完全平方公式和平方差公式地应用

完全平方公式和平方差公式的应用公式：语言叙述：两数的。公式结构特点：左边：右边：熟悉公式：公式中的a和b既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。(5+6x)(5-6x) 中是公式中的a，是公式中的b(5+6x)(-5+6x) 中是公式中的a，是公式中的b(x-2y)(x+2y)填空：1、 (2x-1)()=4x2-12、 (-4x+ _)(_ -4x)=16x2-49y2第一种情况：直接运用公式1. ( a+3) (a-3)2.( 2a+3b)(2a-3b)3. (1+2c)(1-2c)4. (-x+2)(-x-2)第二种情况：运用公式使计算简便1、1998X200 22、498X5023、999X10014、1.01 X0.995、30.8 X29.261、(100-) X(99-)33187、( 20-)X(19-)99第三种情况：两次运用平方差公式2 21、( a+b)(a-b)(a +b )2、(a+2)(a-2)(a2+4)31 11(x- -)(x 2+-)(x+-)4第四种情况：需要先变形再用平方差公式1、( -2x-y)(2x-y)2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y)4.(4a-1)(-4a-1)5.(b+2a)(2a-b)6.(a+b)(-b+a)7.(ab+1)(-ab+1)第五种情况：每个多项式含三项1. (a+2b+c) (a+2b-c) 2.(a+b-3)(a-b+3)3. x-y+z)(x+y-z)4.(m_n+p)(m_n_p)完全平方公式公式：语言叙述：两数的.。公式结构特点：左边：右边：熟悉公式：公式中的a和b既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。 公式变形1、孑+b2=(a+b)2_=(a-b)22、 ( a-b)2=(a+b)2 ; (a+b)2=(a-b)23、(a+b)2 +( a-b)2=4、(a+b)2 一( a-b)2=一、计算下列各题：/ 、2X (x y)2、(3x2y)23、a b)224、( 2t 1)5、( 3ab1、26、3 22)7、(|x 1)28、(0.02x+0.1y)二、利用完全平方公式计算:(1)1022(2)1972三、计算:2 2(1)(x 3) x2 ,(2) y (x、2y) ( 3) xx y (x y)四、计算:(1)(a3)(a3) (a 1)(a4)2 2(2)(xy 1) (xy 1)(3)(2a 3)23(2a 1)(a 4)五、计算:(3)(a b 3)(a b 3) (4) x 2y 3z x 2y 3z六、拓展延伸巩固提高2 21、若 x 4x k (x 2)，求 k 值2、若 x22xk是完全平方式，求k值。12 13、已知a3，求a2的值aa巧用平方差公式解题平方差公式(ab)(ab)a2 b2用语言可叙述为：两数之和与两数之差的积等于这两数的平方差。在解题过程中,例解析如下参考：若能灵活运用平方差公式,可使问题化繁为简，化难为易，复杂问题迎刃而解，现举例1、计算:(50存(49护解析：若先算平方，再求差，则复杂繁琐，而将1a看作50 ，将b看作491110，逆用平方差公式,11则问题化繁为简,1 2(50石)事半功倍例2、计算:20010 - 2 - 1(49)2=(50 49)(5011 11 11 1110、24910)111001111100299.9 100.1解析：先算平方和积，再求差，比较麻烦，而将99.9100.1变形为(1000.1)(1000.1)，再运用平方差公式，则问题迅速获解100299.9 100.1 =1002(1000.1)(1000.1) 1002(1002 0.12) 0.01例3、计算：220062 2200520072解析：直接计算，数值较大，可先将分母20052 20072 2变形为(20052 1) (20072 1)，再逆用平方差公式，则问题迅捷可解20062006原式=(2005 1) (2007 1)(2005 1)(2005 1) (2007 1)(2007 1)13 2 43 59 111 111122 3 34 410 102 1020例5、试确定2（31)(321)(34 1)(381)(3161)(3321)(3641）1的未位数解析：这个问题看起来比较复杂，项数多，数值大，根据算式的结构特征，将2变形为（3-1）运用平方差公式，可使问题柳暗花明，迎刃而解。