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第第3 3讲导数的概念及其简单应用讲导数的概念及其简单应用考向分析考向分析核心整合核心整合热点精讲热点精讲阅卷评析阅卷评析考向分析考向分析考情纵览考情纵览年份年份考点考点2011201120122012201320132014201420152015导数的几何导数的几何意义及应用意义及应用21(1)21(1)131320(1)20(1)21(1)21(1) 21(1)21(1) 14141616利用导数研利用导数研究函数的单究函数的单调性调性21(1)21(1) 20(2)20(2)12121111利用导数研利用导数研究函数的极究函数的极值与最值值与最值20(2)20(2) 1111、21(1)21(1)2121真题导航真题导航D D2.(20152.(2015新课标全国卷新课标全国卷,文文14)14)已知函数已知函数f(xf(x)=ax)=ax3 3+x+1+x+1的图象在点的图象在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线过点处的切线过点(2,7),(2,7),则则a=a=.3.(20153.(2015新课标全国卷新课标全国卷,文文16)16)已知曲线已知曲线y=x+lnxy=x+lnx在点在点(1,1)(1,1)处的切线与曲处的切线与曲线线y=axy=ax2 2+(a+2)x+1+(a+2)x+1相切相切, ,则则a=a=.答案答案: :8 8备考指要备考指要1.1.怎么考怎么考本讲主要考查导数的几何意义本讲主要考查导数的几何意义, ,导数的四则运算及利用导数研究函数的单调性导数的四则运算及利用导数研究函数的单调性, ,求求函数的极值、最值等函数的极值、最值等. .(1)(1)对导数的几何意义的考查主要是利用导数求解曲线的切线斜率对导数的几何意义的考查主要是利用导数求解曲线的切线斜率, ,多以选择、填多以选择、填空题的形式出现空题的形式出现, ,难度中等偏下难度中等偏下. .(2)(2)对导数的运算法则一般不单独考查对导数的运算法则一般不单独考查, ,在利用导数研究函数的单调性等问题时在利用导数研究函数的单调性等问题时, ,作作为解题工具而出现为解题工具而出现. .(3)(3)对函数的单调性、极值、最值的考查对函数的单调性、极值、最值的考查, ,主要是体现在解答题的第主要是体现在解答题的第(2)(2)问中问中, ,通过通过对单调性、极值、最值的研究对单调性、极值、最值的研究, ,进而考查不等式证明、不等式恒成立、函数零点等进而考查不等式证明、不等式恒成立、函数零点等. .考查了分类讨论思想、数形结合思想及推理论证能力考查了分类讨论思想、数形结合思想及推理论证能力, ,综合性很强综合性很强. .2.2.怎么办怎么办熟练掌握导数的几何意义、导数的运算法则及利用导数研究函数的单调性熟练掌握导数的几何意义、导数的运算法则及利用导数研究函数的单调性, ,求函数求函数的极值、最值的一般步骤的极值、最值的一般步骤. .核心整合核心整合1.1.导数的几何意义导数的几何意义函数函数y=f(xy=f(x) )在在x=xx=x0 0处的导数处的导数f(xf(x0 0) )的几何意义是曲线的几何意义是曲线y=f(x)y=f(x)在点在点P(xP(x0 0,f(x,f(x0 0)处的切线的斜率处的切线的斜率, ,即即k=f(xk=f(x0 0).).温馨提示温馨提示 不要将不要将“过点过点A A的切线的切线”错以为错以为“在点在点A A处的切线处的切线”. . 2.2.导数与函数单调性的关系导数与函数单调性的关系(1)(1)若可导函数若可导函数y=f(xy=f(x) )在区间在区间(a,b(a,b) )上单调递增上单调递增, ,则则 在区间在区间(a,b(a,b) )上恒成立上恒成立; ;若可导函数若可导函数y=f(xy=f(x) )在区间在区间(a,b(a,b) )上单调递减上单调递减, ,则则 在区在区间间(a,b(a,b) )上恒成立上恒成立. .可导函数可导函数y=f(xy=f(x) )在区间在区间(a,b(a,b) )上为增函数是上为增函数是f(xf(x)0)0的的 条件条件. .