中考数学 第五单元 函数及其图象 第17课时 二次函数的图象和性质复习课件

第第17课时课时 二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质12015兰州兰州下列函数解析式中，一定为二次函数的是下列函数解析式中，一定为二次函数的是( ) 2在下列二次函数中，其图象对称轴为在下列二次函数中，其图象对称轴为x2的是的是 ( )Ay(x2)2 By2x22Cy2x22 Dy2(x2)2小题热身小题热身CA3对于二次函数对于二次函数y2(x1)(x3)，下列说法正确的是，下列说法正确的是( )A图象的开口向下图象的开口向下B当当x1时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小C当当x1时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小D图象的对称轴是直线图象的对称轴是直线x14在平面直角坐标系中，将抛物线在平面直角坐标系中，将抛物线yx24先向右平移先向右平移2个单个单位，再向上平移位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式为个单位，得到的抛物线的解析式为( )Ay(x2)22 By(x2)22Cy(x2)22 Dy(x2)22CBAy1y2y3 By1y3y2Cy2y1y3 Dy3y1y2B一、必知一、必知5 知识点知识点1二次函数的概念二次函数的概念定义：一般地，形如定义：一般地，形如_(a，b，c是常数，是常数，a0)的函数叫二次函数的函数叫二次函数考点管理考点管理【智慧锦囊智慧锦囊】二次函数二次函数yax2bxc的结构特征是：的结构特征是：等号左边是函等号左边是函数数，右边是关于自变量右边是关于自变量x的二次整式的二次整式，x的最高次数是的最高次数是2；二次项系数二次项系数a0.yax2bxc用描点法画二次函数用描点法画二次函数yax2bxc的步骤：的步骤：(1)用配方法化成用配方法化成_的形式；的形式；(2)确定图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；确定图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；(3)在对称轴两侧利用对称性描点画图在对称轴两侧利用对称性描点画图ya(xm)2k(a0)【智慧锦囊智慧锦囊】(1)|a|的大小决定抛物线的开口大小的大小决定抛物线的开口大小|a|越大，抛物线的开口越越大，抛物线的开口越小，小，|a|越小，抛物线的开口越大；越小，抛物线的开口越大；(2)画抛物线画抛物线yax2bxc的草图，要确定五点：的草图，要确定五点：开口方开口方向；向；对称轴；对称轴；顶点；顶点；与与y轴交点；与轴交点；与x轴交点轴交点3二次函数的性质二次函数的性质4二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程二次函数二次函数yax2bxc与一元二次方程与一元二次方程ax2bxc0有着有着密切的关系，二次函数的图象与密切的关系，二次函数的图象与x轴的交点的横坐标对应一轴的交点的横坐标对应一元二次方程的实数根，抛物线与元二次方程的实数根，抛物线与x轴的交点情况可由对应的轴的交点情况可由对应的一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式b24ac的符号判定的符号判定(1)有两个交点有两个交点_(2)有一个交点有一个交点_(3)没有交点没有交点_b24ac0方程有两个不相等实数根方程有两个不相等实数根b24ac0方程有两个相等实数根方程有两个相等实数根b24ac0开口向上开口向上a0(b与与a同号同号)对称轴在对称轴在y轴左侧轴左侧ab0与与y轴正半轴相交轴正半轴相交c0与与x轴有两个不同交点轴有两个不同交点b24ac0，即，即x1时，时，y0.若若abc0，即，即x1时，时，y0.