合第二章 广义切比雪夫滤波器综合2.1 广义切比雪夫多项式令为广义切比雪夫函数，有 （2-1）其中，为三角余弦函数，为中间变量 （2-2） （2-3）是广义切比雪夫函数的奇点，当时，可视为函数的参变量。N表示奇点的个数，奇点的位置由决定，如果所有奇点都位于无穷远，即（）时，广义切比雪夫函数与传统的切比雪夫函数相同，退化为 （2-4）方程部分(下一个) 可以证明，当，当，而当，。为了画图方便，对（2-1）式取对数，令。以为例，取三个有限奇点，其余5个奇点均在无穷远处，得到：（2-5）下图为对的响应曲线，可见奇点位置是可以事先指定的。图 2-1 广义切比雪夫多项式取对数后的响应曲线2.2 滤波器S参数与广义切比雪夫函数的联系由图2-1的曲线可以看出，直接用广义切比雪夫函数作为滤波器的传输函数是不行的。为使滤波器在通带内（）有等纹波的响应，在取对数前应该让，这样才能使。因此对进行改造，令： （2-6）其中，为带内纹波系数。下面以八阶为例，说明变换后通带内响应曲线的变化情况。图2-2中与对应的量是，且 （2-7）变换前，在通带内有，变换后有，其中就是通带内的纹波起伏量，这样我们就可以通过参变量来控制通带内的纹波起伏大小了。图 2-2 带内各响应曲线的比较如图2-2所示，经过改造后传输函数就可以作为滤波器的原型函数了。此时， （2-8）由于是多项式函数，所以S参数也可以用多项式相除的形式来表示： （2-9） 由无源网络能量守恒定律，得出： （2-10）将（2-10）式代入（2-9）式有， （2-11）比较（2-8）式和（2-11）式可得， （2-12）式（2-7）给出了与的关系，下面再讨论一下回波损耗与的关系。由能量守恒定律和式（2-11）我们可以得到： （2-13）反解出，就可以得到： （2-14）2.3 用迭代法得出S参数的多项式表达式前面我们已经得到了与广义切比雪夫函数的关系，如（2-8）式所示。然而式的表达过于复杂，下面我们将通过迭代的算法化简（2-8）式，将S参数简化为两多项式相除的形式，如（2-9）式所示，这样有利于后面耦合矩阵的综合。分析（2-9）式，的传输零点就是函数的奇点，由于的奇点是已知的为，故的分子也是已知的，可写为： （2-15）由于存在无限远的传输零点，故多项式的最高次项，当时，所有的传输零点均为有限值。下面，我们将介绍如何通过已知的传输零点以及函数的性质来化简S参数的表达式，也就是求出多项式和的根。首先，将按定义展开，将反三角余弦的定义： （2-16）代入（2-1）式可得， （2-17）式中， （2-18）由（2-2）式给出的三角余弦函数定义可展开为： （2-19）由于，故式（2-19）可以写为： （2-20）将式（2-3），式（2-18）代入式（2-20）可得： （2-21）其中， （2-22） （2-23）为方便推导，令 （2-24）则（2-22）式，（2-23）式总可以写成以下形式： （2-25） （2-26）其中， （2-27） （2-28）下面从开始，说明多项式，的迭代过程。当时，（2-22）式可以写为： （2-29）当时，有： （2-30）分析（2-30）式就可以得出，的迭代关系式： （2-31） （2-32）求出多项式，后，由于，故也就求出了多项式。最后，通过能量守恒定律，利用式（2-10）我们可以求出， （2-33）在求的过程中还需要注意，由于分析的是无源网络，故的根都应该在复平面的上半部，其余的根应该在开方后舍去，否则进行傅立叶逆变换后，时域将得到指数递增的解，这与实际不符。下面以一个非对称的五阶滤波器为例子，说明具体的迭代过程。