高等几何模拟试题

高等几何试题（A）填空题（每题3分共15分）1、是仿射不变量，是射影不变量2、直线3xy0上的无穷远点坐标为3、过点（1,i,0）的实直线方程为4、二重元素参数为2与3的对合方程为5、二次曲线6x2y211y240过点P（1,2）的切线方程判断题（每题2分共10分）1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形（）2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变（）3、一个角的内外角平分线调和分离角的两边（）4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集（）5、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线（）、（7分）求一仿射变换，它使直线x2y10上的每个点都不变，且使点（1-1）变为（-1,2）四、（8分）求证：点A（1,2,1）,B（1,1,2）,C（3,0,5）三点共线，并求t,s使Ctasb，（i1,2,3）,3x2五、（10分）设一直线上的点的射影变换是x/3x=证明变换有两个自对应点，且这两自x4对应点与任一对对应点的交比为常数。六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。7、 （10分）（1）求点（5，1，7）关于二阶曲线2x123x22x326x1x22x1x34x2x30的极线（2）已知二阶曲线外一点P求作其极线。（写出作法，并画图）8、 （10分）叙述并证明德萨格定理的逆定理九、（10分）求通过两直线a1,3,1,b1,5,1交点且属于二级曲线4u12u222u320的直线十、（10分）已知A,B,P,Q,R是共线不同点,如果(PAQB)1,(QR,AB)1,求(PR,AB)高等几何试题（B）填空题（每题3分共15分）X7xy11、仿射变换7xy的不变点为y4x2y42、两点决定一条直线的对偶命题为3、直线i,2,1i上的实点为4、若交比（AB,CD）2则（AD,BC）5、二次曲线中的配极原则、判断题（每题2分共10分）1、不变直线上的点都是不变点（）2、在一复直线上有唯一一个实点（）3、两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应（）4、射影群仿射群正交群（）5、二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数（）、（7分）经过A（3,2）和B（6,1）的直线AB与直线x3y60相交于P,求（ABP）四、（8分）试证：欧氏平面上的所有平移变换的集合构成一个变换群五、（10分）已知直线Li,L2,L3,L4的方程分别为2xy10,3xy20,7xy0,5x10求证四直线共点，并求(LiLzLsL4)六、（10分）利用德萨格定理证明：任意四边形各对对边中点的连线与二对角线中点的连线相交于一占八、七、（10分）求二阶曲线X122x223x32x1x30过点P（2,J5,1）的切线方程（2）二级曲线u12u2217u320在直线L1,4,1上的切点方程八、（10分）叙述并证明德萨格定理定理（可用代数法）九、（10分）已知二阶曲线（C）：2x124x,x26x1x3x320（1） 求点P（1,2,1）关于曲线的极线（2） 求直线3斗x26x30关于曲线的极点十、（10分）试证：圆上任一点与圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束高等几何试题（Q、填空题（每题3分共15分）x/2xy16、直线xy20在仿射变换,下的像直线yxy37、X轴Y轴上的无穷远点坐标分别为8、过点（1,-i,2）的实直线方程为9、射影变换230自对应元素的参数为10、 二级曲线u12u2217u320在直线上1,4,1的切点方程三、判断题（每题2分共10分）1、仿射变换保持平行性不变（）2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变（）3、线段中点与无穷远点调和分离两端点（）4、如果P点的极线过Q点，则Q点的极线也过P点（）5、不共线五点可以确定一条二阶曲线（）,2x1三、（7分）已知OX轴上的射影变换x与，求坐标原点，无穷远点的对应点x3四、（8分）已知直线a,c,d的方程分别为2斗x2x30,x1x2x30,x10且（ab,cd）2求直线b的方程。