高等几何观点下的初等几何

高等几何观点下的初等几何高等几何知识与初等几何知识的沟通，为我们提供了解决初等几何的一些方法，对初等几何教学，对于教师思考和解决问题，有具体的指导意义利用高等几何的观 点和思想方法，将已知初等几何命题进行变换，获得相关的其他初等几何命题,具有 重要的意义.本文通过初等几何和高等几何解决问题的方法进行对比，从仿射几何和 射影几何的理论和方法出发，探讨它们在初等几何中的若干应用1仿射变换在初等几何中的应用For pers onal use only in study and research; not for commercial use1.1仿影变换为初等几何的有关内容提供了理论依据仿射变换即平行投影变换，保持图形的结合性、平行性、单比、封闭图形面积比 不变,直线仍变为直线，圆锥曲线仍变为圆锥曲线，而且圆锥曲线的中心、直径和共轭 直径等,也保持不变因此，对于不涉及线段、角和图形面积定量研究的几何问题中，可以对图形进行仿 射变换，将其变到易于讨论的情况，发现其某些非度量性质，使问题获得解决或发现 解题思路.通常所说的平移、旋转、对称和相似变换，都是仿射变换的特例.1.2仿射变换为初等几何的某些问题提供了简捷的解题方法我们知道,平面几何中的特殊图形：圆、正三角形、菱形经过仿射变换作用后 ， 分别变成一般图形：椭圆、三角形、平行四边形 反之，仿射变换就可以将一般图形 变成它们对应的特殊图形由于特殊图形具有较多性质，所以原命题会变得容易证明例1已知平行四边形ABCD （如图1-1左）的边AB, CD上各有一点E , F且 EF AC ,试证明 AED与CDF的面积相等.图1-1DBFC证法1 （初等几何方法）AE CF即 B E C A E B而 CF CD =CF AB=CF AE CF EB=CF AE AE BF=AE BC=AE AD .1 .” S/aed =s i n DAE AE AD* 21sin. FCD CF CD2-S CDF .证法2 （仿射变换方法）设已知的平行四边形ABCD由一个正方形ABC D （如图1-1右）经过仿射变换 得到,且E 对应E , F 对应F , E,F 点分别在边AB ,B C上,E F AB .由于在正 方形ABCD中,.A E D亠C D F ,即两三角形的面积之比为1 1,则根据仿射理论“仿射变换保持两封闭图形面积之比不变”，可知上述图形的仿射对应图形：AED与 CDF的面积之比也为1 1,从而得证 AED与CDF的面积相等.在仿射几何中，图形在适当的仿射变换下都具有平行两线段长度之比、两封闭图 形面积之比不变性质，抓住这一点，不但能使命题证明变得简捷，而且还能推断出这 些性质在原图形中也成立,从而能构造出其他相关命题.例2设P是 ABC内任意一点,直线AP、BP、CP交BC、CA、AB于点D、E、PD PE PFAP 丄 BP 丄 CP _oF （如图 1-2）,则（1）+ +=1 ； （ 2）+ +=2 .AD BE CFAD BE CFC证法1 （初等几何方法）（1）如图1-2,分别过P、A作BC的垂线，垂足分别为P、A .则有1 BC PP*SPBC2PP PDSHBc1 BC AAAAAD .2同理PD PE PFAD BE CFS.PBC - SPCA - SPAB1 .S ABCPE S p c a PFS pabBE S abc CFS abc（2）因为皂二AD AP=1 _竺,等等,所以由（1）式立即可得（2）式.AD ADAD证法2 （仿射变换方法）（1）如图1-2,分别沿AB和AC方向作平行投影P G、P H .由仿射变换保简单比不变得:PD = DG = DHAD = BD = CD PD GHAD = BC .又丁PE = HC ； PF = GBBE BC ； CF BCPD+PE + PF=GH+HC+GB=1. AD BE CF BC BC BC（2）同证法1（ 2）.关于证法2,当然也可转化为初等几何方法,即作PG AB, PH AC 但这真正体现 出了高等几何的仿射变换即平行投影变换的观点，只是运用高等几何观点更能透彻 看出问题本质.2 2例3设椭圆的方程为:X2 y? = 1（a b 0）,（如图1-3）求与斜率为K的弦共a b轭的直径方程.*y图1-3证法1 （初等几何方法）设弦 AB 的直线方程为 y 二 kx m ,点 A(x“kx 1 m), B(x? kx? m), Cg,目3). 