设滤波器的回波损耗，三个归一化的有限传输零点为，按照上述迭代算法，如式（2-29）所示代入有， （2-34）运用迭代公式（2-31），（2-32）代入得， （2-35）接着代入有， （2-36）有限传输零点代完后，由于，故还有两个无穷远的传输零点，代入有， （2-37）最后代入得， （2-38）接下来，用上述方法求出多项式、的根就完成了多项式的化简工作，各多项式的根在下表列出。表 2-1 五阶非对称滤波器各多项式的根传输零点，的根反射零点，的根传输或反射奇点，的根1-1.6886-0.9475-1.1446+0.1878j21.3199-0.5183-0.6899+0.6601j31.74330.19180.3018+0.7356j40.74460.9104+0.3458j50.97521.0682+0.0825j得出多项式后，根据（2-9）式我们可以绘出S参数的响应曲线，如下图所示。图 2-3 五阶非对称滤波器的S参数2.4 交叉耦合滤波器的等效电路分析众所周知，通过非相邻谐振器之间的交叉耦合，滤波器能产生传输零点。广义切比雪夫滤波器也是通过这种交叉耦合的等效电路来实现的。前面对广义切比雪夫函数做了分析，下面将通过对交叉耦合的等效电路的分析，建立广义切比雪夫函数与实际等效电路的联系，进而对耦合矩阵进行综合。A. E. Atia在1972年就首先提出了交叉耦合滤波器的电路模型，并根据模型建立了电路矩阵方程，其具体的建立过程如下：首先，如图一所示，根据Kirchhoff沿环路电压之和为零的定理，写出各个回路的电路方程。图 2-4 交叉耦合滤波器等效电路模型 （2-39）其次，在窄带近似条件下，将上面各式进行归一化，令，为相对带宽，于是有：，（） （2-40），（） （2-41），（1，2） （2-42） （2-43）上式中，为归一化角频率，,为各谐振器的谐振频率，可以不等于中心角频律，这等于增加了优化的输入变量，能更加充分地挖掘滤波器的滤波潜力。最终得到归一化的电路矩阵方程：， （2-44）其中，U为单位阵，R表示的矩阵中，除了，其余元素均为零。M是一个以为元素的对称矩阵，称为归一化的耦合矩阵。为电流向量，为激励向量，为等效的阻抗矩阵。我们所要提取的电路参数就在M和R矩阵中，其中M对应实际电路中的耦合系数，R对应输入输出端的外在品质因数。从（2-44）式中，我们可以看出电流向量可以表示为： （2-45）于是整个交叉耦合电路的S参数就可以表示为： （2-46） （2-47）由（2-9）式与（2-46），（2-47）式，我们就通过S参数建立了广义切比雪夫函数和交叉耦合等效电路之间的联系。下一步，我们从2.3节得到的多项式入手，对等效电路的耦合矩阵进行综合。2.5 耦合矩阵综合图 2-5 一般双端口等效电路由上节的分析，我们可以进一步得到等效电路的一些电气参数。将图2-4所示等效电路模型简化为图2-5所示的一般双端口电路，由导纳矩阵的定义可得： （2-48）其中，为上节的归一化耦合矩阵，为电流向量。同理， （2-49）由于是一个实对称矩阵（），其所有的特征值都是实数，故满足： （2-50）其中， ，是以为元素的对角阵，是对称正交阵，是矩阵的转置，且有，为单位阵。由于，（i,j=1，2，3，N） （2-51）故，将式（2-51）代入式（2-48），（2-49）可以得到， （2-52） （2-53）下面，我们通过导纳矩阵的两个参数和建立2.3节所得到的多项式，与对称正交阵之间的关系。对于图25所示的双端口网络，其电压电流关系，可用式（2-54）表示： （2-54）由此可以解得1端口的输入阻抗： （2-55）由阻抗矩阵与导纳矩阵之间的转换关系， （2-56）可将式（2-55）化简为： （2-57）而输入阻抗与的关系为， （2-58）上式中，为多项式的实部，为虚部。