不定积分含变上限积分和微分解题方法

不定积分和微分-J-J一、公式 一 f (x)dx = f (x)和 f (x)dx = f (x)dx = f(x) c 的应用 dxdx注意：f(x)的不定积分为F(x)c= F(x)是f (x)的原函数二f (x)是F(x)的导数,即f(x)dx 二 F(x) c或 F，(x)二 f(x)1已知不定积分的值，求被积函数或被积函数中的一部分，利用两边求导处理已知 f ( (x)dx 二 F (x) c，求 f (x)方法：求导得 f ( (x) F /(x)，令：(x) = t，则 x =，(t)，即 f (x) = F / (x)例 1 ( 1)f(x)dx=x2 c，求 xf(1-x2)dx解：对 f(x)dx=x2 c 求导得 f(x) =2x， f (1-x2) =2-2x2222 2X2则 xf(1 -x )dx 二 x(2 -2x )dx 二 xcdx(2) .xf(X)dxrcsinX C,求.帀解：对.xf (x)dx 二 arcsinx c两边求导得 xf (x) 口d-x2，即f(x)二 1X i 1 - X2fXr x -壮“冷-xQ-x2)1 2 -丁一x)2 c51/402、已知导数值，求原函数，利用两边积分的方法处理已知 F /(x) = f (x)，求 F (x)方法：令：(xt，则 X=，(t)，即 F，(t) = f (t)，/ 2 2例 2( 1) f (sin x)二 tan x，求 f (x)cos2 x 1 -t解：令 sin2 x = t，则 cos21 = 1 -t， tan2 x = sin X t即f/(t)诂两边积分的f(t)占dt_ In |t _11 c(2)已知 f / (一x) = x f / (x) -1，求 f (x)f/(x) = -xf/(-x)-1解：令 - X =t，则上式为 f/(t)二一t f/(-t) -1，即2x由上面两式得 f /(x) = 2x +1x两边积分得 f (x)二 dx = ln(x 1) c x +1f(0) =0,11f (lnx：,x0 ： x _1，求f(u)(3)设 f (u)在-：:U ：: :内可导，且解：令 In x =t得 x = ，f/(t)才0 : et 1et 1即 f/(t)1te2t0(4)设 y = f (x)在 x处的改变量为-y x oGx) ( -x 0)，y(0) = 1，求 y(1)1 + x解：由.：yx oUx)知 y/1 x1 xJ即鱼=竺y 1 +x两边积分得得 In y 二 In(1x) c而 y(0) =1=1x 故 y/(1)=153 / 40解：o f (x)dx =xf (x) |xf(5)设 f(x)= ；dt，TT0 f(x)dxn si nx , (x)dx*dx-,0兀_xjsi nxdx = 2二、已知F(x)是f (x)的原函数二F，(x)= f(x)，求被积函数中含有j ! f (x)dx = F (x) cf (x)的积分1由f (xF/(x)求出f(x)，代入积分计算2、把积分转化为.f ( (x)d( (x)的形式，利用.f (x)dx二F(x) c求值例3 (1)竺上是f (x)的原函数，a = 0，求x解：因为s是f (x)的原函数，所以f(x)dx =xta xf (ax) dx asin xcx(2) e是 f (x)的原函数，求x2 f (In x)dx解：因为 f(x) (e)/ - -e1，所以 f (In x):x2x贝V x2 f (In x)dx - - xdxc2三、已知f(x)的表达式，求被积函数中含有f( ;：(x)的积分1由f (x)求f：(x)，再把f：(x)的表达式代入积分计算2、由f(x)先求 f(x)dx，把含有f( (x)的积分转化为f( (x)d (x)的形式处理例 4 (1) f (sin . 2 2解：因为(e“)/ 二 f (x)，所以 f (x)二-2xe , f (x)dx 二 e心 cx(x)dx 二 xd f (x) = xf (x) - f (x)dx 二-2x2e(4) f(x)二 xex，求 f/(x) ln xdx解：.(x) I nxdx 二 In xd f (x) = f (x) I nx-x)=，求 f x f (x)dx sin x- xI解：在(f (x)dx中，令 x=sin2t得sin21、1 - sin211 -x2 2 2 2f (sin t)d (sin t)=2 s in t f(sin t)dt=2 tsin tdt 二 -2 td(cost)二-2t cost 2 costdt二-2tcost 2sint c因为 si n t = x , cost = . 