原式=(3 1)(31)(321)(341)(381)(3161)(3321)(3641) 1=(321)(321)(341)( 381)(3161)(3321)(3641) 14481632=(31)(31)(31)(31)(31)(3641) 1 =(364641)(31) 1J28=3113128(34、3232) 81因为未位数是1的任何次幂的未位数还是 1所以 2(31)(321)(341)(381)(3161)(3321)(3641）1未位数是1计算：（1 ）、9.910.1(2)、2006220052007(3 )、2 210.19.9（4）、试确定（21)(221)(24 1)(281 1)(2161)(2321)(2641）1的未位数再连续1 1(1伸(1神原式=(1-)(1-)(1-)(1223224完全平方公式的变形和应用一、 完全平方公式常见的变式200622006 2004 2006 2008200622006 (2004 2008)20062 12 2006 2006 2例 4、计算：（1-2）（112)11-2）（1 冷）（1 34210解析：这道题项数较多，数值较大，各个括号逐一计算，比较麻烦，令人望而生畏而逆用平方差公式，将各括号展开交错约分可使问题巧妙获解114)(14(1)(ab)2 (ab)24ab(2)a2b2(ab)22ab(3)(ab)2(ab)22( a2 b2)（4）2ab(a b)2 (a2 b2)(5)a2 丄(a -)2 2aa二、完全平方公式变形的应用例1已知a b2 20088,ab 16 c ,求(a b c)的值。解：由变式(1)得：2 2 2 2 2(a b) (a b) 4ab 84(16 c ) 4c所以(a b)2 4c20所以 a b 0,c0所以(a b c)20080例2已知(x y)27,(xy)23,求x2y2 的值。解：由变式(3)得：22 (xy)2(x y)27 3=x y52 2例3已知x y 1,x2 y22,求x4 y4的值。解：由变式(4)得：2xy (x y)2 (x2 y2)1221 所以xy再由变式(2)得：x4y4(x2 y2)2 2x2y222 2( y 41例4已知x2 3x10 :，求x4的值。x解:由题意知x0在x23x110的两边都乘以得x13x -x由变式(5)得：2 1x 2(x丄)2 2(3)227xx41x4(x212)2272247xx例1若x,y为有理数，且满足x2 3y2 12y 12 0,求yx的值.分析：欲求yx的值，须求出x, y的值.由题知，把已知式子进行配方，再利用非负数的性质便可达 到解题目的.解：X2 3y2 12y 120，x2 3(y2 4y 4)0，x2 3(y 2)20，2 2 2 2- x 0,( y 2) 0,.x 0,( y 2)0,即 x 0, y 2，二 yx=20=1.例 2 已知 a b 2, b c 5，求 a2 b2 c2 ab be ac 的值.解：a b2,be5,a e 3，2 -a.2 2 b eabbeae12 2 2= j2a2 2b2 2e2 2ab 2be 2ae)12b e22=a bae21小222=253=19.发现，将求值式乘以2，则会出现完全平方式，其中也恰恰含有条件式因此，解决本题的关键是如何利 用“配方法”将多项式进行变形，从而能够运用已知条件求解.分析：显然，本题若按一般方法，即先求出a,b,e的值，再代入多项式求值，将十分困难而我们2例3试说明不论x, y为何值时 代数式x2 y2 4x 6y 14的值总是正数.2 2分析：本题实质就是证明 x y 4x 6y 14 0 .观察代数式不难发现，将 14拆成4、9与1 的和，则立即出现了两个完全平方式，然后再结合非负数的性质便可达到目的.解：xy 4x 6y 142 2=x4x 4 y 6y 9 12 2 2 2=(x 2 ) (y 3) 仁(x 2) 0,(y 3) 0,二(x 2) (y 3)10.即代数式x y 4x 6y 14的值总是正数.平方差公式专项练习题A卷：基础题1.2.、选择题 平方差公式(a+b) (a- b) =a2- b2中字母a, b表示()A 只能是数B.只能是单项式C 只能是多项式D 以上都可以下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是()3.4.11C. ( a+b) ( b a)33下列计算中，错误的有()( 3a+4) (3a- 4) =9a2- 4;3( 3-x) (x+3) =x2-9;D . (a2- b) (b2+a)购(2a2- b) (2a2+b) =4a2- b2;( x+y) (x+y) =-( x- y) (x+y) =-x2 y2.A . 1 个 B . 2 个 C.若 x2-y2=30,且 x-y= -5,则x+y的值是()A. (a+b) ( b+a)B . ( a+b) (a- b)二、填空题5. (- 2x+y) (- 2x- y) =.6. (- 3x2+2y2) () =9x4-4y4.7. ( a+b- 1) (a- b+1) = () 2-() 2.8两个正方形的边长之和为5,边长之差为2,那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是.三、计算题、 2 19.利用平方差公式计算：20 21 .3310 .计算：(a+2) (a2+4) (a4+16) (a- 2).B卷：提高题一、七彩题1 .(多题思路题)计算：(1 ) ( 2+1 ) ( 22+1 ) ( 24+1 )(22n+1) +1 (n 是正整数);4016(2) (3+1 ) (32+1) (34+1)(32008+1 )2. (一题多变题)利用平方差公式计算：2009 2007- 20082 .