从（2-58）的分子中提取（N为奇数）或者（N为偶数）就可以得到类似（2-57）的结构，以提取为例， （2-59）比较上式等式左右两边有， （2-60）另外，由于与具有相同的分母，且与具有相同的传输零点，故可表示为： （2-61）上面式子中，均可以通过2.3节中的多项式计算得到，由于 （2-62）其中，分别为多项式，的复系数。对比式（2-52），（2-53）与（2-60），（2-61）可得： （2-63） （2-64）由上面两式可以看出，就是多项式的根，就是分式的留数，而则是分式的留数。，求出后，再运用施密特正交化就可以构造出耦合矩阵M。如图2-4所示，若将输入，输出腔的电阻，归一化，则需要再加入两个耦合，即和。表示源到第一个腔的耦合，表示最后一个腔到负载的耦合。 若归一化后源和负载的阻抗均为1，则有，。转化为归一化形式有： （2-65）此时的耦合矩阵由原来的变成了，下面以2.3节的五阶非对称滤波器为例子，说明耦合矩阵M的求解过程。首先，由表可以写出各多项式的表达式： （2-66） （2-67） （2-68）由于为奇数，故取，即提取的情况。将（2-67），（2-68）代入式（2-62）就可以得到，的表达式： （2-69） （2-70）由式（2-64）可以看出就是多项式的根，通过求分式的留数，可以求出，由分式的留数以及可以求出的值。具体的计算结果如下表所示：表 2-2 留数的求解结果参数k11.24250.33500.33502-1.15230.27600.27603-1.04220.4290-0.429040.82170.5648-0.56485-0.31550.56090.5609接下来，可以将耦合矩阵用上表中求得的参数来表示：图 2-6 五阶滤波器的耦合矩阵表示将表2-2的数据代入图2-6所示的结构中，就可以得到满足广义切比雪夫函数的耦合矩阵，将得到的耦合矩阵代入式（2-44），（2-46），（2-47）计算S参数，得到的结果与图2-3所示的结果是一致的。图 2-7 五阶滤波器的耦合系数值虽然我们综合出了耦合矩阵，然而这样的耦合结构显然不易于实现。下一章，我们将通过对耦合矩阵的化简，消除我们不需要的耦合项，从而得到利于实现的拓扑结构，进而完成滤波器的设计。第三章 不同拓扑结构的耦合矩阵化简第三章 不同拓扑结构的耦合矩阵化简3.1 用相似变换对耦合矩阵消元在第二章中，我们通过对广义切比雪夫多项式的分析，综合出了耦合矩阵，然而这样的耦合矩阵还不实用，要对其做进一步的消元，才能得到利于实现的耦合结构。对耦合矩阵的消元一般采用矩阵的相似变换，由于相似变换后矩阵的特征值不变，故S参数的响应曲线也不变。而消元过程中若采用不同的消元顺序，和不同的消元方法，则会得到不同的耦合矩阵，也就是说同样性能的滤波器可以用不同的耦合结构来实现，故对耦合矩阵的消元具有一定的灵活性。在矩阵的相似变换中，真正能起到消元作用是矩阵的旋转，下面我们就通过对矩阵旋转的分析来说明耦合矩阵消元的一般规律。以一个的耦合矩阵为例，设消元前的矩阵为，旋转矩阵为，则消元后的矩阵为： （3-1）其中为矩阵的转置。旋转矩阵也是一个的矩阵，若消元后，只影响到原矩阵第3行，第3列，以及第5行，第5列的元素，则的结构如图3-1所示，此时，我们说此旋转矩阵的旋转点为。也就是说，旋转点为的旋转矩阵只会影响原矩阵的i，j行 ，i，j列。图 3-1 旋转点为3,5的7阶旋转矩阵其中，为矩阵的旋转角。设原矩阵各元素为，由于变换后原矩阵的i行，i列，j行，j列均要变化，故将改变的矩阵元素以下图的形式列出。图 3-2 旋转后改变的矩阵元素由于公式过长，故将上图中的部分元素用下式表达， （3-2） （3-3） （3-4） （3-5）归纳上面各矩阵的变换，对于旋转点为的旋转矩阵，可以得到如下规律：当时， （3-6） （3-7） （3-8） （3-9）当时，由于原矩阵有对称性故， （3-10） （3-11） （3-12）若要消除原矩阵元素，则令并代入式（3-6）（3-12）就可以求出矩阵的旋转角，而后运用式（3-1）就可以完成对原矩阵指定元素的消元。