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第1讲选修44坐标系与参数方程做小题激活思维1在伸缩变换下，x2y21对应的图形是_答案椭圆2若直线的极坐标方程为sin，则点A到这条直线的距离是_答案3已知曲线的参数方程为(t为参数)，若点(6，a)在该曲线上，则a_.答案94若点M在椭圆1上，则点M到直线x2y100的距离的最小值为_答案扣要点查缺补漏1曲线的极坐标方程(1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：xcos ，ysin ，2x2y2，tan (x0)，要注意，的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧(2)由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解如T2.2(1)过定点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|t1t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1t2)(2)参数方程化为普通方程：由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，且消参数时要注意参数的取值范围对x，y的限制如T3.(3)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解如T4.极坐标与曲线的极坐标方程(5年4考)高考解读极坐标方程是每年高考的必考内容，既有单独考查也与参数方程综合考查，难度不大，考查考生的逻辑推理和数学运算的核心素养.(2019全国卷)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，)，弧，所在圆的圆心分别是(1,0)，(1，)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|，求P的极坐标切入点：A，B，C，D的极坐标及，所在圆的圆心关键点：确定M1，M2，M3的方程解(1)由题设可得，弧，所在圆的极坐标方程分别为2cos ，2sin ，2cos .所以M1的极坐标方程为2cos ，M2的极坐标方程为2sin ，M3的极坐标方程为2cos .(2)设P(，)，由题设及(1)知若0，则2cos ，解得；若，则2sin ，解得或；若，则2cos ，解得.综上，P的极坐标为或或或.教师备选题(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值解(1)设点P的极坐标为(，)(0)，点M的极坐标为(1，)(10)由题设知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的极坐标方程4cos (0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面积S|OA|BsinAOB4cos 22.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.1求曲线的极坐标方程的一般思路求曲线的极坐标方程问题通常可利用互化公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互化公式既可转化为极坐标方程，熟练掌握互化公式是解决问题的关键2解决极坐标问题的一般思路一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标1(极径的应用)在直角坐标系xOy中，直线l1：x0，圆C：(x1)2(y1)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线l1和圆C的极坐标方程；(2)若直线l2的极坐标方程为(R)，设l1，l2与圆C的公共点分别为A，B，求OAB的面积解(1)xcos ，ysin ，x2y22，直线l1的极坐标方程为cos 0，即(R)，圆C的极坐标方程为22cos 2(1)sin 320.(2)将代入22cos 2(1)sin 320，得22(1)320，解得11.将代入22cos 2(1)sin 320，得22(1)320，解得21.故OAB的面积为(1)2sin 1.2(极角的应用)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(x2)2y24，直线l的方程为xy120，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)分别写出曲线C与直线l的极坐标方程；(2)在极坐标系中，极角为的射线m与曲线C、直线l分别交于A，B两点(A异于极点O)，求的最大值解(1)由xcos ，ysin ，得曲线C的极坐标方程为4cos ，直线l的极坐标方程为cos sin 120.(2)由题意得|OA|4cos ，因为cos sin 120，所以|OB|，所以sin，因为，所以2，所以sin，所以的最大值为，此时.参数方程及其应用(5年3考)高考解读参数方程是每年高考的必考内容，既有单独考查，也与极坐标综合考查，难度适中，主要考查参数方程与普通方程的互化以及逻辑推理和数学运算核心素养.(2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率切入点：参数方程化普通方程关键点：正确用参数方程表示弦的中点的坐标解(1)曲线C的直角坐标方程为1.当cos 0时，l的直角坐标方程为ytan x2tan ，当cos 0时，l的直角坐标方程为x1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1t20.又由得t1t2，故2cos sin 0，于是直线l的斜率ktan 2.教师备选题(2018全国卷)在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为(为参数)，过点(0，)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点(1)求的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程解(1)O的直角坐标方程为x2y21.当时，l与O交于两点当时，记tan k，则l的方程为ykx.l与O交于两点当且仅当1，解得k1，即，或，.综上，的取值范围是，.(2)l的参数方程为t为参数，.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP，且tA，tB满足t22tsin 10.于是tAtB2sin ，tPsin .又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是为参数，.参数方程与普通方程的互化及参数方程的应用(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件.(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.1(椭圆的参数方程)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.解(1)曲线C的普通方程为y21.当a1时，直线l的普通方程为x4y30.由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0)，.(2)直线l的普通方程为x4ya40，故C上的点(3cos ，sin )到l的距离为d.当a4时，d的最大值为，由题设得，所以a8；当a0)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos .(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan 02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2(y1)2a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆将xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin 1a20.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，从而1a20，解得a1(舍去)或a1.当a1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上所以a1.解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标系下的普通方程，这样思路可能更加清晰.(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简洁.(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件.1(参数几何意义的应用)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是2sin.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)设点P(0，1)，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|PB|的值解(1)将直线l的参数方程消去参数t并化简，得直线l的普通方程为xy10.曲线C的极坐标方程可化为22，即22sin 2cos ，x2y22y2x，故曲线C的直角坐标方程为(x1)2(y1)22.(2)将直线l的参数方程代入(x1)2(y1)22中，得222，化简，得t2(12)t30.0，此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2.由根与系数的关系，得t1t221，t1t23，故t1，t2同正由直线的参数方程中参数的几何意义，知|PA|PB|t1|t2|t1t221.2(弦长及距离问题)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为4cos 2sin .(1)求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程；(2)设点P的极坐标为，C1与C2相交于A，B两点，求PAB的面积解(1)曲线C1表示过原点，且倾斜角为的直线，从而其极坐标方程为，R.由4cos 2sin 得24cos 2sin ，得x2y24x2y，即曲线C2的直角坐标方程为(x2)2(y1)25.(2)由(1)知曲线C1为，R，将代入曲线C2的极坐标方程4cos 2sin 得3，故|AB|3.因为点P的极坐标为，所以点P到直线AB的距离为2.所以SPAB326.
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