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高考理科数学全国1卷（2019 卷理）已知抛物线 C: y2=3x的焦点为F,斜率为E的直线l与C的交点为A,2B,与x轴的交点为P.(1)若 | AF|+| BF|=4 ,求 l 的方程;uuu uuu(2)若 AP 3PB,求 |AB| .解：设直线l : yt, A Xi,yi ,B X2, y2 .3，,(1)由题设得 F -,0 ，故 | AF | |BF | Xi43X2 一 ,由题设可得X12, y - x t 一,122由 2 ，可得 9x 12(t 1)x 4t 0 ,则 X1 X22y 3x12(t 1)12(t 1)57从而一L,得t.92837所以l的方程为y -x -.28uuu uuu(2)由 AP 3PB 可得 y13y2., y X t 一,r 2由 2 ，可得y 2y 2t 0 . 2y 3x所以 y y2 2 .从而 3y2 y2 2 ,故 y21, y1 3.代入C的方程得x13x 13,X2 3花4:13故 | AB |3（2018 卷理）设椭圆2C XC :21的右焦点为F ,过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐标为（2,0）.(1)当l与x轴垂直时，求直线 AM的方程;(2)设O为坐标原点，证明： OMA OMB .解：(1)由已知得F(1,0) , l的方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为 2-2-所以AM的方程为y 注x J2或y x 42. 22(2)当l与x轴重合时，OMA OMB 0 .当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以 OMA OMB .yiy2x12x22当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y k(x 1)(k 0), A( x1, y1), B(x2, y2),则x1 J2,x2 J2,直线MA, MB的斜率之和为kMA kMB由 y1 kx1 k, y2 kx2 k 得kMB2kxi x2 3 k(x1 x2) 4k(xi 2)(x2 2)2将y k(x 1)代入土 y2 1得2(2k2 1)x2 4k2x 2k2 2 0.所以，x x24k22k2产刈2k2 22 k2 10.则 2kxix2 3k(x1 x2) 4k4 k3 4k 12k3 8k3 4k22 k2 1从而kMA kMB 0,故MA, MB的倾斜角互补，所以 OMAOMB .综上， OMA OMB .(2017 卷理)已知椭圆22xy一，C： t = 1 (ab0),四点 P1 (1,1), P2 (0,1), P3 ( -1,ab3.373), P4 (1, -y)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明：l过定点.解：(1)由于P3, P4两点关于y轴对称，故由题设知 C经过巳，P4两点.1113又由a2 b2 a2疗知，c不经过点P1,所以点P2在C上.1a2 4b21声1132因此a4b2 x 故c的方程为Z(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1, k2,4 t2如果l与x轴垂直，设l：x=t,由题设知t 0,且山2,可得a, B的坐标分别为(t,2),1t2(t,2).1t2 2t2 2k1 k2 1则2t2t，得t 2,不符合题设.2x 2.y 1从而可设i： y kx m (m 1).将y kx m代入4 得,2 八 22一(4 k 1)x 8kmx 4 m4 022由题设可知=16(4km 1) 0.28km4m 4、一一，2- 27设 A (x1, y1), B (x2, y2),则 x1+x2= 4k 1 , x1x2= 4k 1 .y11y21Xix2kx1m 1* m 1Xix22 kxix2 (m 1)(x14)X1X2由题设 kik21,故(2k 1)XiX2 (m 1)(x1 X2) 0(2 k即24m 41) L4k 1(m1)24k8 kmk解得当且仅当m 1时,所以l过定点(2,l:m 1(x 2)1)(2016 卷理)设圆x2y2 2x 15 0的圆心为A,直线1过点B (1,0)且与x轴不重合,1交圆A于C, D两点，过B作AC的平行线交 AD于点E.(I)证明|eA |EB|为定值，并写出点 E的轨迹方程;(II)设点E的轨迹为曲线 Ci,直线l交Ci于M,N两点，过B且与l垂直的直线与 圆A交于P,Q两点，求四边形 MPNQ面积的取值范围.22【答案】(D y- 1 (y 0)； (II) 12,873)43【解析】试题分析：(I)利用椭圆定义求方程；(II)把面积表示为关于斜率 k的函数，再求最 值。