观察矩阵元素的变换公式（3-6）（3-9）可以得出，若变换前，等式右边的矩阵元素均为零，则不管旋转角为多少，变换后的元素值不变也等于零。这一性质在后面的矩阵消元中有很大作用。3.2 折叠型拓扑矩阵化简上一节中，讨论了矩阵相似变换的一般规律。下面为了得到需要的耦合结构，需要按照一定的顺序来进行消元。折叠型拓扑结构是一种效率很高的耦合结构，理论证明，阶折叠型滤波器，若没有源和负载的耦合，最多可以实现个传输零点，若加入源和负载的耦合，则最多只能实现个传输零点。以7阶无源载耦合为例，其拓扑结构有两种形式，如图3-3，3-4所示：图 3-3 7阶下折叠型拓扑结构 图 3-4 7阶上折叠型拓扑结构另外，图3-5，3-6还给出了耦合矩阵的结构和消元顺序。 图 3-5 下折叠型耦合矩阵的消元顺序 图 3-6 上折叠型耦合矩阵的消元顺序由于耦合矩阵是对称的，故只给出了上半部的元素，其余的可以根据对称性得到。图中s为矩阵的自耦合量，m为直接耦合，x为交叉耦合。表示矩阵的消元顺序。若从第一行开始消元，得到的是下折叠型的拓扑结构，如图3-5所示。若从最后一列开始消元，得到的是上折叠型的拓扑结构，如图3-6所示。下面以下折叠型为例说明其消元思路。对于的消元，可以用式（3-6）（3-9）中的任意一个式子消元，旋转点i,j也可以任意选取。但为了使消元程序化，使第一行以及第二行的,的消元也能和类似，我们选择（3-9）式进行消元，取k1，i,j5,6。对于的消元，为了不影响，矩阵的旋转点，因此可取k1，i,j4,5。依此类推完成第一行的消元。对于的消元，若象一样，用（3-7）式取k7，i,j2,3进行消元，由于元素，故前面用已经消为零的元素又会出现新的值，使前面的消元作废。因此，为了不影响前面的消元成果应选（3-6）式，取k7，i,j3,4，此时由于，均为零，故变换后，仍然为零。其余元素的消元思路均与上述类似，表3-1列出了图3-5与图3-6的整个矩阵消元过程中所用到的公式以及参数的取值。表 3-1 7阶下折叠型与上折叠型耦合矩阵的消元过程矩阵消元顺序下折叠型上折叠型所消元素所用公式k旋转点i,j所消元素所用公式k旋转点i,j3-915,63-672,33-914,53-673,43-913,43-674,53-912,33-675,63-673,43-914,53-674,53-913,43-675,63-912,33-924,53-663,43-923,43-664,53-664,53-923,4最后以2.3节的5阶滤波器为例（回波损耗，三个归一化的有限传输零点为，），按上述化简思路分别得到下折叠型和上折叠型的耦合矩阵值，结果如图3-7，3-8所示。 图 3-7 下折叠型耦合矩阵 图 3-8 上折叠型耦合矩阵3.3 异型拓扑矩阵化简异型拓扑结构（Cul-de-Sac）拥有最少的交叉耦合项，其交叉耦合项只有两项，且有一直接耦合项为零。对于阶异型滤波器，最多可以实现个传输零点。异型拓扑结构的奇数阶和偶数阶的矩阵化简有所差别，故奇数阶以7阶为例，偶数阶以6阶为例，说明其化简过程。其拓扑结构如图3-9，3-10所示。 图 3-9 7阶异型拓扑结构 图 3-10 6阶异型拓扑结构接下来，我们以上一节得到的耦合矩阵作为基础，进一步化简，得到异型结构的耦合矩阵，图3-11，3-12给出了耦合矩阵的结构和消元顺序。 图 3-11 7阶异型耦合矩阵的消元顺序 图 3-12 6阶异型耦合矩阵的消元顺序异型结构的消元从主耦合的中间部分开始，若为奇数阶，从第个主耦合开始，若为偶数则从第个主耦合开始。如图3-11所示，消除元素，为使消元的同时不增加新的耦合项，使用公式3-6，令k4，i,j3,5。