(1 )一变：利用平方差公式计算:200720072 2008 200620072(2)二变：利用平方差公式计算：一2008 2006 1二、知识交叉题3. (科交叉题)解方程：x (x+2) + (2x+1) (2x - 1) =5 (x2+3).三、实际应用题4广场有一块边长为 2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长 3米,则改造后的长方形草坪的面积是多少？四、经典中考题5下列运算正确的是（A . a3+a3=3a6)B . (- a) 3 (- a) 5=- a86.1.C (- 2a2b)计算：（a+1）1114a=- 24a6 b3D . ( 一 a- 4b) (一 a- 4b) =16b2-339(a 1)=.a2C卷：课标新型题已知 X 工1,计算(1+X) (1-x) =1 - X2 , ( 1 - X)( 1+X+X2) =1 - X3,(规律探究题)(1-X) ( ?1+X+X2+X3) =1 - X4 .(1 )观察以上各式并猜想：(1 - X) ( 1+x+x2+Xn)=.（n为正整数）(2) 根据你的猜想计算：( 1 - 2) ( 1+2+22+23+24+25) =.2+22+23+2n= (n为正整数).3( X- 1 ) (x99+x98+x97+x2+x+1 ) =.(3) 通过以上规律请你进行下面的探索：( a-b) (a+b) =.( a- b) (a2+ab+b2) =.3( a- b) (a3+a2b+ab2+b3) =.2. (结论开放题)请写出一个平方差公式，使其中含有字母m, n和数字4.3. 从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为 b的小正方形纸板后，？将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同 的等腰梯形，如图1 -7-1所示，然后拼成一个平行四边形，如图1 - 7-2所示，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式？请将结果与同伴交流一下.完全平方公式变形的应用完全平方式常见的变形有：2 ab2(ab)22ab2 ab2(ab)22ab(ab)2(ab)24ab2 ab22 c(a2b c) 2ab 2ac 2bc1、已知 m+n2-6m+10n+34=0,求 m+n的值2、已知x22y4x 6y130 , x、y都是有理数，求xy的值。3.已知（ab)216,ab4,求2 2a b 一2与(a b)的值。3练一练A组：1 已知（ab)5,ab3求(a2 2 2b)与3(a b )的值。2 .已知ab6,ab 4求ab与a2 b2的值。3、已知，ab4,a2b24求 a2b2与(ab)2 的勺值。4、已知(a+t)2=60，(a-b)2=80,求a2+b2及ab的值B组：5.已知ab6,ab4，r2c22求 a b 3a bab2的值。6.已知2 xy2 2x4y150，求一 (x21)2xy的值。已知16，求217.xx2的值。xx&2 x3x 10，:求( 1)x212 (2) x4-149、试说明不论x,y取何值，代数式x2y2 6x4y15的值总是正数。10、已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c 且 a,b,c满足等式 3(a2 b2 c2)(a b c)2，请说明该三角形是什么三角形?整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、整式的除法(B卷)一、请准确填空1、 若 a2+b2 - 2a+2b+2=0,则 a2004 +b2005=.2、 一个长方形的长为(2 a+3b),宽为(2 a 3b),则长方形的面积为 .3、 5 (a b)2的最大值是，当5 (a b)2取最大值时，a与b的关系是14、要使式子0.36x2+丄y2成为一个完全平方式，则应加上 .45、(4 am+6a0 十2am1=.6.29 X 31 X (30 2+1)=.17. 已知 x2 5x+1=0,则 x2+p=.x8. 已知(2005 a)(2003 a)=1000,请你猜想(2005 a) 2+(2003 a)2=.二、相信你的选择9.若 x x n=(x n)( x+1)且 x工 0,则 m等于A. 1B.0C.1D.2110.( x+q)与(x+)的积不含x的一次项，猜测q应是5A.5B.1C.1D. 555111.下列四个算式：4x2y4-xy=xy3; 16a6bc-8a3b2=2a2b2c;9x8y2-3x3y=3x5y;(12ni+8nn4m)4*( 2n)= 6m+4n+2，其中正确的有A.0个B.1个C.2个D.3个12. 设(X” 1yn+2) (x5my2)=x5y3,则 m的值为A.1B. -1C.3D. - 313. 