试题解析：(I)因为 |AD | | AC |, EBAC,故 EBD ACD ADC ,所以 |EB| |ED|,故 |EA| |EB| |EA| | ED | | AD|.又圆A的标准方程为(x 1)2 y2 16,从而|AD| 4,所以|EA| | EB| 4.由题设得A( 1,0), B(1,0), | AB| 2,由椭圆定义可得点 E的轨迹方程为：22上 L 1 (y 0).43(II)当 l 与 x轴不垂直时，设 l 的方程为 y k(x 1)(k 0), M (x1,y1), N(x2,y2).y k(x 1)由 x2 y2 得(4k2 3)x2 8k2x 4k2 12 0.43则 X1x28k24k x1x224k2 1224k2 3所以 |MN | ,1 k2 |x1X2 |-212(k1)4k2 31 , 八12.|PQ| 2.424k2 3k2 1.故四边形MPNQ的面积1|MN |PQ| 12. 1124k2 3可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为12,8/3).当l与x轴垂直时，其方程为 x1 , |MN | 3, |PQ| 8,四边形MPNQ的面积为过点B(1,0)且与l垂直的直线 m： y - (x 1), A到m的距离为-= k.k综上，四边形 MPNQ面积的取值范围为12,83).高考理科数学全国二卷(2019二卷理)已知点 A(-2,0), B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-1 .记M的轨迹为曲线C.2(1)求C的方程，并说明 C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交 C于P, Q两点，点P在第一象限，PE, x轴，垂足为E,连 结QE并延长交C于点G.(i)证明： PQG是直角三角形；(ii)求4PQG面积的最大值.122解：(1)由题设得一y y,化简得y i(i x 2),所以c为中心在坐标x 2 x 2242原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点.(2) (i)设直线PQ的斜率为k,则其方程为y kx(k 0).y kx由x2v2得x-X 1422,一记 u =一则 P(u,uk),Q( u, uk), E(u,0).,1 2k2于是直线QGk,y 2(xu),得k2(X2 y2-22(2 k )x2uk8 0 .u和Xg是方程的解,u(3k22曾，由此得Ng k2ukuk32 uk从而直线PG的斜率为-4u(3k2 2)2 k2u所以PQ PG ,即APQG是直角三角形.(ii)由(i)得 | PQ| 2u，1 k2|PG|2uk、. k2 12 k2,所以 PQG的面积1,S| PCQII PG|28k(1 k2)22(1 2k2)(2k2)18(- k)k121 2(- k)2k设1=卜+1，则由k0得t或，当且仅当 kk=1时取等因为S8t2在2 , +)单倜递减,1 2t所以当t=2,即k=1时，S取得最大值,最大值为代9因此， PQG面积的最大值为16(2018二卷理)设抛物线 c： y2 4x的焦点为F ,过F且斜率为k(k 0)的直线l与C交于A, B两点，|AB| 8.(1)求l的方程；(2)求过点A, B且与C的准线相切的圆的方程.解：(1)由题意得F(1,0) , l的方程为y k(x 1)(k 0).设 A(x1, y1)，B(x2, y2),0.由 y k(x 得 k2x2 (2k2 4)x k2 y2 4x216k16 0,故 x1 x22k2 4k2所以 | AB| | AF | | BF | (x11) (x2 1)4k2 4k2由题设知4k2 4k28,解得k1 (舍去)，k 1.因此l的方程为y x 1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y 2 (x 3),即 y x 5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则V。 x 5,(Xo 1)2(V。x0 1)2解得16.Vo3,或 x。11, 2Vo6.因此所求圆的方程为(x 3)2 (y 2)2一，2_ 216或(x 11) (y 6)(2017二卷理)设 O为坐标原点，动点2X 9M在椭圆C: 一 y2 1上,2144 .M做x轴的垂线,uuu-LLUlir垂足为N,点P满足NP V2NM .