高考数学 一轮复习：直线、平面平行的判定及性质教学案含解析

第四节直线、平面平行的判定及性质知识能否忆起一、直线与平面平行1判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行 a2性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 ab二、平面与平面平行1判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 2两平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ab小题能否全取1(教材习题改编)下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是()A一个平面内的一条直线平行于另一个平面B一个平面内的两条直线平行于另一个平面C一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析：选D由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故D正确2已知直线a，b，平面，则以下三个命题：若ab，b，则a；若ab，a，则b；若a，b，则ab.其中真命题的个数是()A0B1C2 D3解析：选A对于命题，若ab，b，则应有a或a，所以不正确；对于命题，若ab，a，则应有b或b，因此也不正确；对于命题，若a，b，则应有ab或a与b相交或a与b异面，因此也不正确3(教材习题改编)若一直线上有相异三个点A，B，C到平面的距离相等，那么直线l与平面的位置关系是()Al BlCl与相交且不垂直 Dl或l解析：选D由于l上有三个相异点到平面的距离相等，则l与可以平行，l时也成立4平面平面，a，b，则直线a，b的位置关系是_解析：由可知，a，b的位置关系是平行或异面答案：平行或异面5(20xx衡阳质检)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为_解析：如图连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OEBD1，而OE平面ACE，BD1平面ACE，所以BD1平面ACE.答案：平行1.平行问题的转化关系：判定性质2在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”3辅助线(面)是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有关平行性质的应用线面平行、面面平行的基本问题典题导入例1(20xx福建高考)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_自主解答因为直线EF平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C平面ABCDAC，所以EFAC.又因为点E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得EFAC.又因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，所以AC2.所以EF.答案本例条件变为“E是AD中点，F，G，H，N分别是AA1，A1D1，DD1与D1C1的中点，若M在四边形EFGH及其内部运动”，则M满足什么条件时，有MN平面A1C1CA.解：如图，GN平面AA1C1C，EG平面AA1C1C，又GN EGG，平面EGN平面AA1C1C.当M在线段EG上运动时，恒有MN平面AA1C1C.由题悟法解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意：(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确以题试法1(1)(20xx浙江高三调研)已知直线l平面，P，那么过点P且平行于直线l的直线()A只有一条，不在平面内B有无数条，不一定在平面内C只有一条，且在平面内D有无数条，一定在平面内解析：选C由直线l与点P可确定一个平面，且平面，有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l，所以lm，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面内(2)(20xx潍坊模拟)已知m，n，l1，l2表示直线，表示平面若m，n，l1，l2，l1l2M，则的一个充分条件是()Am且l1Bm且nCm且nl2 Dml1且nl2解析：选D由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知.直线与平面平行的判定与性质典题导入例2(20xx辽宁高考)如图，直三棱柱ABCABC，BAC90，ABAC，AA1，点M，N分别为AB和BC的中点(1)证明：MN平面AACC；(2)求三棱锥AMNC的体积(锥体体积公式VSh，其中S为底面面积，h为高)自主解答(1)证明：法一：连接AB、AC，因为点M，N分别是AB和BC的中点，所以点M为AB的中点又因为点N为BC的中点，所以MNAC.又MN平面AACC，AC平面AACC，因此MN平面AACC.法二：取AB的中点P.连接MP.而点M，N分别为AB与BC的中点，所以MPAA，PNAC.所以MP平面AACC，PN平面AACC.又MPPNP，因此平面MPN平面AACC.而MN平面MPN，因此MN平面AACC.(2)法一：连接BN，由题意得ANBC，平面ABC平面BBCCBC，所以AN平面NBC.又ANBC1，故VAMNCVNAMCVNABCVANBC.法二：VAMNCVANBCVMNBCVANBC.由题悟法利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线以题试法2(20xx淄博模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BD，BB1的中点(1)求证：EF平面A1B1CD；(2)求证：EFAD1.解：(1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，连接B1D，在平面BB1D内，E，F分别为BD，BB1的中点，EFB1D.又B1D平面A1B1CD.EF平面A1B1CD，EF平面A1B1CD.(2)ABCDA1B1C1D1是正方体，AD1A1D，AD1A1B1.又A1DA1B1A1，AD1平面A1B1D.AD1B1D.又由(1)知，EFB1D，EFAD1.