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新编人教版精品教学资料第四章 圆与方程学案 新人教A版必修241圆的方程41.1圆的标准方程圆的标准方程提出问题“南昌之星”摩天轮是目前世界上第二高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米，比位于英国泰晤士河边的135米高的“伦敦之眼”摩天轮还要高问题1：游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？提示：一样圆上的点到圆心距离都是相等的，都是圆的半径问题2：若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点(x，y)的坐标满足什么关系？提示： .问题3：以(1,2)为圆心，3为半径的圆上任一点的坐标(x，y)满足什么关系？提示： 3.导入新知圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图所示(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.当ab0时，方程为x2y2r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆化解疑难1由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点2几种特殊位置的圆的标准方程：条件圆的标准方程过原点(xa)2(yb)2a2b2(a2b20)圆心在x轴上(xa)2y2r2(r0)圆心在y轴上x2(yb)2r2(r0)圆心在x轴上且过原点(xa)2y2a2(a0)圆心在y轴上且过原点x2(yb)2b2(b0)与x轴相切(xa)2(yb)2b2(b0)与y轴相切(xa)2(yb)2a2(a0)点与圆的位置关系提出问题爱好运动的小华，小强，小兵三人相邀搞一场掷飞镖比赛，他们把靶子钉在土墙上，规定谁的飞镖离靶心O越近，谁获胜，如图A，B，C分别是他们掷一轮飞镖的落点看图回答下列问题：问题1：点与圆的位置关系有几种？提示：三种点在圆外、圆上、圆内问题2：如何判断他们的胜负？提示：利用点与圆心的距离导入新知点与圆的位置关系圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则位置关系判断方法几何法代数法点在圆上MAr点M在圆A上点M(x0，y0)在圆上(x0a)2(y0b)2r2点在圆内MAr点M在圆A外点M(x0，y0)在圆外(x0a)2(y0b)2r2化解疑难1点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外2判断点与圆的位置关系常用几何法和代数法求圆的标准方程例1过点A(1，1)，B(1,1)且圆心在直线xy20上的圆的方程是()A(x3)2(y1)24B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24D(x1)2(y1)24解析法一：设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由已知条件知解此方程组，得故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.法二：设点C为圆心，点C在直线xy20上，可设点C的坐标为(a,2a)又该圆经过A，B两点，|CA|CB|.，解得a1.圆心坐标为C(1,1)，半径长r|CA|2.故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k1，所以AB的垂直平分线的方程为y01(x0)，即yx.则圆心是直线yx与xy20的交点，由得即圆心为(1,1)，圆的半径为2，故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.答案C类题通法确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如解法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如解法二、三一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷活学活用1求下列圆的标准方程：(1)圆心是(4，1)，且过点(5,2)；(2)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，4)；(3)求过两点C(1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆的标准方程解：(1)圆的半径长r ，故圆的标准方程为(x4)2(y1)210.(2)设圆心为C(0，b)，则(30)2(4b)252，解得b0或b8，则圆心为(0,0)或(0，8)又半径r5，圆的标准方程为x2y225或x2(y8)225.(3)直线CD的斜率kCD1，线段CD中点E的坐标为(0,2)，故线段CD的垂直平分线的方程为y2x，即yx2，令y0，得x2，即圆心为(2,0)由两点间的距离公式，得r .所以所求圆的标准方程为(x2)2y210.点与圆的位置关系例2如图，已知两点P1(4,9)和P2(6,3)(1)求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外解(1)设圆心C(a，b)，半径长为r，则由C为P1P2的中点，得a5，b6.