三、必明三、必明3 易错点易错点1注意二次函数注意二次函数ya(xm)2k的图形平移，一般按照的图形平移，一般按照“横坐横坐标加减左右移标加减左右移”、“纵坐标加减上下移纵坐标加减上下移”即即“左加右减，上加左加右减，上加下减下减”，容易出现移动方向弄反，容易出现移动方向弄反2求二次函数与求二次函数与x轴交点坐标的方法是令轴交点坐标的方法是令y0解关于解关于x的方程；的方程；求函数与求函数与y轴交点的方法是令轴交点的方法是令x0得得y值，容易出现求与值，容易出现求与x轴轴交点坐标时，令交点坐标时，令x0，求与，求与y轴交点坐标时，令轴交点坐标时，令y0的错的错误误3根据根据a，b，c确定函数的大致图象易错点：确定函数的大致图象易错点：(1)c的大小决定抛物线与的大小决定抛物线与y轴的交点位置，轴的交点位置，c0时，抛物线时，抛物线过原点，过原点，c0时，抛物线与时，抛物线与y轴交于正半轴，轴交于正半轴，c0时，对称轴在时，对称轴在y轴左侧，当轴左侧，当ab2时，时，y随随x的增大而的增大而增大；增大；12015乐山乐山二次函数二次函数yx22x4的最大值为的最大值为( ) A3 B4C5 D6【解析解析】y(x1)25，a10，当当x1时，时，y有最大值，最大值为有最大值，最大值为5.CC32015绍兴绍兴如果抛物线如果抛物线yax2bxc过定点过定点M(1，1)，则，则称此抛物线为定点抛物线称此抛物线为定点抛物线(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式小敏写出了一个答案点抛物线的一个解析式小敏写出了一个答案y2x23x4，请你写出一个不同于小敏的答案；，请你写出一个不同于小敏的答案；(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线物线yx22bxc1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答时的解析式，请你解答解解：(1)依题意，选择点依题意，选择点(1，1)作为抛物线的顶点，二次项系数作为抛物线的顶点，二次项系数是是1，根据顶点式得根据顶点式得yx22x2；(2)定点抛物线的顶点坐标为定点抛物线的顶点坐标为(b，cb21)，且，且12bc11，c12b，顶点纵坐标顶点纵坐标cb2122bb2(b1)21，当当b1时，时，cb21最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此时时c1，抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx22x.【点悟点悟】(1)从函数图象上可知二次函数图象的以下特征：从函数图象上可知二次函数图象的以下特征：开口方向；开口方向；对称轴；对称轴；顶点坐标；顶点坐标；与与y轴交点坐标；轴交点坐标；与与x轴交点坐标轴交点坐标(2)求二次函数的顶点坐标有两种方法：求二次函数的顶点坐标有两种方法：配方法；配方法；顶点公式法顶点公式法类型之二二次函数的平移类型之二二次函数的平移2015成都成都将抛物线将抛物线yx2向左平移向左平移2个单位长度，再向个单位长度，再向下平移下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为( )Ay(x2)23 By(x2)23Cy(x2)23 Dy(x2)23【解析解析】抛物线抛物线yx2平移后的抛物线解析式为平移后的抛物线解析式为y(x2)23.A12014丽水丽水在同一平面直角坐标系内，将函数在同一平面直角坐标系内，将函数y2x24x3的图象向右平移的图象向右平移2个单位，再向下平移个单位，再向下平移1个单位，得到图个单位，得到图象的顶点坐标是象的顶点坐标是( )A(3，6) B(1，4)C(1，6) D(3，4)【解析解析】函数函数y2x24x3的图象向右平移的图象向右平移2个单位，再个单位，再向下平移向下平移1个单位得到图象个单位得到图象y2(x2)24(x2)31，即，即y2(x1)26，顶点坐标是，顶点坐标是(1，6)C2抛物线抛物线yx2bxc图象向右平移图象向右平移2个单位再向下平移个单位再向下平移3个单个单位，所得图象的解析式为位，所得图象的解析式为yx22x3，则，则b，c的值为的值为( )Ab2，c2 Bb2，c0Cb2，c1 Db3，c2【解析解析】先配方为先配方为y(x1)24，逆向思考把，逆向思考把y(x1)24先左移先左移2个单位，再向上移个单位，再向上移3个单位得到解析式为个单位得到解析式为y(x12)243(x1)21，化为一般式是，化为一般式是yx22x，故选，故选择择B.B【点悟点悟】(1)二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后求出平移后的顶点坐标，从而求出平移后二次坐标，然后求出平移后的顶点坐标，从而求出平移后二次函数的解析式函数的解析式(2)图象的平移规律：上加下减，左加右图象的平移规律：上加下减，左加右减减类型之三二次函数的解析式的求法类型之三二次