2018年辽宁省大连市普兰店区第二中学高三上学期竞赛（期中）考试数学（理）试题

2018届辽宁省大连市普兰店区第二中学高三上学期竞赛（期中）考试数学（理）试题高三数学（理）总分：150分 时间：120分钟 第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合）1.设为虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面中对应的点在（）A第一象限B第二象限 C第三象限 D第四象限2.设集合A=，B=，则AB等于 （）Ax|x1或x1Bx|1x1Cx|0x1Dx|x13.下列命题错误的是 （）A命题“若lgx=0，则x=0”的逆否命题为“若x0，则lgx0”B若pq为假命题，则p，q均为假命题C命题：x0R，使得sinx01，则“xR，均有sinx1D“x2”是“”的充分不必要条件4.若表示不超过的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输 出的值为（）A4B5C7D95.若，则（）A BC D6.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体的体积是（）A B C D.7.已知是内的一点，且，若，的面积分别为，则的最小值是 （ ）A9 B16 C18 D208.若函数，又，且的最小值为，则正数的值是 （）A B C D9.现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，问不同的分法有 （ ）A36种 B. 9种 C. 18种 D. 15种10.已知是双曲线的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的离心率为 ( )A B C2 D311.已知是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称，若对任意的，等式恒成立，则的取值范围是（）A 2，3 B1，2+ C2，2+ D1，312.已知定义在上的函数的导函数满足，且，其中为自然对数的底数，则不等式的解集是 （）A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共90分）二.填空题（每小题5分，共20分）13.设，则展开式的常数项为14.设的内角所对边的长分别为，若，则角= 15.过抛物线的焦点F作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M，N，过弦MN的中点P作抛物线准线的垂线PQ，垂足为Q，则的最大值为 16.给出定义：若，则叫做离实数最近的整数，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个结论：函数的定义域为，值域为；函数的图像关于直线对称； 函数是偶函数；函数在上是增函数。其中正确结论的序号是 。（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）已知等差数列an的首项，公差，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项（1）求数列的通项公式；（2）设，是否存在最大的整数，使得对任意的均有总成立？若存在，求出；若不存在，请说明理由18. （本小题满分12分）某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据如表所示：试销价格x（元）45679产品销量y（件）8483807568已知变量具有线性负相关关系，且，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其归直线方程分别为：甲；乙；丙，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的（1）试判断谁的计算结果正确？并求出的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数的分布列和数学期望19. （本小题满分12分）如图，边长为3的正方形所在平面与等腰直角三角形所在平面互相垂直，且.（）求证： ；（）求二面角的大小20. （本小题满分12分）已知椭圆,是椭圆的焦点,是椭圆上一点，且；（1）求的离心率并求出的方程；（2）为椭圆上任意一点，直线交椭圆于点，直线交椭圆于点，设直线的斜率为，直线的斜率为；（i）求证: ;（ii）求的取值范围21. （本小题满分12分）已知函数（）若，求曲线在点处的切线方程；（）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围请考生在22、23、题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为cossin+2=0，曲线C2的参数方程为（为参数），将曲线C2上的所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的倍，得到曲线C3（1）写出曲线C1的直角坐标方程和曲线C3的普通方程；（2）已知点P（0，2），曲线C1与曲线C3相交于A，B，求|PA|+|PB|23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f（x）=|2x+1|+|2x3|，（1）若关于x的不等式f（x）|13a|恒成立，求实数a的取值范围；（2）若关于t的一元二次方程有实根，求实数m的取值范围1-5DCBCD 6-10ACBBC 11-12AB13.-160 14. 15. 16.17.