又由两点间的距离公式得r|CP1| ，故所求圆的方程为(x5)2(y6)210.(2)由(1)知，圆心C(5,6)，则分别计算点到圆心的距离：|CM| ；|CN| ；|CQ| 3.因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内类题通法1判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断2灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围活学活用2点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则a的取值范围是()A1a1B0a1Ca1或a1 Da1解析：选A由于点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，所以(1a)2(1a)24，a21，所以1a1.典例已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程解法一：如图所示，由题设|AC|r5，|AB|8，|AO|4.在RtAOC中，|OC| 3.设点C坐标为(a,0)，则|OC|a|3，a3.所求圆的方程为(x3)2y225，或(x3)2y225.法二：由题意设所求圆的方程为(xa)2y225.圆截y轴线段长为8，圆过点A(0,4)代入方程得a21625，a3.所求圆的方程为(x3)2y225，或(x3)2y225.易错防范1若解题分析只画一种图形，而忽略两种情况，考虑问题不全面，漏掉圆心在x轴负半轴的情况而导致出错2借助图形解决数学问题，只能是定性分析，而不能定量研究，要定量研究问题，就要考虑到几何图形的各种情况成功破障圆心在直线2xy70上的圆C与y轴交于两点A(0，4)，B(0，2)，则圆C的标准方程为_解析：结合题意可知，圆心在直线y3上，又圆心在直线2xy70上，故圆心坐标是(2，3)，从而r2(20)2(32)25，圆的标准方程是(x2)2(y3)25.答案：(x2)2(y3)25随堂即时演练1圆(x1)2(y)21的圆心坐标是()A(1，)B(1，)C(1，) D(1，)答案：C2点P(m,5)与圆x2y224的位置关系是()A在圆外 B在圆内C在圆上 D不确定解析：选Am22524，点P在圆外3若点P(1，)在圆x2y2m2上，则实数m_.解析：P点在圆x2y2m2上，(1)2()24m2，m2.答案：24经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是_解析：圆心是(2,0)，半径是2，所以圆的方程是(x2)2y24.答案：(x2)2y245求以A(2,2)，B(5,3)，C(3，1)为顶点的三角形的外接圆的方程解：设所求圆的方程是(xa)2(yb)2r2.将点A(2,2)，B(5,3)，C(3，1)代入上式得解此方程组，得所以，ABC的外接圆方程是(x4)2(y1)25.课时达标检测一、选择题1已知点P(3,2)和圆的方程(x2)2(y3)24，则它们的位置关系为()A在圆心 B在圆上C在圆内 D在圆外解析：选C(32)2(23)224，点P在圆内2圆(x1)2(y2)24的圆心、半径是()A(1，2)，4 B(1，2)，2C(1,2)，4 D(1,2)，2答案：D3圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()Ax2(y2)21 Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)21解析：选A法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知1，解得b2，故圆的方程为x2(y2)21.法二(数形结合法)：根据点(1,2)到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x2(y2)21.法三(验证法)：将点(1,2)代入四个选择项，排除B、D，又由于圆心在y轴上，排除C，选A.4(2012福建六校联考)以两点A(3，1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是()A(x1)2(y2)210B(x1)2(y2)2100C(x1)2(y2)25D(x1)2(y2)225解析：选D圆心坐标为(1,2)，半径r5，故所求圆的方程为(x1)2(y2)225.5当a为任意实数时，直线(a1)xya10恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为()A(x1)2(y2)25 B(x1)2(y2)25C(x1)2(y2)25 D(x1)2(y2)25解析：选C直线方程变为(x1)axy10.由得，C(1,2)，所求圆的方程为(x1)2(y2)25.二、填空题6圆心为直线xy20与直线2xy80的交点，且过原点的圆的标准方程是_解析：由可得x2，y4，即圆心为(2,4)，从而r2，故圆的标准方程为(x2)2(y4)220.答案：(x2)2(y4)2207(2012嘉兴高一检测)点(51，)在圆(x1)2y226的内部，则a的取值范围是_解析：由于点在圆的内部，所以(511)2()226，即26a26，又a0，解得0a1.