则有X3 =y3kx1 m kx? m2故所求直径方程为y x =X32m(kKx.将椭圆方程与弦方程联立方程组，可求得“洽.代入上述直径方程得证法2 （仿射变换方法）f=b 1 =a 设弦AB的直线方程为y=kx + m,则经仿射变换有 乂一&乂，即* 乂一&xy= yy将椭圆方程变为x 2 y b2，将弦方程变为yJ akx： m .而弦的共轭直径在圆中是b与此弦垂直的，其方程显然是y丄-上x ；此方程经上述仿射变换还原到椭圆中去即ak为所给弦的共轭直径方程y二一P x,即b2x a2ky二0.ak a变换思想是一类主要的数学思想.应用变换的方法去解题可使问题得到简化，从 而在在解题中取得较好的效果仿射变换就是几何变换中的一类重要变换从上述讨 论中可以得出应用仿射变换解题的步骤可概括如下：判断求解的问题是否能利用 仿射不变性质，仿射不变量求解，一般涉及到点共直线、直线共点、线段比、面积比 等一类问题皆可应用仿射变换解题；选择合适的仿射变换，找出所给图形的合适的仿射图形；在仿射图形中求证，写出具体的仿射变换及解题过程2用射影观点研究初等几何问题2.1笛沙格定理的应用 2.1.1笛沙格定理简介定义1平面内不共线的三点与每两点的连线所组成的图形叫做三点形平面内不共点的三直线与其每两直线的交点所组成的图形叫做三线性笛沙格定理：如果两个三点形对应顶点连线交于一点，则对应边的交点在同一直 线上笛沙格定理的逆定理：如果两个三点形对应边的交点在同一直线上，则对应顶点 的连线交于一点定义2若两个三点形的对应顶点的连线共点，且对应边的交点共线，则两三点形 构成透视关系对应顶点连线的交点叫做透视中心，对应边交点所在的直线叫做透视 轴2.1.2笛沙格定理应用举例例4证明：三角形的三条中线共点paCR a图2-1图2-2证法1 （初等几何方法）如图2-1,设 ABC三边的中线分别为AD、BE、CF ,且AD、CF相交于点O, 那么证明BE为边AC上的中线即可证明此结论.延长OE到点G ,使OG =OB.丁点O是BG的中点，点D是BC的中点，OD是BGC的一条中位线.AD CG .又丁点O是BG的中点，点F是AB的中点， 0F是BGA的一条中位线.CF AG ./ AD CG , CF AG ,.四边形AOCG是平行四边形.AC、OG互相平分.二AE =CE ,即BE为边AC上的中线.命题得证.证法2 (笛沙格定理逆定理)如图2-2,设CABC三边的中点分别为D、E、F ,则由三角形中位线定理可知，EF BC、DE AB、DF AC ,也就是说，EF和BC交于Q., DE和AB交于R., DF和AC交于P：.利用笛沙格定理的逆定理,考虑三点形ABC和三点形DEF ,它们的对应边的交点Q： :、R :、P.共无穷远直线,所以对应顶点的连线AD、BE、CF共点O.笛沙格定理是射影几何的理论基础，它的应用很广，许多定理以它为依据，对解决 中学几何的共点线、共线点问题颇为简洁有效2.2交比的应用2.2.1交比的有关概念和性质(1) 共线四点的交比的初等表示： 在欧式平面上，设Pl, P2, P3, P4是共线的相异四点Pl P3 P2P4则(P1P2,P3P4)，其中PiPj表示Pi到Pj得有向距离(i,j =123,4) P2 P3 P1P4若(P1P2, P3P4)- _1 ,则称P1, P2, P3, P4依此次序构成调和点组,并称此交比为调和 比.推论 设P1, P2,P为共线的通常点，P：:为此直线上的无穷远点，则P1P(P1P2, PP：)(P1P2P),P2P即为共线三点的简单比而且P为线段P1P2的中点二(P1P2, PP )-1.(2) 共点四直线交比的初等表示：在欧式平面上，设p1, p2, p3, p4是共点的相异四直线，则(P1P2, P3P4) =sin(P1p3)sin( P2P4),其中(pipj)表示由 pi 到 pj 的有向角sin( p2p3)sin( pp)(i, j =123,4).2.2.2在初等几何中的应用举例例5四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行 求证：另一条对角线的延长线平分对边交点连线的线段BDC图2-3图2-4证法1 （初等几何方法）设四边形ABCD中AB与CD交于M , AD与BC交于N且BD MN （如图2-3）, 求证：AC平分MN .过B作BD MD ,连接DD ,下证四边形BCDD是平行四边形.