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第二讲函数与方程及函数的应用 必记公式几种常见的函数模型(1)一次函数模型：yaxb(a0)(2)二次函数模型：yax2bxc(a0)(3)指数函数模型：yabxc(b0且b1)(4)对数函数模型：yblogaxc(a0且a1，x0)(5)分段函数模型：f(x)(D1D2)重要性质1函数的零点及函数的零点与方程根的关系对于函数f(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数f(x)的零点，函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标2零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0.这个c也就是方程f(x)0的一个根失分警示1函数的零点不是点的坐标，而是函数值等于零的点的横坐标2函数零点存在性定理要求函数图象是连续不断的并且有f(a)f(b)0这两个条件同时成立3满足零点存在性定理的条件时得出函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，但零点个数不确定；反之函数在a，b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，f(2)3log2220，f(3)2log230，f(4)log2421，函数f(x)的零点个数即为函数ysin2x与y|ln (x1)|(x1)的图象的交点个数分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f(x)有两个零点答案2题型3利用零点个数或存在区间求参数的取值范围典例320xx湖南高考已知函数f(x)若存在实数b，使函数g(x)f(x)b有两个零点，则a的取值范围是_解析令(x)x3(xa)，h(x)x2(xa)，函数g(x)f(x)b有两个零点，即函数yf(x)的图象与直线yb有两个交点，结合图象可得ah(a)，即aa2，解得a1，故a(，0)(1，)答案(，0)(1，)1判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f(x)0，则方程解的个数即为零点的个数(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在a，b上是连续的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点(3)数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点2利用函数零点求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解考点函数与方程的综合应用典例示法典例4(1)20xx江苏高考已知函数f(x)|ln x|，g(x)则方程|f(x)g(x)|1实数根的个数为_解析f(x)g(x)当1x2时，f(x)g(x)2x0故当1x0时，f(x)的解析式当0x1时，x10，则f(x)f(x1)2x11.当1x2时，x20，则f(x)f(x1)f(x2)2x21，由此得，n1xn时，f(x)2xn1(nN*)，由此得，f(x)方程f(x)log (x1)的根的个数，即是函数yf(x)与ylog (x1)的图象的交点个数，画图象如图所示：由图象得知，f(x)log (x1)的根有两个答案2应用函数思想确定方程解的个数的两种方法(1)转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解(2)分离参数、转化为求函数的值域问题求解针对训练120xx山东高考已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A. B.C(1,2) D(2，)答案B解析画出f(x)|x2|1的图象如图所示. 由数形结合知识，可知若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则函数g(x)与f(x)的图象应有两个不同的交点所以函数g(x)kx的图象应介于直线yx和yx之间，所以k的取值范围是.220xx沈阳质检已知函数f(x)若方程f(x)ax1恰有一个解，则实数a的取值范围是_答案解析如图，当直线yax1过点B(2,2)时，a，满足方程有两个解；当直线yax1与f(x)2(x2)的图象相切时，a，满足方程有两个解；当直线yax1过点A(1,2)时，a1，满足方程恰有一个解故实数a的取值范围为.考点函数的实际应用典例示法典例5提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)解(1)由题意：当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb，再由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意及(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，f(x)取得最大值，其最大值为60201200；当200，则a的取值范围是()A(2，) B(1，)C(，2) D(，1)答案C解析当a0时，显然f(x)有2个零点，不符合题意；当a0时，f(x)3ax26x3x(ax2)，易知函数f(x)在(，0)上单调递增又f(0)1，当x时，f(x)x2(ax3)1，故不适合题意；当a0就满足题意由f0，得10，解得a2(舍去)，故a0，且a1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|2x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析当x0时，f(x)单调递减，必须满足0，故0a，此时函数f(x)在0，)上单调递减，若f(x)在R上单调递减，还需3a1，即a，所以a.结合函数图象，当x0时，函数y|f(x)|的图象和直线y2x有且只有一个公共点，即当x0时，方程|f(x)|2x只有一个实数解因此，只需当x0时，方程|f(x)|2x恰有一个实数解根据已知条件可得，当x0，即只需方程f(x)2x恰有一个实数解，即x2(4a3)x3a2x，即x22(2a1)x3a20在(，0)上恰有唯一的实数解判别式4(2a1)24(3a2)4(4a27a3)4(a1)(4a3)，因为a，所以0.当3a20，即a0，即a时，因为(2a1)0，此时方程x22(2a1)x3a20有两个负实根，不满足要求；当a时，方程x22(2a1)x3a20有两个相等的负实根，满足要求综上可知，实数a的取值范围是.320xx天津高考已知函数f(x)函数g(x)bf(2x)，其中bR.若函数yf(x)g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析函数yf(x)g(x)恰有4个零点，即方程f(x)g(x)0，即bf(x)f(2x)有4个不同的实数根，即直线yb与函数yf(x)f(2x)的图象有4个不同的交点又yf(x)f(2x)作出该函数的图象如图所示，由图可得，当b1时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解综上，函数f(x)的零点只有0.220xx北京昌平三模已知函数f(x)ln x，则函数g(x)f(x)f(x)的零点所在的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案B解析函数f(x)的导数为f(x)，所以g(x)f(x)f(x)ln x.