答案：0a18若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x2y0相切，则圆C的方程是_解析：如图所示，设圆心C(a,0)，则圆心C到直线x2y0的距离为，解得a5，a5(舍去)，圆心是(5,0)故圆的方程是(x5)2y25.答案：(x5)2y25三、解答题9求经过A(1,4)，B(3,2)两点且圆心在y轴上的圆的方程解：法一：设圆心坐标为(a，b)圆心在y轴上，a0.设圆的标准方程为x2(yb)2r2.该圆过A，B两点，解得所求圆的方程为x2(y1)210.法二：线段AB的中点坐标为(1,3)，kAB，弦AB的垂直平分线方程为y32(x1)，即y2x1.由解得点(0,1)为所求圆的圆心由两点间的距离公式，得圆的半径r，所求圆的方程为x2(y1)210.10求过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x2y10相切的圆的方程解：圆心在线段AB的垂直平分线y6上，设圆心为(a,6)，半径为r，则圆的方程为(xa)2(y6)2r2.将点(1,10)代入得(1a)2(106)2r2，而r，代入，得(a1)216，解得a3，r2，或a7，r4.故所求圆为(x3)2(y6)220，或(x7)2(y6)280.41.2圆的一般方程提出问题已知圆心(2,3)，半径为2.问题1：写出圆的标准方程提示：(x2)2(y3)24.问题2：上述方程能否化为二元二次方程的形式？提示：可以，x2y24x6y90.问题3：方程x2y24x6y130是否表示圆？提示：配方化为(x2)2(y3)20，不表示圆问题4：方程x2y2DxEyF0一定表示圆吗？提示：不一定导入新知(1)圆的一般方程的概念：当D2E24F0时，二元二次方程x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程(2)圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)表示的圆的圆心为(，)，半径长为 .化解疑难1圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：(1)x2、y2的系数相等且不为0；(2)没有xy项2对方程x2y2DxEyF0的说明：方程条件图形x2y2DxEyF0D2E24F0表示以(，)为圆心，以为半径的圆圆的一般方程的概念辨析例1若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径解(1)据题意知D2E24F(2m)2(2)24(m25m)0，即4m244m220m0，解得m，故m的取值范围为(，)(2)将方程x2y22mx2ym25m0写成标准方程为(xm)2(y1)215m，故圆心坐标为(m,1)，半径r.类题通法形如x2y2DxEyF0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：由圆的一般方程的定义令D2E24F0，成立则表示圆，否则不表示圆，将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2y2DxEyF0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解活学活用1下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径(1)x2y2x10；(2)x2y22axa20(a0)；(3)2x22y22ax2ay0(a0)解：(1)D1，E0，F1，D2E24F1430，方程(1)不表示任何图形(2)D2a，E0，Fa2，D2E24F4a24a20，方程表示点(a,0)(3)两边同除以2，得x2y2axay0，Da，Ea，F0，D2E24F2a20，方程(3)表示圆，它的圆心为(，)，半径r |a|.圆的一般方程的求法例2已知ABC的三个顶点为A(1,4)，B(2,3)，C(4，5)，求ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径解法一：设ABC的外接圆方程为x2y2DxEyF0，A，B，C在圆上，ABC的外接圆方程为x2y22x2y230，即(x1)2(y1)225.外心坐标为(1，1)，外接圆半径为5.法二：kAB，kAC3，kABkAC1，ABAC.ABC是以角A为直角的直角三角形，外心是线段BC的中点，坐标为(1，1)，r|BC|5.外接圆方程为(x1)2(y1)225.类题通法应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.活学活用2求经过点A(2，4)且与直线x3y260相切于点B(8,6)的圆的方程解：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，则圆心坐标为.圆与x3y260相切，1，即E3D360.(2，4)，(8,6)在圆上，2D4EF200，8D6EF1000.联立，解得D11，E3，F30，故所求圆的方程为x2y211x3y300.代入法求轨迹方程例3已知ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程解以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则A(2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)|AD|3，(x02)2y9.