叮BD /MDAB AD*AM 一 AC又丁BD MNAB AD AM 一 ANAD AD AC AN故DD BN.四边形BC DD 是平行四边形,利用平行四边形的性质知 AC平分BD,且BD MN ,故AC的延长线交MN于L平分线段MN .证法2 （利用调和比）如图2-4,四边形ABCD中AB与CD交于M , AD与BC交于N .若AC与MN交 于L,则由完全四点形的调和性质知（MN.LPO -1 ,再由上述推论知L必为MN的 中占I 八、交比是射影几何的基本不变量，而调和比是最重要的一种交比，在射影几何的研 究中具有十分重要的作用运用交比的有关概念和性质来解决初等几何中的一些问 题,不仅降低了解决问题的难度，证明思路清晰，过程简洁，而且拓宽了我们的视野， 有助于我们站在新的高度上深入地理解初等几何的知识例6 （蝴蝶定理）如图2-5所示,设AB是L O的弦，M是AB的中点,过M任作二弦 CD , EF ,记P, Q为AB依次与CF , ED的交点.求证PM -MQ .23 BF43I2图2-6图2-6证法1 (用初等几何的方法)圆是以直径所在直线为对称轴的轴对称图形，那么如图2-5所示可作MF关于 OM的对称线段MF ,连接F Q , F D ,则FF _ OM , AB _ OM ,由此可知AB FF , 所以一 1=. 5 = . 6=. 1 .又.4-5 (四边形DFF E内接于圆)且.5-1-1,故.4=.，则四点D , F , M和Q共圆.所以，.2J/3.因.2 =/3,贝 U . 2=/2：又 MF =MF , . 1 =/1 ,则：PFM 三 QF M ,故 PM = MQ .证法2 (利用交比来证明)如图2-6,连接CA , CB , EA , EB ,以C为顶点的线束被直线AB所截，则有(CACD,CF CB) =(AM , PB).同样，以E为顶点的线束被直线AB所截，有(EA ED,EF EB) = (AQ,MB),由同弧所对的圆周角相等，从而有.1 =/，. 2=/2，, . 3=：/3,而sin ZACF sin NBCDsin si n(CACD,CF CB):sinNACBsin/DCF sinN(1 + 2*3)sin N2，sin _ 1sin 3(EAED, EF EB).sin. (12 3)sin 2故(AM ,PB) =(AQ,MB).即AP MB AM QBAB MP AB QM 又M为AB的中点，从而AM二MB,把AP二AM MP,QB二QM MB代入上式得：1 .如才.塑MP QM 故AM 二MB,从而PM 二MQ.在上述证法中，射影几何的方法简单，它只需计算一下交比，不但简捷,而且计算 交比的方法适用于所有二阶曲线，这样就自热地将蝴蝶推广到椭圆，双曲线和抛物线 上，不过这时二阶曲线中弦的中点却不能用垂足代替.不论是圆或一般的二阶曲线， 倘若M不是弦AB的中点，可令AM =a,MB =b,PM =p,MQ =q ,则有1111=.p q a b此式,通常称它为坎迪定理.3总结研究高等几何的思考方法及解题技巧，对于正确把握初等几何的解题实质和发展 脉络都大有好处作为合格的中学数学教师，要教好中学数学，不能只懂中学数学，而 要“站得更高，看得更远”，应拓宽视野，拓广思路,这样才能更好地把握中学数学的 内容.而关于坎迪定理在圆锥曲线中的推广应用，限于篇幅，此处不赘述.参考文献1 周兴和，高等几何北京：科学出版社，20072 李恩凤高等几何与初等几何的关系青年师专学报（自然科学）,3 高巧琴，雒志江高等几何在初等几何中的作用雁北师范学院学报，4 秦进用高等几何方法变换初等几何命题遵义师范学院学报，5 廖小勇高等几何在初等几何中的一些应用黔南民族师范学院学报，6 张莹高等几何在初等几何中的应用济南大学学报，7 胡炳生，吴俊，王佩瑾，孙国权，现代数学观点下的中学数学北京：高等教育出版社，2005仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerzielieiwecken verwendet werden.Pour l e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa des fins commerciales.to员bko gA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMucno 员 B30BaTbCEb KOMMepqeckuxqe 员 ex.以下无正文