3五、（10分）已知同一直线上的三点A,B,C求一射影变换使此三点顺次变为B,C,A并判断变换的类型，6、 （10分）求证:两直线所成角度是相似群的不变量。7、 （10分）求射影变换x2x2的不变点坐标x3x38、 （10分）叙述并证明帕斯卡定理九、（10分）求通过两直线a1,3,1,b1,5,1交点且属于二级曲线4u12u222u320的直线十、 （ 10 分）试证：双曲型对合的任何一对对应元素PP，与其两个二重元素E,F调和共轭即(PP,EF)=-1高等几何标准答案(A)填空题:(每空3分共15分)、.一、一一一、一一1、单比，交比2、(1,-3,0)3、x304、25()1205、12x17x226x30二、判断题(每题2分共10分)1、错，2、错，3、对,4、错，5、对三、解：在直线x2y10上任取两点A(1,0),B(1,1)2分由 A(1,0)A(1,0),B(1,1)B(1,1),(1,1)(1,2)设仿射变换为xya2ya22 ya13将点的坐标代入可解得a23x2x2y12y12四、证明：因为 113 0120所以三点共线5由：t s 3,2t s 0, t 2s5 解得t 1,s所以gai2,(i1,2,3)3x2五、证明：令xx由x3得x2x20解得x11,x22x4即有两个自对应点4分设k与k曳工对应，有(1)(2),kk)勺为常数10分k42，2注：结果有2也对，不过顺序有别。5六、证明：设两直线为:a: y k1x b),b: y k2x b2xaxbyc22相似变换为：,ya2b20ybxayd将变换代入直线a的方程得：k1kabk2ab八同理可得k2-5分ak1bak2b即tana,btana,b10分二阶曲线矩阵为所以点P的极线为S=00 得 x 2=0（2）略即两直线的夹角是相似群的不变量七、解：（1）设（5,1,7）为P点坐标,231A=3321212314即SP（5,1,7）332x2121X3八（在后边）九、解：通过直线a1,3,1,b1,5,1的交点的直线的线坐标为1k,35k,1k若此直线属于二阶曲线则有4(122k)2(35k)222(1k)20_2_27k42k110解得k1k3,k119解10(PA,QB)1,得(PAQB)PA(B,QAk2B,RAk3B3(AB,PQ)(PQ,AB)21k1(PQ,AB)k12k2(qr,ab)1,彳#(AB,QR)k21k3k3k2所以(PR,AB)(AB,PR)k1k310分八、德萨格定理的逆定理：如果两个三点形的对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点。4分证明；如图三点形ABC与A1B1C1的三对应边交点L,M,N共线，证明对应顶点连线共点，考虑三点形BLB1与CMCi则有对应顶点连线共点N，故对应边的交点A,Ai,0共线A1高等几何标准答案（B）1、（填空题：（每题3分共15分）2、两条直线确定一个交点，3、（2,1,2）4、5、如果P点的极线过点Q则Q点的极线也过P点。判断题：（每题2分共10分）1、错，2,对，3、错，4、对，5、对三、解：过A,B的直线方程为：x9y15一33直线AB与x3y60的交点为P(-,-)22所以(ABP) 1四、证明：设平移变换的表达式为T:设任意两个平移变换为:a1,T2 bia2 则 T2Tl :b2a1 bia2仍为一个平移变换4分b2也是一个平移变换又对任意变换T:所以平移变换的集合关于变换的乘法构成群。五、解:方程转化为齐次坐标形式2x1乂2x30,3为乂22x30,7x1乂20,5x1 x3 00所以四直线共点。因为:L3L2, L4L1L2所以:(L2L1LL4) 2故(L1L2LL4)10分六、证明：如图D与RM相交于无穷，三点形对应顶点连线共点。