这样，在消除元素的同时只引入一个新的元素。接下来继续按照前面的思路对进行消元，就可以完成奇数阶异型结构的消元。对于偶数阶，在的消元过程中，在运用公式3-6时，遇到ki4，公式3-6不能用。故此时应运用公式3-12进行消元，此时旋转点i,j3,4。令， （3-13）解得旋转角 （3-14） 接下来的消元与奇数阶的消元种类相同。最后，以一个6阶滤波器为例（回波损耗，三个归一化的有限传输零点为，），按上述思路化简后，得到的异型结构耦合矩阵值如图3-13所示。图 3-13 6阶异型结构耦合矩阵3.4 轮型拓扑矩阵化简轮型拓扑结构因有若干个腔与负载耦合，呈轮辐状而得名。其效率和折叠型结构一样也是阶最多可以实现个传输零点。这种拓扑结构并不实用，然而它却是下一节CT（cascaded triplet），CQ(cascaded quadruplet)拓扑矩阵化简的基础。CT，CQ结构由于其调试方便而被广泛运用，是交叉耦合滤波器中重要的一类拓扑结构。图3-14给出了7阶，3个传输零点的轮型拓扑结构。图 3-14 7阶轮型拓扑结构 我们在折叠型结构的基础上进行消元，其消元顺序以及耦合矩阵如图3-15所示，l为与负载耦合的交叉耦合项。具体的消元步骤由表3-2给出。图 3-15 7阶轮型耦合矩阵的消元顺序表 3-2 7阶轮型耦合矩阵的消元过程消元顺序所消元素所用公式k旋转点 i,j3-912,73-923,63-934,53-923,73-934,63-934,73-945,63-945,73-956,73.5 CT，CQ拓扑结构单元电路的传输特性CT（cascaded triplet），CQ(cascaded quadruplet)拓扑结构，是一些重复的单元级联的结构，其拓扑结构如图3-16，3-17所示。由于CT，CQ结构可以独立实现一个或两个传输零点，而与其它腔体无关，故这种结构具有调试方便，利于大批量生产的优点，运用相当广泛。CT结构是以每三个谐振腔为一组级联构成的拓扑结构，每一组实现一个传输零点，故个腔可以实现个传输零点。图 3-16 6阶CT拓扑结构CQ结构是以四个谐振腔为一个单元，级联而成的拓扑结构，每一个单元可以实现两个传输零点，故个腔可以实现对传输零点。图 3-17 8阶CQ拓扑结构下面以相位分析的形式，定性的给出一些结构单元的零点位置，以及判别方法。以CT电交叉耦合为例，如图3-18所示。 图 3-18 CT电交叉耦合拓扑结构及传输特性图中，以电感表示磁耦合，以电容表示电耦合，数字表示谐振腔。由电路常识我们知道通过电感的，会产生+90度的相位差，通过电容时有-90度的相位差。对谐振腔而言，当频率低于谐振频率时，谐振腔呈容性，产生+90度的相位差，当高于谐振频率时，谐振腔呈感性，产生-90度的相位差。下面以上述准则，分析两条路径下的相位变化。第一条路径为，第二条路径为，当频率低于腔体的谐振频率时，通过两条路径的信号相位相差180度，因此，CT电交叉耦合会在通带低端产生传输零点。900表 3-3 CT电交叉耦合的相位变化f f0路径-900+900-900-900-900-900-900-2700路径900900相位变化180相位相反0相位相同按照上述方法分析CT磁交叉耦合可以得到如图3-18所示结果，在通带高端产生一个传输零点。 图 3-19 CT磁交叉耦合拓扑结构及传输特性分析CQ电交叉耦合，可在通带两端产生两个对称的传输零点，如图3-20所示。 图 3-19 CQ电交叉耦合拓扑结构及传输特性进一步分析添加对角耦合的CQ电交叉耦合单元，发现通带两端产生的两个传输零点可以不对称，如图3-20所示。当对角耦合为电耦合时，右边的传输零点往高频偏，当对角耦合为磁耦合时，左边的传输零点往低频偏。 