(2)(2)可导函数可导函数y=f(xy=f(x) )在在x=xx=x0 0处的导数处的导数f(xf(x0 0)=0)=0是是y=f(xy=f(x) )在在x=xx=x0 0处取得极值处取得极值的的 条件条件. .f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0必要不充分必要不充分必要不充分必要不充分3.3.函数的极值与最值函数的极值与最值(1)(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题函数的极值是局部范围内讨论的问题, ,函数的最值是对整个定义域而言函数的最值是对整个定义域而言的的, ,是在整个范围内讨论的问题是在整个范围内讨论的问题. .(2)(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个, ,而函数的极值可能不而函数的极值可能不止一个止一个, ,也可能没有也可能没有. .(3)(3)闭区间上连续的函数一定有最值闭区间上连续的函数一定有最值, ,开区间内的函数不一定有最值开区间内的函数不一定有最值, ,若有若有唯一的极值唯一的极值, ,则此极值一定是函数的最值则此极值一定是函数的最值. .温馨提示温馨提示 (1)(1)利用导数研究函数的单调性时不要忽视函数的定义域利用导数研究函数的单调性时不要忽视函数的定义域; ;(2)(2)函数函数y=f(xy=f(x) )在区间上单调递增不等价于在区间上单调递增不等价于f(x)0.f(x)0.一般来说一般来说, ,已知函数已知函数y=f(xy=f(x) )的单调递增区间的单调递增区间, ,可以得到可以得到f(x)0(f(x)0(有等号有等号););求函数求函数y=f(xy=f(x) )的单的单调递增区间调递增区间, ,解解f(xf(x)0()0(没有等号没有等号) )和确定定义域和确定定义域; ;(3)f(x(3)f(x0 0)=0)=0是函数是函数y=f(xy=f(x) )在在x=xx=x0 0处取得极值的必要不充分条件处取得极值的必要不充分条件, ,而不是充而不是充要条件要条件; ;(4)(4)不能将极值点与极值混为一谈不能将极值点与极值混为一谈. .函数有大于零的极值点函数有大于零的极值点, ,指的是极值点的指的是极值点的横坐标大于零横坐标大于零; ;函数有大于零的极值函数有大于零的极值, ,指的是极值点的纵坐标大于零指的是极值点的纵坐标大于零; ;(5)(5)在求实际问题的最值时在求实际问题的最值时, ,一定要考虑实际问题的意义一定要考虑实际问题的意义, ,不符合的值应舍去不符合的值应舍去; ;(6)(6)对与不等式有关的综合问题要有转化为函数最值的化归思想对与不等式有关的综合问题要有转化为函数最值的化归思想; ;对含参数的对含参数的综合问题要有分类讨论的思想综合问题要有分类讨论的思想. .热点精讲热点精讲热点一热点一导数的几何意义及导数的运算导数的几何意义及导数的运算方法技巧方法技巧 曲线曲线y=f(xy=f(x) )在在x=xx=x0 0处的导数处的导数f(xf(x0 0) )的几何意义是曲线的几何意义是曲线y=f(xy=f(x) )在在点点P(xP(x0 0,f(x,f(x0 0)处的切线的斜率处的切线的斜率, ,即即k=f(xk=f(x0 0).).由此由此, ,当当f(xf(x0 0) )存在时存在时, ,曲线曲线y=f(xy=f(x) )在点在点P(xP(x0 0,f(x,f(x0 0)处的切线方程为处的切线方程为y-f(xy-f(x0 0)=f(x)=f(x0 0)(x-x)(x-x0 0).).过过P P点的切线方程的切点坐标的求解步骤点的切线方程的切点坐标的求解步骤:(1):(1)设出切点坐标设出切点坐标;(2);(2)表示出切表示出切线方程线方程;(3);(3)已知点已知点P P在切线上在切线上, ,代入求得切点的横坐标代入求得切点的横坐标, ,从而求得切点坐标从而求得切点坐标. .举一反三举一反三1-1-1:(1)(20141:(1)(2014江西卷江西卷) )若曲线若曲线y=x lny=x ln x x上点上点P P处的切线平行于直线处的切线平行于直线2x-y+1=0,2x-y+1=0,则点则点P P的坐标是的坐标是.