即PR,GE,HM相交于一点.10分考虑三点形PEH与RGM则GH平行BC,RM也平行BC所以GH远处。同理HE与GM,PE与GR相交于无穷远处.故共线有的萨格定理七、(1)因为点P在二阶曲线上，所以切线方程为:Sp=(2, J”Xi3x1 2.10x2 4x3 0(2)因为直线1Tl=(1, 4, 1)17X3在二级曲线上所以切点方程为u1u2 u1 4u2 17u3 010分U3八、证明：(1)如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应线的交点在一条线上。3分n1C1同理 O mB色B1,O nC故有kA (A(mB m1B1)0 即 kA mBm1B1 k1A L同理mBnC(m1B1n1c1)MnCkA(n1Gk1A)N三式相加得LMN0所以三点共线。10分九、解：(1)P点的极线为：223x1Sp=(1,2,1)200x29xi+2x2+4x3=0301x3（2）设直线的极点为（a,b,c）则有2 23a31八200b1解方程组可得极点（2,6）10分23 01c6十、证明：如图ABCD为圆内接正方形，P为圆上任意点。因为ADAB所以PA为角DPB的平分线。同理可证明 PC是角EPB平分线。即PA, PC是角DPB的内外角平分线。所以直线10分PD,PA,PB,PC构成调和线束。高等几何标准答案（C）一、填空题：（每题3分共15分）一.一1、2xy102、（1,0,0）,（0,1,0）3、2x1x304、-1,35、u14u217u30二、判断题：（每题2分共10分）4、对，5、x124 x21、对，2、错，3、对，三、解：变换化为齐次坐标形式：将坐标原点(0,1),无穷远点(1,0)代入得对应点分别为:(1,3)和(2,四、解：由题意得1)dackc则(ab,cd)k而(ac,bd)1(ab,cd)123)所以kb2x12x2X35(X1X2X3)整理得：11k2X22x30五、解：在直线上建立适当坐标系使A,B,C的坐标分别为A(0,1),B(1,1),C(1,0)则有A(0,1)B(1,1),B(1,1)C(1,0),C(1,0)A(0,1)设变换为X11X1a12X2将坐标代入可求得X2a21X1a22X2X2X2X1X2非齐次形式为:XXX因方程X210无实数解所以变换是椭圆形。10分六、证明：设两直线为:k1Xb,b：yk2Xb2相似变换为：by22a2b20bxay的方程得:k1kab同理可得k2ak1bk2aak2b将变换代入直线a七、解:即tana,btana,b即两直线的夹角是相似群的不变10X2八、由特征方程：1代入方程组0时不变点歹U。0得(1-)30即14分0X1x200x200x303得x20对任意一个内接于非退化二阶曲线的简单六点形,证明:如图,故X20上的点都是不变点10分它的三对对边的交点在一条直线上O对应边交点分别为L,M,N,以A,A3为射心NAT)与A3(A4,A2,A,A)成射影对应，而A(A4,A2,A6,A5)与点列(A4,L,E,A,)成透视对应AAAA,生)与点列(F,MA,A)成透视对应所以点列(A4,L,E,A5)与(F,M,A,A)成射影对应.而A位自对应点，所以两点列成透视对应。故对应点连线共点.即A4FJM,EA共点，A3A4与AA交点N在LM上。10分九解：通过直线a1,3,1,b1,5,1的交点的直线的线坐标为1k,35k,1k若此直线属于二阶曲线则有4(1k)2(35k)22(1k)20即27k242k1101-11斛得k一，k所求直线的坐标1,2,2和-1,14,1010分39十、证明：E,F为自对应元素，P与P1对应则有(PR,EF)(PP,EF)而(PR,EF)1(RP ,EF)所以(PP,EF)1(P,EF)得(PR,EF)2 1因为P,P不10分局等几重合故(PP,EF)何试题一、填空题(每题3分共27分)1、两个三角形面积之比是()。2、相交于影消线的二直线必射影成()。3、如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做()。4、一点x(Xi,X2,X3)在一直线uu,U2,U3上的充要条件是()。5、已知(PlP2，P3P4)3,则(p4P3,p2P1)=(),(PlP3,P2P4)=()。