图 3-20 添加对角耦合后CQ电交叉耦合拓扑结构及传输特性 分析CQ磁交叉耦合，发现虽然没有产生传输零点，但是其相位特性却发生了变化，部分通带内的群时延变得更加平坦了。因此CQ磁交叉耦合可以做为改善群时延特性的一个基本单元，参与滤波器的设计。 图 3-21 CQ磁交叉耦合拓扑结构及传输特性进一步分析添加对角耦合的CQ磁交叉耦合单元，可以得到单元电路在通带的同一边产生两个传输零点。当对角耦合为电耦合时，单元电路将在通带左边产生两个传输零点，当对角耦合为磁耦合时，单元电路将在通带右边产生两个传输零点。其拓扑结构及传输特性如图3-22所示。 图 3-22 添加对角耦合后CQ磁交叉耦合拓扑结构及传输特性3.6 CT，CQ拓扑矩阵化简了解了CT，CQ单元电路的基本特性后，我们接着进行其耦合矩阵的化简。CT，CQ拓扑结构的化简是基于轮型结构的耦合矩阵来进行进一步化简的。以前面7阶的轮型结构为例，假定变换后最后三个腔，形成一个CT单元，产生一个传输零点，如图3-20所示。设原轮型结构的矩阵元素为，变换后的矩阵元素为。图 3-23 CT结构变换示意图则矩阵变换后第5行，第6行的耦合矩阵元素满足以下关系： （3-15）以i,j6,7作为旋转点，将式（3-6）（3-12）代入上式，得到： （3-16）将上式（3-16）代入式（3-15）令行列式等于零，解出旋转角： （3-17）运用式（3-1）进行矩阵旋转，就可以得到包含一个CT单元的耦合矩阵。下一步，可以运用前面消元的方法，将CT结构向前面移动，如图3-23虚线所示。一开始CT单元为（5 6 7），消除元素，产生新元素，则CT单元向前移动一个腔，变为（4 5 6），依此类推，可以将包含传输零点的CT单元前移至所需要的位置。由前面分析可知，一个CQ单元可以产生一对传输零点。故CQ单元，可以理解为两个CT单元的叠加，其产生方式与移动方式，与前面CT单元的变换类似。下面以7阶，3传输零点的滤波器为例，说明其转换过程。设滤波器的回波损耗，三个归一化的传输零点为，。其拓扑结构如图（3-22）所示，其中（1 2 3）CT单元实现传输零点，(4 5 6 7)CQ单元实现两个传输零点，。图 3-24 7阶CT，CQ混合结构 首先，按照上述方法，我们可以得到轮型的耦合矩阵，如图3-25所示。图 3-25 7阶轮型结构的耦合矩阵加入第一个传输零点，使最后三个腔（5 6 7）形成一个传输零点，得到的耦合矩阵如图3-26所示。图 3-26 加入一个传输零点的耦合矩阵将上图中的矩阵元素代入式（3-15）进行验证，可见变换后的CT单元与假设的相同。接下来按照前述的方式用公式（3-6），令旋转点i,j6,7，k8，可以将CT单元（5 6 7）向前移至（4 5 6），依次类推，将CT单元移动到（1 2 3）后得到的耦合矩阵如图3-27所示图 3-27 将CT单元移至（1 2 3）的耦合矩阵接下来，还是用CT单元（5 6 7）产生传输零点，并将其前移至单元（4 5 6）。然后再用CT单元（5 6 7）产生传输零点。最后用公式（3-9）可以消除元素，所得到的耦合矩阵就和图 3-24的拓扑结构一致了。图 3-28 7阶CT，CQ混合结构的耦合矩阵第四章 广义切比雪夫线性相位滤波器设计实例第四章 广义切比雪夫线性相位滤波器设计实例4.1 广义切比雪夫滤波器的群时延表达式为了保证宽带信号的无失真传输，防止信号在传输过程中发生畸变，线性网络在频带内应该具有平坦的幅度特性和线性的相位特性，即群时延为常数。因此，在设计滤波器时，不仅要满足幅度选择特性，而且还需要满足群时延平坦的要求。补偿滤波器带内相频特性畸变的方法主要有自均衡和外均衡两种。外均衡是利用增加一个与滤波器相位特性相反的相位均衡器来补偿相位畸变的。自均衡则是通过采用线性相位响应函数