(1)求点P的轨迹方程;uur uuur(2)设点Q在直线x=-3上，且OP PQ 1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解:uuurxxo, y , NM 0, y0uuur(1)设 P (x,y) ,M (xo,yo),设 N (xo,0) , NPuuur_uuLur由 NP72NM 得 x0=x, y02因为M (xo,yo)在C上，所以x2-2 y_ 工因此点P的轨迹方程为x2y22(2)由题意知F (-1,0)设 Q (-3, t) ,P(m,n),则uuuruuuOQ3,t , PFuuir uur m, n ,OQgPF3 3mtn ，uuuuurOP m, n , PQ 3 m,t nuur uur 由 OPgPQ1 得-3 mm2tnn21 ,又由(1)知 m2+n2=2,故3+3m-tn=0uuu uur 所以OQgPFuuu0 ,即 OQuuuPF又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.x2 y2(2016二卷理)已知椭圆 E 匚 1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为 k(k0) t 3的直线交E于A,M两点，点 N在E上，MA NA.(I)当t=4, AM AN时，求 AMN的面积；(II)当2 AM AN时，求k的取值范围22x V解析：(I)设M X,y1 ，则由题意知 V1 0,当t 4时，E的方程为 一 工 1, 43A 2,0 .由已知及椭圆的对称性知，直线 AM的倾斜角为 一.因此直线AM的方程为y x 2.42y 2代入42 y_31 得 7y2 一 ,12 一12y 0.解得y 0或y ,所以y112因此AMN的面积12712714449(IIZ,0 .线 AM程 y k(x2y1得 3tk22 Jttk2xt2k23t由x1工得X13 tkJ 3 tk23 tk2，故AMXit 1 k26小2 k23 tk2由题设，直线AN的方程为6k t 1 k2AN3k2 t由2 AM因此t2AN得3 tk3 2时上式不成立,3k 2k 1k3 2k3 20.由此得因此k的取值范围是高考数学理科全国三卷k3k2 t3等价于k 2k3 23 2,2 .，即 k3 2 t3k 2k 1 .k3 3k22k 2 k2 1k3 20,kk30l，解得过k 2.0(2019三卷理)21.已知曲线C : yD为直线y1一上的动点.过D作C的两条切线， 2切点分别是A, B,(1)证明：直线AB过定点；一，5(2)若以E(0,一)为圆心的圆与直线2AB相切,且切点为线段 AB的中点，求四边形ADBE的面积.答案： 见解析; 解答：1 一 、一 ， 一1一(1)当点D在(0,)时，设过D的直线方程为y %x ,与曲线C联立化简得2222x 2k0X 1 0 ,由于直线与曲线相切，则有4k04 0 ,解得心 1,111并求得A,B坐标分别为(1,),(1,),所以直线AB的万程为y ； 222当点D横坐标不为0时，设直线 AB的方程为y kx m (k 0),由已知可得直线y kx mAB不过坐标原点即m0,联立直线 AB方程与曲线C的方程可得,消y并化简得x2 2kx 2m 0, ,有两个交点，4k2 8m 0 ,设A(x1, y1), B(x2, y2),根据韦达定理有,x1 x2 2k , x1x22m,2由已知可得曲线 C为抛物线等价于函数 f (x) 士的图像,2则有f (x) x,则抛物线在 A(x1, y1)上的切线方程为y y1 x1(x x1),同理，抛物线在 B(x2, y2)上的切线方程为y y2 x?(x x?)，联立，并消去x可得上当x1j x2x2x1，由已知可得两条切线的交点在直线y1-一上，则有21 x 2 x122x122x2x2x1，化简得,Lxx 1)(x2 x1)2xx2x2 x1 , . k 0, xx2,即x1x2 11,即为 2m 1 1 ,解得m 1,经检验m 工满足条件,24x24m2211所以直线AB的方程为y kx 1过定点(0,1), 22八，一，八，、，1综上所述，直线 AB过定点(0,1)得证.(2)由(1)得直线AB的方程为11当k 0时，即直线 AB万程为y -,此时点D的坐标为(0,-), 225 1以E(0,)为圆心的圆与直线 AB相切于F(0,)恰为AB中点，22，111此时 Sadbe-ABED-2 3 3 ；22当k 0时，直线AB方程与曲线方程联立化简得 x2 2kx 1 0 ,2,X1 X2 2k,取21 , y y2 2k 1 ,2 1则AB中点坐标为H(k,k2 ), 2 215k 由已知可得EH AB ,即k kEH k 221,k 0解得，k 1, 1由对称性不妨取 k 1 ,则直线方程为 y x 1,2，一，一一 1求得D的坐标为(1, ), AB 4 ,2E到直线AB距离d1丘,D到直线AB距离d2则SaDBE1一 AB d121-AB d222L 1交于A, B两点，线段AB3综上所述，四边形 ADBE的面积为3或4J2.2(2018三卷理)已知斜率为k的直线l与椭圆C：4、r1(1)证明：k 一 ；2(2)设F为C的右焦点,uuuP为C上一点，且FPuuu uuuFA FB0 .