1 - x , t = arcs in、x所以f(x)dx = 2丁1x arcsi门依+2依+。1 -x2(2) f(x2-1)=ln 二 ，且 f (x) = lnx求 (x)dx x -22t +1解：令 x2 -1 =t,则 f (t) = In ，而 f (x)H lnxt 13(x)+1x+1则 In 亠 - =lnx 即(x)(x)-1) x-1x +1(x)dxdx = x 2In | x -11 cx T2(3) (e)/=f(x)， f / (x)连续，求 xf/(x)dxxxxx=xe Inx- e dx = xe Inx-e c(5) In f(x) =cosx，求 xf (x) dxf(x)xf (x)解：dx 二 xd|nf (x)=x|nf(x) In f (x)dxf(x)=xcosx - cosxdx 二 xcosx -sin x c257 / 40(6)设 f(x)二2x sintdt t1求 0 xf (x) dx解：因为f (x)二，所以f/(x)sin2x2x2sin x21 10xf(x)dx 石1,of (x)dxx2 f (x) 1|01 2 /0x f (x)dx 二12-xsin x dx1 122sin x dx2 0cosl 1解:1令 2x1212/oxf (2x)dx 二-0tf (t)d- 0tdf (t)二tf /(t).2h|01 2 /-4 0f(t)dt1 2 .1cos x Io 二2 2 2四、利用凑微分法求积分注意：f/g(x) g/(x)dx=f/g(x) dg(x)=df(g(x)f/(2) f (2) -f (0)(2)设f (x)二阶可导,解:b / /af (x)f (x)dxf /(b)二 a，f/(a) =b，求bf/(x)f/(x)dxab二 f (x)df (x)二a/ 2f (x).b a2-b2(3)设 q f (x) f (x)sin xdx = 5， f (二)=2，求 f (0)解：0 f(x)sinxdx = o sinxd f，(x) = 一 f(x)cosxdx=-|JTcosxdf (x) = f (0) - f 伍)- J：f (x) sin xdx因为 0【f(x) f(x)sinxdx =5，所以f(0) - f(二)=5 而 f(J =2，故 f(0) = 7五、已知 F / (x)二 f (x)，且 f (x) F (x)二 g(x)，求 f (x)方法：两边积分F，(x)F(x)dx二g(x)dx，得字g(x)dx，求 f(x)例6( 1) F(x)是f (x)的原函数，且x_0时，有f (x) F(x) =sin22x，又 F(0) =1,F(x) 一0,求 f (x)解：因为F(x)是f (x)的原函数，所以F，(x)二f (x)，由于 f(x) F(x) =sin2 2x/ 2故 F，(x) F(x)二 sin22x，# / 40(2)f (x)连续，且当x * -1时,xf(x) 0f(t)dt 1二xxe + 2，求 2(1 x)2f(x)解:x/令 g(x)二 0 f(t)dt，g (x)x= f(x)，由于 f(x).0f(t)dt 1=xxe2(1 x)2g/(x)g(x) 1=xxe2(1 x)2两边积分得.F/(x)F(x)dxsin2xdxgdxmco4xdx 拧-誉 s 而 F，(x)F(x)dx 二 F(x)dF(x)-故 F 2(x) = x _sin4x c，又 F (0) = 1 得 c = 141 -cos4x,4 x si n 4x 4而 F(x) _0，所以 F(x)二.x-si：4x 1 f (x)两边积分得g/(x)g(x) 1dx =x xe2(1 x)2dxx xe葩盹2(1 Fdx Jdx - dx2 1 x 2 (1 x)g(x) 12 二因为g(x)二 0 f (t)dt 令 x = 0得 g (0)=0 ,代入上式c = 0故 g(x-；1，x-1，f/(x) =x ex2(1 x)2(3)已知f (x)为非负连续函数，且x 0时,X3f(x)f(x-t)dt =x3，求 f(x)x提示：因为 0 f (x) f (x-t)dt =六、变上限积分的导数运算f (x) Jo f (u)du，令 g(x) = Jo f (u)du 处理b注意：如 F(x)二 xf(t)dt,x a,b，则 F(x) - - f(t)dt，则 F，(x)二-f (x)J(x)如F(x)f (t)dt，则由复合函数的求导法则有aF/(x) dF(u) dU = f(ur ：/(x f (x) dxdx(x)(3)如 F (x)二f (t)dt，可得成 F(x)=虹)f (t)dt +f(x)f(t)dt，则x63 / 40F，(x)二 f(x) (x)- f (x)/(x)x 2例 7( 1)已知 f (x)满足 xf (x) = 1 亠！ t f (t)dt，求 f (x)解：两边求导得 f (x) xf/(x) = x2 f (x)即ff(x)1(x )dxx(2)求一个不恒等于零的连续函数f (x)，使它满足f2(x)x sin t0f(t)dt2 cost解：两边求导得2f (x)(x)二 f (x)sin x2 cosx/sin x即f(x) (2flx)=02 + cosx因为f (x)是不恒等于零的连续函数，故f/(x)sin x4 2 cosx1 sin x1两边积分得 f (x) = dx - - 1 n(2 - cosx) - c2 2 +cosx 22xsin t在f1因为 f(1)=1，上式中令 x =1 得 2 f(u)du-f(1) =1223所以 f (x)dx 二-M41(2) 求可导数 f(x)，使它满足.f(tx)dt 二 f(x) xsinx(x)二 f (t)dt中令x=0,得f(0)=0代入上式有c 1n32 +cost211故 f (x)In(2 cosx) In 322(1)上题要充分利用已知条件确定初始条件f (0) = 0(2)定积分或变上限积分的被积函数有参变量时，必须通过换元，使被积函数不含参变 量，然后再求导例8( 1)已知f (x)连续,解：令 2x -t 二 u ,贝Ux0tf (2x-t)dt=1 arcta n x222f (1) = 1 求 J f (x)dx两边求导得：2xx2 x f(u)duXf(x)=1x4即xx2x2xtf(2x-t)dt(2x-u)f (u)du = 2x f(u)du- uf (u)du0 2x x x2x2x122x f(u)du - uf (u)du arctanx1解：令 tx =u，则 p f (tx)dtx0f W)du2 xx1x2因为 o f (tx)dt = f (x) xsinx ，所以 f (u)du = xf (x) + x sinx两边求导得 f/(x)=-2sinx-xcosx两边积分得 f (x) - -2 sin xdx - xcosxdx = cosx - xsinx c由方程dty *2x2 si nttdt = 1 ( x 0)确定y是x的函数，求32解：对x求导得ey,2sinx2=0，故虬dx2eydx(4) y =y(x)是由 xy x .2/e1 dt = 0确定的函数，求y /xd3解：对 x求导得 1 -ey Uy， 1) =0故 y/ 二 e(y -1y “X2e dt =0中令x =0时，有1注意：此题确定y的方法(5)设f (x)为已知可导奇函数,g (x)为f (x)的反函数，则 dxx(x)xg(t -x)dtx -f (x) 解：令t -x = u，贝UJx-f (x)xg(t -x)dt = x 0 g(u)du所以dx x -f (x)- .f (x)/xg(t x)dt = J。 g(u)du xf (x)，g f(x)x-f(x)/令 h(x)二 0 g(u)du，则 h (x)二-f (x) g-f (x)=xf/(x)两边积分得 h(x) = xf/(x)dx = xf (x) - f (x)dxdx-f(x)2 /故xg(t-x)dt = xf(x) x f (x)-f(x)dxdx vx d(6)设函数 f(x)可导，且 f(0)=0, g(x)tnf(xn-tn)dt，求lim弩x )0 x解：令 xn -tn =ux 11，则 g(x)=J0tn f (xn tn)dt =匚 f (u)duxn由于 g / (x xn4 f (xn)故 g(x) g/(x) 故!叫丁巳叫齐严1f(xn)=2 丁二丄 limf(xn) f(0)2n x Qnx -0f/(0)2n七、求分段函数的不定积分先分别求分段函数 f(x)的各分段在相应区间的原函数F(x)，然后考虑函数 F(x)在分段点处的连续性。如果f (x)在分段点x0处连续，则F (x)在x = X。