因为g(1)ln 1110，所以函数g(x)f(x)f(x)的零点所在的区间为(1,2)，故选B.320xx郑州质检已知函数f(x)xcosx，则f(x)在0,2上的零点个数为()A1 B2C3 D4答案C解析作出g(x)x与h(x)cosx的图象，可以看到其在0,2上的交点个数为3，所以函数f(x)在0,2上的零点个数为3，故选C.4已知函数yf(x)的周期为2，当x1,1时，f(x)x2，那么函数yf(x)的图象与函数y|lg x|的图象的交点共有()A10个 B9个 C8个 D1个答案A解析在同一平面直角坐标系中分别作出yf(x)和y|lg x|的图象，如图又lg 101，由图象知选A.520xx北京高考汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是()A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油答案D解析对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误对于B选项，由图可知甲车消耗汽油最少对于C选项，甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L汽油，所以C错误对于D选项，当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确620xx郑州质量预测(一)设函数f(x)ex2x4，g(x)ln x2x25，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则()Ag(a)0f(b) Bf(b)0g(a)C0g(a)f(b) Df(b)g(a)0答案A解析依题意，f(0)30，且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内，即0a1.g(1)30，函数g(x)的零点在区间(1,2)内，即1bf(1)0.又函数g(x)在(0,1)内是增函数，因此有g(a)g(1)0，g(a)0f(b)，选A.720xx湖北宜昌模拟某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数yf(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为()A上午10：00 B中午12：00C下午4：00 D下午6：00答案C解析当x0,4时，设yk1x，把(4,320)代入，得k180，y80x.当x4,20时，设yk2xb.把(4,320)，(20,0)代入得解得y40020x.yf(x)由y240，得或解得3x4或41,0blog321，令f(x)0，得axxb.在同一平面直角坐标系中画出函数yax和yxb的图象，如图所示，由图可知，两函数的图象在区间(1,0)内有交点，所以函数f(x)在区间(1,0)内有零点，所以n1.920xx河北唐山模拟已知f(x)且函数yf(x)ax恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是_答案解析当x0时，f(x)(x1)2，把函数f(x)在1,0)上的图象向右平移一个单位，即得函数yf(x)在0,1)上的图象，继续右移可得函数f(x)在0，)上的图象如果函数yf(x)ax恰有3个不同的零点，即函数yf(x)，yax的图象有三个不同的公共点，实数a应满足a或a，即a0；对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n0；对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得mn；对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得mn.其中的真命题有_(写出所有真命题的序号)答案解析因为f(x)2x在R上是单调递增的，所以对于不相等的实数x1，x2，m0恒成立，正确；因为g(x)x2ax，所以nx1x2a，正负不定，错误；由mn，整理得f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)令函数p(x)f(x)g(x)2xx2ax，则p(x)2xln 22xa，令t(x)p(x)，则t(x)2x(ln 2)22，又t(1)2(ln 2)220，从而存在x0(1,3)，使得t(x0)2x0(ln 2)220，于是p(x)有极小值p(x0)2x0ln 22x0a2log2a，所以存在a2log2，使得p(x0)0，此时p(x)在R上单调递增，故不存在不相等的实数x1，x2，使得f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)，不满足题意，错误；由mn，得f(x)g(x)，即a2xln 22x.设h(x)2xln 22x，则h(x)2x(ln 2)220，所以h(x)在R上是单调递增的，且当x时，h(x)；当x时，h(x)，所以对于任意的a，ya与yh(x)的图象一定有交点，正确三、解答题1120xx湖南浏阳一中段考已知二次函数f(x)的最小值为4，且关于x的不等式f(x)0的解集为x|1x3，xR(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)4ln x的零点个数解(1)f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)0的解集为x|1x3，xR，设f(x)a(x1)(x3)ax22ax3a，且a0.a0，f(x)a(x1)244，又f(1)4a，f(x)min4a4，a1.故函数f(x)的解析式为f(x)x22x3.(2)g(x)4lnxx4ln x2(x0)，g(x)1.x，g(x)，g(x)的取值变化情况如下：x(0,1)1(1,3)3(3，)g(x)00g(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增当0x3时，g(x)g(1)40，g(x)在(3，)上单调递增，g(3)4ln 33，g(e5)e52022512290.故函数g(x)只有1个零点，且零点x0(3，e5)1220xx山东菏泽期中已知一家公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元，设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润年销售收入年总成本)解(1)当010时，WxR(x)(102.7x)982.7x.W(2)当00，当x(9,10时，W10时，W9898238，当且仅当2.7x，即x时，W38，故当x时，W取最大值38(当1000x取整数时，W一定小于38)综合知，当x9时，W取最大值，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大
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