将代入，整理得(x6)2y236.点C不能在x轴上，y0.综上，点C的轨迹是以(6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(12,0)和(0,0)两点轨迹方程为(x6)2y236(y0)类题通法用代入法求轨迹方程的一般步骤活学活用3(2013嘉峪关高一检测)过点A(8,0)的直线与圆x2y24交于点B，则AB中点P的轨迹方程为_解析：设点P的坐标为(x，y)，点B为(x1，y1)，由题意，结合中点坐标公式可得x12x8，y12y，故(2x8)2(2y)24，化简得(x4)2y21，即为所求答案：(x4)2y21典例(12分)已知圆O的方程为x2y29，求经过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹解题流程画出图形，结合圆的弦的中点的性质，由APOP建立关系求解设动点P的坐标(x，y)由APOP讨论AP垂直于x轴情形列kAPkOP1的关系式检验得出结论规范解答设动点P的坐标为(x，y)，根据题意可知APOP.(2分)当AP垂直于x轴时，P的坐标为(1,0)，此时x1；(3分)当x0时，y0；(4分)当x0，且x1时，有kAPkOP1，(5分)kAP，kOP，(6分)1，即x2y2x2y0(x0，且x1)(8分)经检验，点(1,0)，(0,0)适合上式(10分)综上所述，点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆(12分)名师批注 AP垂直于x轴时及x0时容易漏掉.检验步骤不可少活学活用一动点M到点A(4,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹解：设动点M的坐标为(x，y)，则|MA|2|MB|，即2，整理得x2y28x0，即所求动点的轨迹方程为x2y28x0.随堂即时演练1(2011四川高考)圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A(2,3)B(2,3)C(2，3) D(2，3)解析：选D圆的方程化为(x2)2(y3)213，圆心(2，3)，选D.2已知方程x2y22x2k30表示圆，则k的取值范围是()A(，1) B(3，)C(，1)(3，) D(，)解析：选A方程可化为：(x1)2y22k2，只有2k20，即k0，即36a290 0000，50a50；当直线和圆相切时，0，即a50或a50；当直线和圆相离时，0，即a50.法二：(几何法)圆x2y2100的圆心为(0,0)，半径r10，则圆心到直线的距离d，当直线和圆相交时，dr，即10，50ar，即10，a50.类题通法直线与圆位置关系判断的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系活学活用1(2012湛江检测)直线xky10与圆x2y21的位置关系是()A相交B相离C相交或相切 D相切解析：选C直线xky10恒过定点(1,0)，而(1,0)在圆上，故直线与圆相切或相交.切 线 问 题例2过点A(1,4)作圆(x2)2(y3)21的切线l，求切线l的方程解(12)2(43)2101，点A在圆外法一：当直线l的斜率不存在时，l的方程是x1，不满足题意设直线l的斜率为k，则方程为y4k(x1)即kxy4k0.圆心(2,3)到切线l的距离为1，解得k0或k，因此，所求直线l的方程y4或3x4y130.法二：由于直线l与圆相切，所以方程组只有一解消去y，得到关于x的一元二次方程(1k2)x2(2k22k4)xk22k40，则(2k22k4)24(1k2)(k22k4)0，解得8k26k0，即k0或k，因此，所求直线l的方程为y4或3x4y130.类题通法1求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为，由点斜式可得切线方程如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程yy0或xx0.2过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法设切线方程为yy0k(xx0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为xx0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条一般不用联立方程组的方法求解活学活用2(2012昆明高一检测)直线xym0与圆x2y2m相切，则m的值为()A0或2 B2C. D无解解析：选B由于直线与圆相切，故，解得m0(舍去)或m2.3圆x2y24x0在点P(1，)处的切线方程为()Axy20 Bxy40Cxy40 Dxy20解析：选D点P在圆上，圆x2y24x0化为(x2)2y24，圆心M(2,0)，半径为2.kMP，切线l的斜率kl，因此切线l的方程为y(x1)，整理得xy20.弦 长 问 题例3已知圆的方程为x2y28，圆内有一点P(1,2)，AB为过点P且倾斜角为的弦(1)当135时，求AB的长；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程解(1)法一：(几何法)如图所示，过点O作OCAB.由已知条件得直线的斜率为ktan 1351，直线AB的方程为y2(x1)，即xy10.圆心为(0,0)，|OC|.r2，|BC|，|AB|2|BC|.