处连续，X +1 X 兰 1例 9( 1) f(x) =，求f(x)dx2x x 1x2 解：当 x _1 时， f (x)dx = (x 1)dxx C122当 x 1 时， f(x)dx 二 2xdx = xC23 11因为 f (x)dx在x =1处连续，故1 c2ci，即c2c1c2222x一 + X +c X 兰1所以 f(x)dx 二 22 1Xc X 11 2(2) max(1,x2)dx1一 1兰x兰12 2解：maX 1, x ) = x x a 12 .XX T当 一1 _x 一1 时，max(1,x2)dx = dx = x y2 2 x3当 x 1 时，ma1,x)dx= x dxC23x3当 x -1 时，ma1,x )dx = x dxc33求满足F(1) =1的原函数1 2由于 1 = F =lim F (x)，即 1 = 1 & C2 得 0=0，q =i3312又由于 F (-1) = lim F (x)，即 TC3 得 C3 :xt33x c 一1 _ X_13x max(1,x2)dx = 33x-?cx 1x ： -1(3)xdx ( x_0)解：分别求出在区间n, n，1 ( n =0,1,2,3)上满足F(0)=0的原函数在n, n 1上，xdx = nx cn , F (n 1) - F(n) = n在n 1, x上，xdx = (n 1)x Cn 1 , F (x) - F (n 1) = (n 1)(x - n - 1)故xdx = 0T23 n (n 1)(x - n -1) c = (n 1)(x- -1) c2八、分段函数的变上限积分cosx例 10( 1)f (x)=!cJI0 二 x 二一2Ttx - 2x求(x o f (t)dt，并讨论(x)在0,二的连续性解：当Xx近时,xxit当 x乞二时,2(x) = f(t)dt 二 costdt =sinxX二兀(x) f (t)dt ：costdt 亠 I . cdt =12(x)在0, ),(，二上连续，在x 处，2 2 2lim (x) = lim 1 c(x ) =1， lim (x)二 lim sin x = 1 x?x2xjxj故(x)在x 处连续2(2)f (x)二解:cosx0 _ x _ 2x，求 tf (x -t)dt令 x -t =u ,则 0tf (x t)dt 二 X 0 f(u)du - 0xuf (u)du此时此时ji-x 时,2x0 f (u)du 二 o cosudu 二 sin xxuf (u)du 二 ucosudu 二 xsinx cosx-1xJf (x t)dt =1 - cosxji时，2x0f(u)dux0uf(u)dux3otf(x-t)dtu-x：-;二 72cosudu 亠 i , (u - /duJI2x xr二 02ucosudu 亠 i ,(u - -)uduji+ (+1)x -4848Tt1232x Xn n14482九、积分估值b估计积分.f (x)dx的值a方法：(1)令 y = f (x), x a,b(2) 求y/ = f / (x)，确定f / (x) = 0和f/ (x)不存在的点(3) 在a,b上确定y = f (x)的最值b(4) 利用 m(b-a) f(x)dx_M(b-a)估计积分值彳a2 2例11估计积分值 ex心dxs2解：设函数 y = f (x) =ex “，其中 x 0,2/ x2y =(2x-1)ex1令 y/ =0，得 x =21 丄2因为 f (0) = 1, f( )=e 4 , f =e2，故 e 4 辽 y 乞 e22丄 222所以2e 4 乞ex dx 1),求f (x)与x轴围成的面积。(9) 设y = ax2 bx - c过(0,0)，当0_x_1时，y_0 ,如果它与x轴、直线x =1所1围图形面积为-，求a,b,c使图形绕x轴旋转所成的体积最小。3注意：补充隐函数的积分33例：设函数y = f (x)是由y (x y) = x确定的隐函数，求 3 dx (换元法) y习题1、求值(1) f (x)dx =xex c，求 f (x)x(2) f (x2)dx = e2 c，求 f (x) ex f (ex)dx 1c,求 e2x f (ex)dx1 +e2 求值(1) f /(ex) = 1 x，求 f (x)(2) f (In x)二 x 1，求 f (x)/ 2 2(3) f (cos x) =sin x ,且 f (0) = 0，求 f (x)x f/(3x1) =xe2，且 f(1) =0,求 f (x)(5) 设 y = f(x