证明:uuu FAuluFPuuu FB成等差数列，并求该数列的公差.2222解：(1)设 A(xy)B(x2,y2),则y-1,且旦1 .4343两式相减，并由江一y2 k得xx2“ x?小 y2 k 043由题设知 x-x2 1,y一y2 m,于是 22由题设得03 一4mk1-2k故3 - 2m(2)由题意得 F(1,0),设 P(x3,y3),则d 1羊) (xi 1,yi)他 19)(0,0).由(1)及题设得 x3 3 (x1 x2) 1,y3(y1y2)2m 0.又点P在C上，所以m33 uuu 34,从而 P(1, 3), |FP| 3于是|FA| 而 1)2 v;J(K 1)2 3(1 )2 ；42uuu同理|FB|uuu uuu 1所以 |FA| |FB| 4 -(x1 x2)3.uuu uuu故 2|FP | | FA |uur|FB|,即|uuu uuu uuuFA|,|FP|,|FB|成等差数列设该数列的公差为d,则uun uuu 11 2-2|d| |FB| |FA| 2|x1 x2| 2 (x x?)2 4乂也.,3将m 代入得k 1.4721所以l的万程为y x ，代入C的方程，并整理得7x 14x 0.443.2128故 x1 x2 2,x1x21一，代入解得| d|28所以该数列的公差为点或3J12828(2017三卷理)已知抛物线 C: y2=2x,过点(2,0)的直线l交C与A,B两点，圆M是 以线段AB为直径的圆.(1)证明：坐标原点 O在圆M上；(2)设圆M过点P (4, -2),求直线l与圆M的方程.解：(1)设 A x1,y1 ,B x2,y2 ,l : x my 2x my 22由可得 y 2my 4 0,则 y1y24y2 2x222又 x1 =2,x2 =巨，故x1x2 = *12 =42,2,4因此OA的斜率与OB的斜率之积为 出声=-4=-1Xi x24所以OA, OB故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得 y1+y2=2m,x1+x2=m y1+y2 +4=2m2 4故圆心M的坐标为 m2+2, m ,圆M的半径r J m2 2m2uur uuu由于圆 M 过点 P (4,-2),因此 APgBP 0,故 x1 4 % 4y12y2 2 0即 x1 x2 4 x1 +x2y1 y2 2 y1 y2 20 0由(1)可得 y1y2=-4, XiX2=4,所以2m2 m 1当m=1时，直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为闻,圆M的方程为x 3 210-1当m 2时，直线l的方程为2x一 9 10 ,圆心M的坐标为 一，4 2圆M的半径为.859,圆M的方程为 x - +4421y+一2 28516(2016三卷理)已知抛物线 C : y22x的焦点为F ,平行于x轴的两条直线ll2分别交C于A, B两点，交C的准线于P, Q两点.(I)若F在线段AB上,R是PQ的中点，证明ARP FQ ；(II )若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程，L 1由题设F(1,0).设lya, I2: y b ,则 ab 0,22ab11A(,0), B(,b),P(,a),Q(,b),R(2222/).记过A,B两点的直线为I ,则I的方程为2x(ab)yab 0.(I)由于F在线段AB上，故1 ab 0.记AR的斜率为k1 , FQ的斜率为k2,则k1b2 aa ba2 abab所以AR P FQ .(n)设l与x轴的交点为D(x1,0),1则 Sabf-ba FD2-|b a| x12PQF， r 1由题设可得-b a x12，所以 02(舍去)，X1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).2 y当AB与x轴不垂直时，由kAB kDE可得 （x 1）.a b x 1一 a bo而 2 y，所以 y x i（x i）.当AB与x轴垂直时，E与D重合，所以，所求轨迹方程为y2 x 1.12 分
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