法二：(代数法)当135时，直线AB的方程为y2(x1)，即yx1，代入x2y28，得2x22x70.x1x21，x1x2，|AB|x1x2|.(2)如图，当弦AB被点P平分时，OPAB，kOP2，kAB，直线AB的方程为y2(x1)，即x2y50.类题通法求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2d2r2，即|AB|2.(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|(直线l的斜率k存在)典例过点A(3,1)和圆(x2)2y21相切的直线方程是()Ay1Bx3Cx3或y1 D不确定解析由题意知，点A在圆外，故过点A的切线应有两条当所求直线斜率存在时，设其为k，则直线方程为y1k(x3)，即kxy13k0.由于直线与圆相切，所以d1，解得k0，所以切线方程为y1.当所求直线斜率不存在时，x3也符合条件综上所述，所求切线方程为x3或y1.答案C易错防范1解题时只考虑所求直线的斜率存在的情况，而忽视了斜率不存在的情况，而错误地选A；若只考虑斜率不存在的情形，而忽视了斜率存在的情况，而错误地选B.2过一点求圆的切线时，首先要判断点与圆的位置关系，以此来确定切线的条数，经过圆外一点可以作圆的两条切线，求解中若只求出一个斜率，则另一条必然斜率不存在成功破障已知圆C：(x1)2(y2)24，则过点(3,5)并与圆C相切的切线方程为_解析：由于点(3,5)到圆心的距离为2r，得到点(3,5)在圆外当切线的斜率存在时，设方程为y5k(x3)，由圆心到切线的距离d2，化简得12k5，可解得k，切线方程为5x12y450.当过(3,5)的直线斜率不存在时，直线方程为x3，与圆相切综上可知切线方程为5x12y450或x3.答案：5x12y450或x3随堂即时演练1直线x2y10与圆2x22y24x2y10的位置关系是()A相离B相切C相交但直线不过圆心 D相交且直线过圆心解析：选C圆心坐标为，半径长r，圆心到直线的距离dr，所以直线与圆是相交的但不过圆心，故选C.2(2012湛江高一检测)设直线l过点P(2,0)，且与圆x2y21相切，则l的斜率是()A1 BC D解析：选C设l：yk(x2)即kxy2k0.又l与圆相切，1.k.3(2011重庆高考)过原点的直线与圆x2y22x4y40相交所得弦的长为2，则该直线的方程为_解析：设所求直线方程为ykx，即kxy0.由于直线kxy0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于0，即圆心位于直线kxy0上于是有k20，即k2，因此所求直线方程是2xy0.答案：2xy04过点P(1,2)且与圆C：x2y25相切的直线方程是_解析：点P(1,2)是圆x2y25上的点，圆心为C(0,0)，则kPC2，所以k，y2(x1)故所求切线方程是x2y50.答案：x2y505(2011湖北高考改编)过点(1，2)的直线l被圆x2y22x2y10截得的弦长为，求直线l的方程解：由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k.设直线l的方程为y2k(x1)又圆的方程为(x1)2(y1)21，圆心为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离d.解得k1或.所以直线l的方程为y2x1或y2(x1)，即xy10或17x7y30.课时达标检测一、选择题1若直线axby1与圆C：x2y21相交，则点P(a，b)与圆C的位置关系是()AP在圆内 BP在圆外CP在圆上 D不确定解析：选B直线axby1与圆x2y21相交，圆心到直线的距离d1，a2b21.2过原点且倾斜角为60的直线被圆x2y24y0所截得的弦长为()A. B2C. D2解析：选D直线的方程为yx，圆的标准方程为x2(y2)24，圆心(0,2)到直线的距离d1，知所求弦长为d22，故选D.3若过点A(4,0)的直线l与曲线(x2)2y21有公共点，则直线l的斜率的取值范围为()A， B(，)C. D.解析：选C设直线为yk(x4)，即kxy4k0，圆心(2,0)到直线的距离d，d应满足dr，即1，解得k.4由直线yx1上的点向圆C：x2y26x80引切线，则切线长的最小值为()A1 B2C. D3解析：选C圆C的方程可变为：(x3)2y21，圆心C(3,0)，半径为1.直线yx1上点P(x0，y0)到圆心C的距离|PC|与切线长d满足d.5已知圆的方程为x2y26x8y0，设该圆过点P(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A10 B20C30 D40解析：选B如下图所示，设圆的圆心为M，则M(3,4)，半径r5.当过点P的直线过圆心M时，对应的弦AC是最长的，此时，|AC|2r10；当过点P的直线与MP垂直时，对应的弦BD最小，此时在RtMPD中，|MD|r5，|MP|1，故|BD|24.此时四边形ABCD的面积为：S|AC|BD|20，故选B.二、填空题6过点P(1,6)且与圆(x3)2(y2)24相切的直线方程是_解析：当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y6k(x1)，则d2，解得k，此时，直线方程为：4y3x270；当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x1，验证可知符合题意答案：4y3x270或x17已知圆C的圆心是直线xy10与x轴的交点，且圆C与直线xy30相切，则圆C的方程为_解析：令y0得x1，所以直线xy10与x轴的交点为(1,0)因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r，所以圆C的方程为(x1)2y22.