(2)(2015(2)(2015陕西卷陕西卷) )函数函数y=xey=xex x在其极值点处的切线方程为在其极值点处的切线方程为.解析解析: :(1)(1)由题意知由题意知,y=ln,y=ln x+1, x+1,直线斜率为直线斜率为2.2.由导数的几何意义由导数的几何意义, ,令令lnln x+1=2, x+1=2,得得x=e,x=e,所以所以y=e lny=e ln e=e, e=e,所以所以P(e,eP(e,e).).热点二热点二利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性方法技巧方法技巧 导数法求函数单调区间的一般思路导数法求函数单调区间的一般思路: :(1)(1)求定义域求定义域;(2);(2)求导数求导数f(x);(3)f(x);(3)求求f(xf(x)=0)=0在定义域内的根在定义域内的根;(4);(4)用求用求得的根划分定义区间得的根划分定义区间;(5);(5)确定确定f(xf(x) )在各个开区间内的符号在各个开区间内的符号;(6);(6)得相应开得相应开区间上的单调性区间上的单调性. .热点三热点三利用导数研究函数的极值与最值利用导数研究函数的极值与最值方法技巧方法技巧 (1)(1)利用导数研究函数的极值的一般思路利用导数研究函数的极值的一般思路: :求定义域求定义域; ;求导数求导数f(xf(x););解方程解方程f(xf(x)=0,)=0,研究极值情况研究极值情况; ;确定确定f(x0)=0f(x0)=0时时x0 x0左右的符号左右的符号, ,定极值定极值. .(2)(2)求函数求函数y=f(xy=f(x) )在在a,ba,b 上最大值与最小值的步骤上最大值与最小值的步骤: :求函数求函数y=f(xy=f(x) )在在(a,b(a,b) )内的极值内的极值; ; 将函数将函数y=f(xy=f(x) )的各极值与端点处的函数值的各极值与端点处的函数值f(a),f(bf(a),f(b) )比比较较, ,其中最大的一个是最大值其中最大的一个是最大值, ,最小的一个是最小值最小的一个是最小值. .备选例题备选例题答案答案: :(-,-1)(1,+)(-,-1)(1,+)利用导数研究函数的单调性及最值问题利用导数研究函数的单调性及最值问题(2015(2015新课标全国卷新课标全国卷,文文21)21)已知函数已知函数f(x)=lnf(x)=ln x+a(1-x). x+a(1-x).(1)(1)讨论讨论f(xf(x) )的单调性的单调性; ;(2)(2)当当f(xf(x) )有最大值有最大值, ,且最大值大于且最大值大于2a-22a-2时时, ,求求a a的取值范围的取值范围. .阅卷评析阅卷评析【答题启示【答题启示】1.1.本题的第本题的第(1)(1)问是基础问是基础, ,第第(2)(2)问是第问是第(1)(1)问的延伸问的延伸, ,两问联系紧密两问联系紧密, ,问题问题设置承前启后设置承前启后, ,属递进式问题属递进式问题, ,做对第做对第(1)(1)问是关键一环问是关键一环. .2.2.本题第本题第(2)(2)问是已知函数的最值情况求参数的取值范围问是已知函数的最值情况求参数的取值范围, ,求解的关键是求解的关键是等价转化等价转化, ,将不等式问题转化为函数的取值情况问题将不等式问题转化为函数的取值情况问题. .3.3.利用导数研究函数的单调性、极值与最值情况利用导数研究函数的单调性、极值与最值情况, ,应树立定义域优先的应树立定义域优先的原则原则. .4.4.函数与导数的综合应用题往往是起点低、落点高函数与导数的综合应用题往往是起点低、落点高, ,一般情况下提供的一般情况下提供的条件都非常容易入手条件都非常容易入手, ,可能是相同条件下单独的小问题可能是相同条件下单独的小问题, ,也可能是阶梯型也可能是阶梯型问题问题, ,做题时做题时, ,要准确领会题意要准确领会题意, ,不能盲目下手不能盲目下手. .
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