函数的解析式的求法2014宁波宁波如图如图171，已知二次函数，已知二次函数yax2bxc的的图象过图象过A(2，0)，B(0，1)和和C(4，5)三点三点(1)求二次函数的解析式；求二次函数的解析式；(2)设二次函数的图象与设二次函数的图象与x轴的另一个交点为轴的另一个交点为D，求点，求点D的坐的坐标；标；(3)在同一坐标系中画出直线在同一坐标系中画出直线yx1，并写出当，并写出当x在什么范在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值围内时，一次函数的值大于二次函数的值图图1712015遵义遵义如图如图172，抛物线，抛物线yax2bxc(a0)与与x轴交轴交于于A(4，0)，B(2，0)，与，与y轴交于点轴交于点C(0，2)(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；(2)若点若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当上方，当以以A，C，D为顶点的三角形面积最大时，求点为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此的坐标及此时三角形的面积时三角形的面积图图172变式跟进答图变式跟进答图【点悟点悟】(1)当已知抛物线上三点求二次函数的解析式时，一当已知抛物线上三点求二次函数的解析式时，一般采用一般式般采用一般式yax2bxc(a0)；(2)当已知抛物线顶点坐标当已知抛物线顶点坐标(或对称轴或最大、最小值或对称轴或最大、最小值)求解析式求解析式时，一般采用顶点式时，一般采用顶点式ya(xm)2k；(3)当已知抛物线与当已知抛物线与x轴轴的交点坐标求二次函数的解析式时，一般采用两根式的交点坐标求二次函数的解析式时，一般采用两根式ya(xx1)(xx2)类型之四二次函数与方程的关系类型之四二次函数与方程的关系2015宁波宁波已知抛物线已知抛物线y(xm)2(xm)，其中，其中m是是常数常数(1)求证：不论求证：不论m为何值，该抛物线与为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；轴一定有两个公共点；12015苏州苏州若二次函数若二次函数yx2bx的图象的对称轴是经过点的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于且平行于y轴的直线，则关于轴的直线，则关于x的方程的方程x2bx5的解的解为为( )Ax10，x24 Bx11，x25Cx11，x25 Dx11，x25DD32015泸州泸州若二次函数若二次函数yax2bxc(a0)的图象经过点的图象经过点(2，0)，且其对称轴为，且其对称轴为x1，则使函数值，则使函数值y0成立的成立的x的取值的取值范围是范围是 ( )Ax4或或x2 B4x2Cx4或或x2 D4x2【解析解析】二次函数二次函数yax2bxc(a0)的图象经过点的图象经过点(2，0)，且其对称轴为，且其对称轴为x1，二次函数的图象与二次函数的图象与x轴另一个交点为轴另一个交点为(4，0)，a0，抛物线开口向下，抛物线开口向下，则使函数值则使函数值y0成立的成立的x的取值范围是的取值范围是4x2.D类型之五二次函数的图象特征与类型之五二次函数的图象特征与a，b，c之间的关系之间的关系2015遂宁遂宁二次函数二次函数yax2bxc(a0)的图象如图的图象如图173所示，下列结论：所示，下列结论：2ab0，abc0，b24ac0，abc0，4a2bc0，其中正确的个数是其中正确的个数是 ( )A2 B3C4 D5图图173B对于对于，易得，易得a0，对称轴在，对称轴在y轴的右边，故轴的右边，故b0，抛物线与，抛物线与y轴的交点在原点的下方，则轴的交点在原点的下方，则c0，所以，所以abc0，故，故错误；错误；对于对于，抛物线与，抛物线与x轴有两个交点，所以轴有两个交点，所以b24ac0，故，故正正确；确；对于对于，当，当x1时，显然时，显然y的值为正，所以的值为正，所以yabc0，故故错误；错误；对于对于，当，当x2时，显然时，显然y的值为负，的值为负，所以所以y4a2bc0，故，故正确正确12015凉山凉山二次函数二次函数yax2bxc(a0)的图象如图的图象如图174所示，下列说法：所示，下列说法：2ab0；当当1x3时，时，y0；若若(x1，y1)，(x2，y2)在函数图象上，当在函数图象上，当x1x2时，时，y1y2；9a3bc0.