平面与平面平行的判定与性质典题导入例3如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AEFC1B1G1，H是B1C1的中点(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)求证：平面A1GH平面BED1F.自主解答(1)在正方形AA1B1B中，AEB1G1，BGA1E2，BG綊A1E.四边形A1GBE是平行四边形A1GBE.又C1F綊B1G，四边形C1FGB1是平行四边形FG綊C1B1綊D1A1.四边形A1GFD1是平行四边形A1G綊D1F.D1F綊EB.故E，B，F，D1四点共面(2)H是B1C1的中点，B1H.又B1G1，.又，且FCBGB1H90，B1HGCBF.B1GHCFBFBG.HGFB.GH面FBED1，FB面FBED1，GH面BED1F.由(1)知A1GBE，A1G面FBED1，BE面FBED1，A1G面BED1F.且HGA1GG，平面A1GH平面BED1F.由题悟法常用的判断面面平行的方法(1)利用面面平行的判定定理；(2)面面平行的传递性(，)；(3)利用线面垂直的性质(l，l)以题试法3(20xx北京东城二模)如图，矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MBNC，MNMB.(1)求证：平面AMB平面DNC；(2)若MCCB，求证：BCAC.证明：(1)因为MBNC，MB平面DNC，NC平面DNC，所以MB平面DNC.又因为四边形AMND为矩形，所以MADN.又MA平面DNC，DN平面DNC.所以MA平面DNC.又MAMBM，且MA，MB平面AMB，所以平面AMB平面DNC.(2)因为四边形AMND是矩形，所以AMMN.因为平面AMND平面MBCN，且平面AMND平面MBCNMN，所以AM平面MBCN.因为BC平面MBCN，所以AMBC.因为MCBC，MCAMM，所以BC平面AMC.因为AC平面AMC，所以BCAC.1(20xx浙江模拟)已知直线m平面，直线n平面，则下列命题正确的是()A若n，则B若，则mnC若mn，则 D若，则mn解析：选D由m，nmn.2平面平面的一个充分条件是()A存在一条直线a，a，aB存在一条直线a，a，aC存在两条平行直线a，b，a，b，a，bD存在两条异面直线a，b，a，b，a，b解析：选D若l，al，a，a，a，a，故排除A.若l，a，al，则a，故排除B.若l，a，al，b，bl，则，b，故排除C.3.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点， 在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A不存在B有1条C有2条D有无数条解析：选D由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行4(20xx浙江模拟)已知，是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：a，b；a，b；b，a.如果命题“a，b，且_，则ab”为真命题，则可以在横线处填入的条件是()A或 B或C或 D只有解析：选C由定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行”可得，横线处可填入条件或，结合各选项知，选C.5.(20xx开封模拟)如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AEEBAFFD14，又H、G分别为BC，CD的中点，则()ABD平面EFGH，且四边形EFGH是矩形BEF平面BCD，且四边形EFGH是梯形CHG平面ABD，且四边形EFGH是菱形DEH平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形解析：选B由AEEBAFFD14知EF綊BD，EF面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，HG綊BD，EFHG且EFHG.四边形EFGH是梯形6(20xx山西四校联考)在空间内，设l，m，n是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是()A，l，则lBl，l，m，则lmCl，m，n，lm，则lnD，则或解析：选D对于A，如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，该命题是真命题；对于B，如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，该命题是真命题；对于C，如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，该命题是真命题；对于D，当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，D不正确7设a，b为空间的两条直线，为空间的两个平面，给出下列命题：若a，a，则；若a，a，则；若a，b，则ab；若a，b，则ab.上述命题中，所有真命题的序号是_解析：错误因为与可能相交；错误因为直线a与b还可能异面、相交答案：8已知平面，P且P，过点P的直线m与，分别交于A.C，过点P的直线n与，分别交于B，D，且PA6，AC9，PD8则BD的长为_解析：如图1，ACBDP，经过直线AC与BD可确定平面PCD.，平面PCDAB，平面PCDCD，ABCD.，即.BD.如图2，同理可证ABCD.，即.BD24.综上所述，BD或24.答案：或249(20xx浙江模拟)下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出直线AB平面MNP的图形的序号是_(写出所有符合要求的图形序号)解析：对于，注意到该正方体的经过直线AB的侧面与平面MNP平行，因此直线AB平行于平面MNP；对于，注意到直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交，因此直线AB与平面MNP相交；对于，注意到直线AB与MP平行，且直线AB位于平面MNP外，因此直线AB与平面MNP平行；对于，易知此时AB与平面MNP相交综上所述，能得出直线AB平行于平面MNP的图形的序号是.答案：10(20xx西安模拟)如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CEDF，DEF90.(1)求证：BE平面ADF；(2)若矩形ABCD的一边AB，EF2，则另一边BC的长为何值时，三棱锥FBDE的体积为？