解：（1）由题意得（a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2，（2分）整理得2a1d=d2a1=1，解得（d=0舍），d=2（4分）an=2n1（nN*）（6分） （2），=假设存在整数总成立又，数列Sn是单调递增的 （12分）又tN*，适合条件的t的最大值为818.解：（1）已知变量x，y具有线性负相关关系，故甲不对，且xi=39，4+5+6+7+a+9=39，a=8，yi=480，b+84+83+80+75+68=480，b=90，=6.5，=80，将，代入两个回归方程，验证乙同学正确，故回归方程为：y=4x+106；（2）X456789y908483807568y928884807672“理想数据“的个数取值为：0，1，2，3；P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=“理想数据“的个数的分布列： X 01 2 3 P=数学期望E（X）=0+1+2+3=1.519.证明：（）过M作MFDC交CE于F，连接MF，BF因为MFDC，所以（2分）又，所以故，（4分）所以四边形NBFM为平行四边形，故MNBF，而BF平面BEC，MN平面BEC，所以MN平面BEC；（6分）解：（）以A为坐标原点，所在方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，直角坐标系，则E（3，0，0），N（0，1，0），M（1，0，2），C（0，3，3），=（2，0，2），=（1，3，1），=（2，0，2），=（3，1，0），设平面MEC的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得，设平面MNE的法向量为，则，即，取x1=1，得，所求二面角的大小为（12分）20.解：（1）解：椭圆C4的方程为： =4，即： =1不妨设c2=a2b2 则F2（2c，0）=0，于是2c=2， =，2b4=a2=b2+1，2b4b21=0，（2b2+1）（b21）=0， b2=1，a2=2椭圆Cn的方程为： +y2=ne2=，e=椭圆C1的方程为： +y2=1（2）（i）证明：椭圆C2的方程为： +y2=2 即： +=1椭圆C4的方程为： +y2=4 即： =1F1（2，0），F2（2，0），设P（x0，y0），P在椭圆C2上， =1，即y02=（4x02）k1k2=（ii）设直线PF1的方程为：y=k1（x+2）直线PF2的方程为：y=k2（x2），联立方程组： 消元整理得：（2k12+1）x2+8k1x+8k128=0设E（x1，y1），F（x2，y2），则x1，x2是方程的两个解，由韦达定理得：x1+x2=，x1x2=|EF|=同理：|MN|=|EF|MN|=32=32=16+18， 又|EF|MN|0 |EF|MN|（16，1821.解：（I）当p=2时，函数，f（1）=222ln1=0.，曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率为f（1）=2+22=2 从而曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y0=2（x1）即y=2x2 （II） 令h（x）=px22x+p，要使f（x）在定义域（0，+）内是增函数，只需h（x）0在（0，+）内恒成立 由题意p0，h（x）=px22x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，只需，即p1时，h（x）0，f（x）0f（x）在（0，+）内为增函数，正实数p的取值范围是1，+） （III）在1，e上是减函数，x=e时，g（x）min=2；x=1时，g（x）max=2e，即g（x）2，2e，当p0时，h（x）=px22x+p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在y轴的左侧，且h（0）0，所以f（x）在x1，e内是减函数当p=0时，h（x）=2x，因为x1，e，所以h（x）0，此时，f（x）在x1，e内是减函数当p0时，f（x）在1，e上单调递减f（x）max=f（1）=02，不合题意； 当0p1时，由，所以又由（2）知当p=1时，f（x）在1，e上是增函数，不合题意； 当p1时，由（2）知f（x）在1，e上是增函数，f（1）=02，又g（x）在1，e上是减函数，故只需f（x）maxg（x）min，x1，e，而，g（x）min=2，即，解得综上所述，实数p的取值范围是22解：（1）曲线C1的极坐标方程为cossin+2=0，可得普通方程为xy+2=0，由曲线C2的参数方程为（为参数），可得，即有C3的普通方程为x2+y2=9（2）C1的标准参数方程为（t为参数），与C3联立可得t2+2t5=0，令|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，由韦达定理，则有t1+t2=2，t1t2=5，则|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1t2|=2（10分）选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|2x+1|+|2x3|，（1）若关于x的不等式f（x）|13a|恒成立，求实数a的取值范围；（2）若关于t的一元二次方程有实根，求实数m的取值范围解：（1）因为f（x）=|2x+1|+|2x3|（2x+1）（2x3）|=4，所以|13a|4，即，所以实数a的取值范围为（2）=324（|2m+1|+|2m3|）0，即|2m+1|+|2m3|8，所以不等式等价于或或所以，或，或，所以实数m的取值范围是 （10分）10第页