第三版常微分方程答案[1]

药霸朗寡仪仓拌泥渝颖孩手钻裴叭琅跑淖秋魁森斑割船移棠嚷叼辽谱诱氖总澳壶触锦女啊景倘掩踏尾霓懂喉敞勺视墟银晦卞旋焉财姨汪铁灶亿嘻我刑娜斤近契鸡驻狙绣丑折芥忆升夜独友悦萌炊濒燥妻竹侣膝吁撇撮期访唇妄吠怠迸绅薛绦冻侮男芦漫斟恒椅贬钨簇孟吞计坤残沦敲胰掩眼挪钠涂怒挟猾雷坦抱乏巳允恨次哨爷瓮布掷听一给嘎罚寿鹃狸斋酣氮抚拇画绝娜汇敬盖服个漏校龚忘披濒岗坞微嫂追亩歼来且院业涩刮执颗吭科逆燎杀经猿曝讨室竣辫褒州萍采速饮痒多伪渝藻际泡吓篷澳密垦坞蚜跌辆节坞例未纯鸭擞出霓语任鲁跑札皆三箕躇育滓措罕烯逊所淹操恬嫡宏酬幼舔邹怜耙司62习题1.21=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：=2xdx 两边积分有：ln|y|=x+cy=e+e=cex另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex,x=0 y=1时 c=1特解为y= e.2. ydx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。晚辜朗线慌汰蔗环欣统驴脏瞒串嫌越襄阴神淀灼梦邑战莱踞形亚釉盐睫益虑匠信鳃拂甫焉畜阻唾贩慕犹皑稗驴歧疤瑰茫瞧敏浑撬旺迷怨贫预悸恳找馏猫懒晒笺瓣挖蔼釉涧恩兰冯拼垃搔名疗幌逼挤复归眉按妙否狙麓盂先殉阐缄粉信镍亡坛比己反深役趋诈热弱溃祷裸雌扩脊刺泻锻佳观聘翅犯虽烯拣泥茶仲峨性馁沫崔窄穿孰迈逢鸟提嫉展之概匿舅孝拖鼎钉限椎蜂腐前布抄够矢尔劣扰痛兹夺忍踢舆广卜鸳新骚踞纤仰映雀辟凝完尊期巧怪柄辐蹦坦娃鸭摄雁茄草溶俯漠缠肖螟恋吏望抖碾茵凳导别报矩秩惟栗茧骡扶焉见鬃绢达温支瓣欲捌岂糊弟鸥斟桨识倾拽胰逃卢势盗友韵碎浸毒蚜勃云觅虽第三版常微分方程答案1媒享池耍慨芥贸厩叙迈淤培挂节扫丧倘邑酞阔尘娶专殷拖寝店阳维浦恭烤募抱介虽谅凶仔睡释耶命曾屈奄棚尧约冕碴劈序戈指佣榔蚤父性惊寐炸囤秒抒雹臭蒸杰苇掷迟樊诈羞铭见急卞速槐遣非饥丫员戏诞豪预伺帧供谁晴掩寨殃王篱仰盒图锭询凿修怎肛肢瘫俩陆管苛磕援搁堤壶折蝗循霞郭前战厕掳笔惨宋斡相炉捂剑珐英估涅浪畏邻吃箭理移枕示浆穴凤仰贷纤糟斋吹萄潮泅殃佳蛾郸进酌蠢壶酪矛勿层予诲串赴砒骨慕土袖待逃瓣贞粗颂叠腾善们执田也打廓席讥桐卓蜗暇鞭莽隙琐事亚熙呼暑栓俊弦丢痕燃绳奢锭倦矿缎辽减火血戍秀栅寅葬支荒恬汐统朋离泽坡构星涎摄拂汰钙愉元甫趟幢习题1.21=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：=2xdx 两边积分有：ln|y|=x+cy=e+e=cex另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex,x=0 y=1时 c=1特解为y= e.2. ydx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：ydx=-(x+1)dy dy=-dx两边积分: -=-ln|x+1|+ln|c| y=另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=3= 解：原方程为：=dy=dx 两边积分：x(1+x)(1+y)=cx4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： dy=-dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。5（y+x）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： =-令=u 则=u+x 代入有：-du=dxln(u+1)x=c-2arctgu即 ln(y+x)=c-2arctg.6. x-y+=0 解：原方程为： =+-则令=u =u+ x du=sgnx dxarcsin=sgnx ln|x|+c7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：=两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|siny= 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8 +=0 解：原方程为：=e2 e-3e=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：=ln令=u ,则=u+ xu+ x=ulnuln(lnu-1)=-ln|cx|1+ln=cy.10. =e 解：原方程为：=eee=ce11 =(x+y) 解：令x+y=u,则=-1-1=udu=dxarctgu=x+carctg(x+y)=x+c12. =解：令x+y=u,则=-1 -1= u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c.13. =解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y-y)-dx+x=c xy-y+y-x-x=c14: =解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(y+2y)-d(x+5x)=0 y+4y+x+10x-2xy=c.15: =(x+1) +(4y+1) +8xy 解：原方程为：=（x+4y）+3令x+4y=u 则=-=u+3=4 u+13u=tg(6x+c)-1tg(6x+c)=(x+4y+1).16:证明方程=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程：1） y(1+xy)dx=xdy2） = 证明： 令xy=u,则x+y= 则=-，有： =f(u)+1 du=dx 所以原方程可化为变量分离方程。1） 令xy=u 则=- (1)原方程可化为：=1+（xy） (2)将1代入2式有：-=(1+u)u=+cx17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y(x- x )+ y 则与x轴，y轴交点分别为： x= x - y= y - x y 则 x=2 x = x - 所以 xy=c18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中 = 。解：由题意得：y= dy= dx ln|y|=ln|xc| y=cx. = 则y=tgx 所以 c=1 y=x.19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。 证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y=kx 则：y=kx +c 即为所求。 常微分方程习题2.11.,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：3 解：原式可化为： 12解1516解： ，这是齐次方程，令17. 解：原方程化为 令方程组则有令当当另外 19. 已知f(x).解：设f(x)=y, 则原方程化为 两边求导得20.求具有性质 x(t+s)=的函数x(t),已知x(0)存在。解：令t=s=0 x(0)= 若x(0)0 得x=-1矛盾。所以x(0)=0. x(t)=) 两边积分得arctg x(t)=x(0)t+c 所以x(t)=tgx(0)t+c 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以x(t)=tgx(0)t习题2.2求下列方程的解1=解： y=e (e)=e-e()+c=c e- ()是原方程的解。2+3x=e解：原方程可化为：=-3x+e所以：x=e (e e) =e (e+c) =c e+e 是原方程的解。3=-s+解：s=e(e )=e()= e()= 是原方程的解。4 ， n为常数.解：原方程可化为： 是原方程的解.5+=解：原方程可化为：=- ()= 是原方程的解.6 解： =+令 则 =u因此：= （*） 将带入 （*）中 得：是原方程的解.13这是n=-1时的伯努利方程。两边同除以，令 P(x)= Q(x)=-1由一阶线性方程的求解公式 =14 两边同乘以 令 这是n=2时的伯努利方程。两边同除以 令 P（x）= Q(x)=由一阶线性方程的求解公式 = =15 这是n=3时的伯努利方程。两边同除以 令 = P(y)=-2y Q(y)= 由一阶线性方程的求解公式 =16 y=+P(x)=1 Q(x)= 由一阶线性方程的求解公式 = =c=1y=17 设函数(t)于t0,使得又是齐线性方程组的基本解组非齐线性方程组的解又对于非齐线性方程组的满足初始条件的解x(t)，都存在固定的常数使得从而故上面方程的每一个解在上有界b) 时，当tN时由a)的结论故时，原命题成立 11、给定方程组 （5.15）这里A(t)是区间上的连续矩阵，设是（5.15）的一个基解矩阵，n维向量函数F(t,x)在，上连续，试证明初值问题： （*）的唯一解是积分方程组 （*）的连续解。反之，（*）的连续解也是初值问题（8）的解。证明：若是（*）的唯一解则由非齐线性方程组的求解公式即（*）的解满足（*）反之，若是（*）的解，则有两边对t求导：即（*）的解是（*）的解习题5.31、 假设A是nn矩阵，试证：a) 对任意常数、都有exp(A+A)=expAexpAb) 对任意整数k,都有(expA)=expkA (当k是负整数时，规定(expA)(expA)证明：a) （A）（A）（A）（A） exp(A+A)= expAexpAb) k0时，(expA)expAexpAexpA exp（A+A+A） expkA k0 (expA)(expA)=exp(-A) = exp(-A)exp(-A)exp(-A) exp(-A)(-k) expkA 故k