计算】(a2- b2)(a2+b2) 2等于A.a4 2a2b2+b4B.a6+2a4b4+b6C.a6-2a4b4+b6D.a8 - 2a4b4+b814. 已知(a+b)2=11,ab=2,则(a-b)2的值是A.11B.3C.5D.1915. 若x2- 7xy+M是一个完全平方式，那么M是7 249 249 22A.y2B. y2C.y2D.49y222416. 若x, y互为不等于0的相反数，n为正整数，你认为正确的是A.xn、yn一定是互为相反数B.(!）n （!）n一定是互为相反数x yC.x2n、y2n一定是互为相反数三、考查你的基本功17.计算(1) ( a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2;1 2(2) :ab(3 -b) -2a(b- b) 12(3) - 2100 X O.5 100 X ( - 1 ) 2005 一D.x2n1、- y2n1 一定相等(-3aV)；(-1)- 5;2(4) : (x+2y)( x - 2y)+4(x y) - 6x 6x.18. (6分)解方程x(9x-5) -(3x- 1)(3 x+1)=5.四、生活中的数学19. （6分）如果运载人造星球的火箭的速度超过11.2 km/s（俗称第二宇宙速度）,则人造星球将会挣脱地球的束缚，成为绕太阳运行的恒星.一架喷气式飞机的速度为1.8 X 106 m/h，请你推算一下第二宇宙速度是飞机速度的多少倍？五、探究拓展与应用20. 计算.(2+1)(2 2+1)(2 4+1)=(2 - 1)(2+1)(2 2+1)(2 +1)=(2 2 - 1)(2 2+1)(2 4+1) =(24- 1)(2 4+1)=(2 8- 1).根据上式的计算方法，请计算364(3+1)(3 2+1)(3 4+1)(3 32+1)- 的值.2“整体思想”在整式运算中的运用“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，有些问题局部求解各个击破, 无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思路清淅，演算简单，复杂问题迎 刃而解，现就“整体思想”在整式运算中的运用，略举几例解析如下，供同学们参考：1、当代数式22x 3x 5的值为7时,求代数式3x 9x 2的值.2、已知a333222x 20，bx 18，cx 16，求：代数式 a b c ab ac bc的888值3、已知x2 2y 4， xy 1，求代数式(x1)( y1)的值4、已知x532时，代数式axbxcx 810，求当x2时，代数式5 ax3bx cx 8的值5、若 M 123456789 123456786, N 123456788 123456787试比较M与N的大小26、已知a32a 10,求 a 2a 2007 的值.平方差公式基础题一、选择题1. 下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是()A.(x+y)( x y)B.(2x+3y)(2x 3z)C.( a b)(a b)D.(m n)(n m)2. 下列计算正确的是()A.(2x+3)(2x 3)=2x 2 9B.(x+4)(x 4)=x 2 4C.(5+x)(x 6)=x 2 30D.( 1+4b)( 1 4b)=1 16b23. 下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是()A.( a b)( b+a)B.(xy+z)(xy z)5.a4+(1 a)(1+a)(1+a2）的计算结果是（)A. 1B.1C.2a4 1D.1 2a4C.(x y)(x+25y)D.(x 5y)(5yx)平方差公式提高题一、选择题：1.下列式中能用平方差公式计算的有（）11(x-y)(x+y),(3a-bc)(-bc-3a),22(3-x+y)(3+x+y),(100+1)(100-1)A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4个2.下列式中，运算正确的是（）2 2 2 1 1(2 a) 4a ,(一x 1)(1 - x).121x ,(m2351) (1 m) (m 1)339a ,ba 2b 3 2482.A. - 4x2 5yB. 4x2+5yC.(4x2 5y)2D.(4x+5y) 2A. B. C. D.3.乘法等式中的字母a、b表示（）A.只能是数 B.只能是单项式C.只能是多项式D.单项式、？多项式都可以、解答题4.计算(a+1)(a-1)(248a +1)( a +1)( a +1).1计算：（1）（12111122 )(124 )(128)215 .5.计算:1002 992 982 972| 22116. (1)化简求值:(x+5) 2-(x-5) 2-5(2x+1)(2x-1)+x (2x) 2,其中 x=-1.(2)解方程 5x+6(3x+2)(-2+3x)-54(x-11)(x+ )=2.3317.计算:（1歹）（111002