答案：(x1)2y228已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上直线l：yx1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为_解析：由题意，设所求的直线方程为xym0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知22(a1)2，解得a3，或a1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a3，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有30m0，即m3，故所求的直线方程为xy30.答案：xy30三、解答题9已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x3y0上，且被直线yx截得的弦长为2，求圆C的方程解：设圆心坐标为(3m，m)圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，圆心到直线yx的距离为|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m272m2，m1，所求圆C的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.10已知圆C：(x1)2(y2)22，过点P(2，1)作圆C的切线，切点为A，B.(1)求直线PA，PB的方程；(2)过P点的圆C的切线长解：(1)切线的斜率存在，设切线方程为y1k(x2)，即kxy2k10.圆心到直线的距离等于，即，k26k70，解得k7或k1，故所求的切线方程为y17(x2)或y1(x2)，即7xy150或xy10.(2)在RtPAC中，PA2PC2AC2(21)2(12)228，过P点的圆C的切线长为2.第二课时直线与圆的位置关系(习题课)1直线与圆的位置关系有哪几种？ 2如何用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系？ 3如何求过某点的圆的切线方程？ 4如何求圆的弦长？ 与圆有关的切线问题例1自点P(6,7)发出的光线l射到x轴上的点A处，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2y28x6y210相切于点Q.求光线l所在直线方程解如图，作圆x2y28x6y210关于x轴的对称圆x2y28x6y210，由几何光学原理，知直线l与圆x2y28x6y210相切由于l的斜率必存在，故可设直线l：y7k(x6)，即kxy6k70.由圆x2y28x6y210的圆心(4，3)到直线l的距离等于半径，知2，解得k或k，故光线l所在直线的方程为3x4y100或4x3y30.类题通法过已知圆外一点求切线的方程一般有三种方法：(1)设切线斜率，用判别式法；(2)设切线斜率，用圆心到直线的距离等于半径长；(3)设切点(x0，y0)，用切线公式法活学活用1已知圆C：(x2)2(y1)21.求：(1)过A(3,4)的圆C的切线方程；(2)在两坐标轴上的截距相等的圆C的切线方程解：(1)当所求直线的斜率存在时，设过A(3,4)的直线方程为y4k(x3)，即kxy43k0，由1，得k.所以切线方程为y4(x3)，即4x3y0.当所求直线的斜率不存在时，直线方程为x3，也符合题意故所求直线方程为4x3y0或x3.(2)设在两坐标轴上的截距相等的直线方程为1或ykx，于是由圆心(2,1)到切线距离为1，得1或1.解得a3，k0或k.故所求切线方程为xy3或y0或yx.与圆有关的参数问题例2已知直线l：yxm与圆x2y21在第一象限内有两个不同的交点，求m的取值范围解l：yxm，圆x2y21，l可变形为：x3y3m0，圆的圆心为(0,0)，半径长r1.当直线和该圆相切时，应满足d1，解得m.在平面直角坐标系中作出图象，如图所示，其中l2：yx，l3：yx.过原点作直线l0：yx，m0：yx.直线l的斜率k，直线AB的斜率k1，只有当直线l在移动到过A(0,1)后才开始与圆在第一象限内有两个交点，此时对应的直线l1：yx1，要使直线与圆在第一象限内有两个不同交点，直线l只有在直线l1和直线l2之间运动才可，此时相应的m.m的取值范围是.类题通法要注意结合图象，得出正确的答案，不能想当然要注意直线之间倾斜程度的比较，像在此例题中，我们要注意比较直线l的斜率k与直线AB的斜率k1，如果注意到它们的关系了，就不易出错活学活用2已知直线l：yxm与圆x2y21在第一象限内有交点，求m的取值范围解：l：yxm，圆x2y21，l可变形为：x3y3m0，圆的圆心为(0,0)，半径长r1.当直线和该圆相切时，应满足d1，解得m，在平面直角坐标系中作出图象，如下图所示，其中l2：yx，l3：yx.直线l与圆在第一象限内有交点，直线l应该在过点B(1,0)的直线与切线l2之间才可以，而当B(1,0)在直线l上时
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