6、如果四直线Pl,P2,P3,P4满足(P1P2,P3P4)1,则称线偶P3，P4和P1，P2()。7、两个点列间的对应是射线对应的充要条件是().8、不在二阶曲线上的两个点P(PiP2P3),Q(qqs)关于二阶曲线SajXiXj0成共钝点的充要条件是()。9、仿射变换成为相似变换的充要条件是()。二、计算题(每题8分，共56分)221、计算椭圆的面积(椭圆方程：斗41a,b0)ab2、求共点四线 l1：y (x, I2: y k?X, jy k3X , I4: yk4X的交比。3 求射影变换x2x2 的不变元素 .x3x34求二阶曲线6x12x2224x3211x2x30经过点P(1,2,1)的切线方程。5求双曲线x22xy3y22x4y0的渐近线方程。6求抛物线2x24xy2y24x10的主轴和顶点。7、求使三点O(0,)，E(1,1)，P(1,1)顺次变到点O(2,3),E(2,5)，P(3,7)的仿射变换。三、已知A(1,2,3)，B(5,1,2),C(11,0,7),D(6,1,5)，验证它们共线并求(AB,CD)的值。(8分)求证：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二阶曲线。(9分)答案：一、1、仿射不变量2、平行直线3、透视中心4、u1x1u2x2u3x305、326、调和分离7、任何四个对应点的交比相等8、Spq09、这个变换使圆点保持不变221、解：设在笛氏直角坐标系下椭圆的方程为a2/1xx经过仿射变换ay【yb其对应图形为圆。x2y2a2在仿射变换之下，A A , B B , OO ,所以aob对应aob ,其中AA,根据定理3.6推论2,有椭圆面积圆面积S,. AOBS AOB所以椭圆面积1ab 2因此所给椭圆的面积为ab.2、解:化为齐次方程：lx? Kx 0l2: x2 k2x10I3 ： x2卜340l4: x2 k4x1取a:x20,b:xi0为基线，则有li(akib)/(ak2b),k(ak3b)4(ak%b)由定理1.11的推论，得(IhW)(Kk3)(“(k2k3)(k1k4)1003、解:由方程0100001得(1)(1)(1)0所以11,21(重根)（1i）yi0y20y30将1代入（3.4.3）彳#0yi（11烧0y300yi0y2（11）y30于是得y10为不变点列（即y轴），y10这条直线上的点都是不变点,因此这条直线是不变直线。4、解：将P点的坐标代入二阶曲线方程中得Spq0所以P点在二阶曲线上，故切线方程为Sp0p600X1即(1,2,1)01112X20011224x3亦即12x1 7x2 26x3为所求切线方程。5、解：设渐近线的方程为a11X1a12X2a13X3k(a12X1a22X2a32X3)0根据(2.9)有3k22k10解之，得k11,k21,所以渐近线方程为31xy1(x3y2)0和xy1-(x3y2)0化简，得所求为2x2y10和2x6y50o6、解：因为A312024人代入(4。11),得主轴为4(2x2y2)4(2x2y)0即2x2y10C22解方程2x4xy2y4x102x2y10得顶点之坐标为(3,1).887、解:设所求仿射变换为xa0a12y甚ya21xa22ya23于是有2ai33a232aiiai2ai3a2ia22a233OnOi2a137a2ia22a23解此方程组，得a132,a233,aig,a121,a214,a22611_故所求的仿射变换为x2x2y2y4x6y3三、解:因为12351201107所以A,B,C,D共线.设CA1B,DA2B由11125,022(1),7322得12同理可得21所以（AB,CD）22四、证明：射影平面上建立了射影坐标后，设两个线束的方程分别为:0（1）0由于它们是射影对应，所以，满足：abcd0（adbc0）（3）从（1）,（2）,中消去，得a（一）（一）b（-）c（）d0即abcd0（1。3）这里，都是关于X1,X2,X3的一次齐次式，所以（1。3）式表示一条二阶曲线.由于0,0的交点坐标和0,0的交点坐标都满足（1.3）。所以形成二阶曲线的两个线束的中心也在这条二阶曲线