其中正确的是其中正确的是( )A BC D图图174B22015珠海珠海已知抛物线已知抛物线yax2bx3的对称轴是直线的对称轴是直线x1.(1)求证：求证：2ab0；(2)若关于若关于x的方程的方程ax2bx80的一个根为的一个根为4，求方程的另，求方程的另一个根一个根【点悟点悟】二次函数的图象特征主要从开口方向，与二次函数的图象特征主要从开口方向，与x轴有轴有无交点，与无交点，与y轴交点及对称轴的位置入手，确定轴交点及对称轴的位置入手，确定a，b，c及及b24ac的符号，有时也可把的符号，有时也可把x的值代入求值或根据图象确定的值代入求值或根据图象确定y的符号的符号类型之六二次函数的综合运用类型之六二次函数的综合运用2015武威武威如图如图175，在直角坐标系中，抛物线经过，在直角坐标系中，抛物线经过点点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其对称轴与，其对称轴与x轴相交于点轴相交于点M.(1)求抛物线的解析式和对称轴；求抛物线的解析式和对称轴；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使使PAB的周长最小？若存在，请求出的周长最小？若存在，请求出点点P的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；【解析解析】(1)利用两根式法设抛物线的利用两根式法设抛物线的解析式为解析式为ya(x1)(x5)，代入，代入A(0，4)；图图175(2)点点A关于对称轴的对称点关于对称轴的对称点A的坐标为的坐标为(6，4)，连结，连结BA交对称交对称轴于点轴于点P，连结，连结AP，此时，此时PAB的周长最小，可求出直线的周长最小，可求出直线BA的解析式，即可得出点的解析式，即可得出点P的坐标的坐标(2)P点存在理由如下：点存在理由如下：点点A(0，4)，抛物线的对称轴是，抛物线的对称轴是x3，点点A关于对称轴的对称点关于对称轴的对称点A的坐标为的坐标为(6，4)，例例6答图答图如答图，连结如答图，连结BA交对称轴于点交对称轴于点P，连结，连结AP，此时，此时PAB的周的周长最小长最小如图如图176，二次函数，二次函数yx22xm的图象与的图象与x轴的一个轴的一个交点为交点为A(3，0)，另一个交点为，另一个交点为B，且与，且与y轴交于点轴交于点C.(1)求求m的值；的值；(2)求点求点B的坐标；的坐标；(3)该二次函数图象上有一点该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中其中x0，y0)，使，使SABDSABC，求点求点D的坐标的坐标图图176【解析解析】(1)将将A(3，0)的坐标代入二次函数解析式的坐标代入二次函数解析式yx22xm；(2)令令y0，解一元二次方程；，解一元二次方程；(3)由于由于SABDSABC，则，则C，D关于二次函数对称轴对称关于二次函数对称轴对称解解：(1)将将A(3，0)的坐标代入二次函数解析式，的坐标代入二次函数解析式，得得3223m0，解得，解得m3；(2)二次函数解析式为二次函数解析式为yx22x3，令令y0，得得x22x30，解得，解得x3或或x1，点点B的坐标为的坐标为(1，0)；(3)SABDSABC，点，点D在第一象限，在第一象限，点点C的纵坐标与点的纵坐标与点D的纵坐标相等，的纵坐标相等，点点C，D关于二次函数对称轴对称关于二次函数对称轴对称由二次函数解析式可得其对称轴为由二次函数解析式可得其对称轴为x1，点点C的坐标为的坐标为(0，3)，点点D的坐标为的坐标为(2，3)二次函数图象平移方向弄反二次函数图象平移方向弄反(临沂中考临沂中考)要将抛物线要将抛物线yx22x3平移后得到抛物线平移后得到抛物线yx2，下列平移方法正确的是下列平移方法正确的是()A向左平移向左平移1个单位，再向上平移个单位，再向上平移2个单位个单位B向左平移向左平移1个单位，再向下平移个单位，再向下平移2个单位个单位C向右平移向右平移1个单位，再向上平移个单位，再向上平移2个单位个单位D向右平移向右平移1个单位，再向下平移个单位，再向下平移2个单位个单位【错解错解】错成错成A或或B或者或者C【错因错因】yx22x3(x1)22，又，又yx2(x11)222，要得到抛物线，要得到抛物线yx2则平移的方法可以是：将抛物则平移的方法可以是：将抛物线线yx22x3向右平移向右平移1个单位，再向下平移个单位，再向下平移3个单位错个单位错解中把左右，上下平移方向弄反了解中把左右，上下平移方向弄反了【正解正解】D