解：(1)证明：过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM.因为CEDF，所以四边形CEMD是平行四边形可得EMCD且EMCD，于是四边形BEMA也是平行四边形，所以有BEAM.而AM平面ADF，BE平面ADF，所以BE平面ADF.(2)由EF2，EMAB，得FM3且MFE30.由DEF90可得FD4，从而得DE2.因为BCCD，BCFD，所以BC平面CDFE.所以，VFBDEVBDEFSDEFBC.因为SDEFDEEF2，VFBDE，所以BC.综上当BC时，三棱锥FBDE的体积为.11.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，且AB2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由解：存在这样的点F，使平面C1CF平面ADD1A1，此时点F为AB的中点，证明如下：ABCD，AB2CD，AF綊CD，四边形AFCD是平行四边形，ADCF.又AD平面ADD1A1，CF平面ADD1A1.CF平面ADD1A1.又CC1DD1，CC1平面ADD1A1，DD1平面ADD1A1，CC1平面ADD1A1，又CC1，CF平面C1CF，CC1CFC，平面C1CF平面ADD1A1.12(20xx潍坊二模)如图，点C是以AB为直径的圆上一点，直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直，且DEBC，DCBC，DEBC2，ACCD3.(1)证明：EO平面ACD；(2)证明：平面ACD平面BCDE；(3)求三棱锥EABD的体积解：(1)证明：如图，取BC的中点M，连接OM，ME.在ABC中，O为AB的中点，M为BC的中点，OMAC.在直角梯形BCDE中，DEBC，且DEBCCM，四边形MCDE为平行四边形EMDC.平面EMO平面ACD，又EO平面EMO，EO平面ACD.(2)证明：C在以AB为直径的圆上，ACBC.又平面BCDE平面ABC，平面BCDE平面ABCBC.AC平面BCDE.又AC平面ACD，平面ACD平面BCDE.(3)由(2)知AC平面BCDE.又SBDEDECD233，VEABDVABDESBDEAC333.1若平面平面，直线a平面，点B，则在平面内与过B点的所有直线中()A不一定存在与a平行的直线B只有两条与a平行的直线C存在无数条与a平行的直线D存在唯一与a平行的直线解析：选A当直线a在平面内且经过B点时，可使a平面，但这时在平面内过B点的所有直线中，不存在与a平行的直线，而在其他情况下，都可以存在与a平行的直线2(20xx南宁二模)如图所示，在四面体ABCD中，M，N分别是ACD，BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_解析：连接AM并延长，交CD于E，连接BN，并延长交CD于F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点E，由，得MNAB.因此，MN平面ABC且MN平面ABD.答案：平面ABC，平面ABD3(20xx北京东城区模拟)一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M，N分别是AB，AC的中点，G是DF上的一动点(1)求该多面体的体积与表面积；(2)求证：GNAC；(3)当FGGD时，在棱AD上确定一点P，使得GP平面FMC，并给出证明解：(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱，在ADF中，ADDF，DFADDCa，所以该多面体的体积为a3.表面积为a22a2a2a2(3)a2.(2)连接DB，FN，由四边形ABCD为正方形，且N为AC的中点知B，N，D三点共线，且ACDN.又FDAD，FDCD，ADCDD，FD平面ABCD.AC平面ABCD，FDAC.又DNFDD，AC平面FDN.又GN平面FDN，GNAC.(3)点P与点A重合时，GP平面FMC.取FC的中点H，连接GH，GA，MH.G是DF的中点，GH綊CD.又M是AB的中点，AM綊CD.GHAM且GHAM.四边形GHMA是平行四边形GAMH.MH平面FMC，GA平面FMC，GA平面FMC，即当点P与点A重合时，GP平面FMC.1已知m，n，l为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A，m，nmn Bl，lCm，mnn D，ll解析：选D对于选项A，m，n平行或异面；对于选项B，可能出现l这种情形；对于选项C，可能出现n这种情形2.如图，三棱柱ABCA1B1C1，底面为正三角形，侧棱A1A底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC2FB.当点M在何位置时，BM平面AEF?解：法一：如图，取AE的中点O，连接OF，过点O作OMAC于点M.侧棱A1A底面ABC，侧面A1ACC1底面ABC，OM底面ABC.又EC2FB，OM綊FB綊EC.四边形OMBF为矩形BMOF.又OF面AEF，BM面AEF.故BM平面AEF，此时点M为AC的中点法二：如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，PQAE.EC2FB，PE綊BF，PBEF，PQ平面AEF，PB平面AEF.又PQPBP，平面PBQ平面AEF，又BQ面PQB，BQ平面AEF.故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点3(20xx蚌埠二中质检)如图1所示，在RtABC中，AC6，BC3，ABC90，CD为ACB的角平分线，点E在线段AC上，CE4.如图2所示，将BCD沿CD折起，使得平面BCD平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点(1)求证：DE平面BCD；(2)若EF平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥BDEG的体积解：(1)证明：AC6，BC3，ABC90，ACB60.CD为ACB的角平分线，BCDACD30.CD2.CE4，DCE30，DE2.则CD2DE2EC2.CDE90，DEDC.又平面BCD平面ACD，平面BCD平面ACDCD，DE平面ACD，DE平面BCD.(2)EF平面BDG，EF平面ABC，平面ABC平面BDGBG，EFBG.点E在线段AC上，CE4，点F是AB的中点，AEEGCG2.如图，作BHCD于H.平面BCD平面ACD，BH平面ACD.由条件得BH，SDEGSACDACCDsin 30，三棱锥BDEG的体积VSDEGBH.