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1.第四比例项：第四比例项：的第四比例项。叫做那么或若,:cbaddcbadcba2.比例中项：比例中项：.,:2acbcabcbbacbba的比例中项。即叫做那么或若._)32( ,)32(._3232比例中项是的两线段两数的比例中项是，cmcm1cm13.黄金分割：黄金分割：线段黄金分割。把这条）的比例中项，就叫做）与较短线段（原线段（）是中较长线段（）分成两条线段，使其把一条线段（BCABACABABACBCABAC215,2即：ACB._,152ABACABC则段的黄金分割点，较长线是线段4 bandbmcandbnmdcbaddcbbadcbabcaddcba 0,3;2;1如果4.比例的性质：比例的性质： ._,43,9731zyxyzyxzyxzyx则41197 ._32, 3:4:22222yxyxyxyyx则已知，5115.平行线分线段成比例平行线分线段成比例:(1)三条平行线截两条直线三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例所得的对应线段成比例.(2)平行于三角形一边的直线截其它两边平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线或两边的延长线),所所得的对应线段成比例得的对应线段成比例.(3)如果一条直线截三角形的两边如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线或两边的延长线),所得的对应所得的对应线段成比例线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边那么这条直线平行于三角形的第三边.ABCDEDEOBC .:2;:1.41,31CHAEGHFGEFCBCGABAFABCD求：中，如图，在正方形 定理可得。由平行线分线段成比例12:6:3:GHFGEF 渡。以正方形的边长等量过21627:CHAEDCHGAEFB1.1.形状相同的图形形状相同的图形 表象：大小不等，形状相同表象：大小不等，形状相同. . 实质：各对应角相等、各对应边成比例实质：各对应角相等、各对应边成比例. .2.2.相似多边形相似多边形 各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形. .相似多边形对应边的比叫做相似比相似多边形对应边的比叫做相似比( (相似比与叙述的顺序有关相似比与叙述的顺序有关).).3.3.相似多边形性质：相似多边形性质：相似多边形的对应角相等相似多边形的对应角相等, ,对应边成比例对应边成比例. .相似多边形周长的比等于相似比相似多边形周长的比等于相似比. .相似多边形对应对角线的比等于相似比相似多边形对应对角线的比等于相似比. .相似多边形对应三角形相似相似多边形对应三角形相似, ,且相似比等于相似多边形的相似比且相似比等于相似多边形的相似比相似多边形对应三角形面积的比等于相似多边形的相似比的平方相似多边形对应三角形面积的比等于相似多边形的相似比的平方相似多边形面积的比等于相似比的平方相似多边形面积的比等于相似比的平方. .4.4.相似三角形相似三角形 三个对应角相等、三条对应边成比例的两个三角形叫做相似三三个对应角相等、三条对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形角形. .相似三角形对应边的比叫做相似比相似三角形对应边的比叫做相似比( (相似比与叙述的顺序有相似比与叙述的顺序有关关).).5.5.相似三角形性质：相似三角形性质： 相似三角形的对应角相等相似三角形的对应角相等, ,对应边成比例对应边成比例. . 相似三角形对应中线的比相似三角形对应中线的比, ,对应角平分线的比，对应高的比对应角平分线的比，对应高的比, ,对应周长的比都等于相似比对应周长的比都等于相似比. . 相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方. .6.6.相似三角形的判定：相似三角形的判定：（1 1）平行于三角形一边的直线截其它两边）平行于三角形一边的直线截其它两边( (或两边的延长线或两边的延长线) )相交；（相交；（2 2）两角对应相等；（）两角对应相等；（3 3）两边对应成比例且夹角相）两边对应成比例且夹角相等；（等；（4 4）三边对应成比例；（）三边对应成比例；（5 5）RtRt中，斜边和一条直角中，斜边和一条直角边对应成比例；（边对应成比例；（6 6）RtRt中被斜边上的高分成的两个三角形中被斜边上的高分成的两个三角形相似。相似。._321. 4相似三角形的组数为，则图中如图，ADBEC132 1.ABCABC,如果如果BC=3,BC=1.5,那么那么ABC与与ABC的相似比为的相似比为_.212.两个相似三角形的面积比为两个相似三角形的面积比为m,周长比为周长比为2,则则m=_.3.边长为边长为2的正三角形被平行一边的直线分成等积的两部分的正三角形被平行一边的直线分成等积的两部分,其中一部分是梯形其中一部分是梯形,则这个梯形的中位线长为则这个梯形的中位线长为_.16222 BCDCACDACAFADCBCBDABBDCBDADAABDEACDFBCADABC2222._,. 5正确的是那么下列结论中，如图AEFBDCC4例例1 如图，已知如图，已知EM AM，交交AC于于D，CE=DE，求证：求证：2ED DM=AD CD。ECDMAECDMAFG结论成立。由条件得是可得又知，使到，可延长要得出），（还应考虑系数积的形式转化成比例式成立，应把证法一：要证,2,222FCDAMDRtCDFEFDECEDEEFFDEEDDMCDADEDCDADDMED故结论成立。，由题易证得即只需证明性质，得，根据等腰三角形的作证法二：过点DAMDEGDMADDGEDDMADCDEDDGCDCDEGE,2,2例例2 如图，已知：如图，已知：DE BCBC，DCDC和和BEBE相交于相交于P P点，连结点，连结APAP交交DEDE于于M M，延长延长APAP交交BCBC于于N N点，求证：点，求证：DM=MEDM=ME，BN=NCBN=NC。AMPDEBNCADMBCDEEMDM推得由，需利用中间比过渡，要证,/ABADBNDMABN得,BNMEPBEPPBEPBCDEBCDEABAD,同理可证MEDMBNMEBNDM,同理可证：BN=NCCDABE的两个根，求的两个根，求DE的长和的长和 的值。的值。例例3 如图，如图，ABCABC中，中，C=90C=90，AC=10AC=10，BC=24BC=24，点点D D在在ACAC上运动上运动（不运动至点（不运动至点A A），），过点过点D D作作DE ABDE AB，设设AD=xAD=x，AE=yAE=y。（。（1 1）求求y y关于关于x x的函数关系式和自变量的取值范围；（的函数关系式和自变量的取值范围；（2 2）若点）若点D D运动到运动到ACAC上有某个位置时，上有某个位置时，ADAD、AEAE的长恰好是一元二次方程的长恰好是一元二次方程062atta(1)由题意知，易得由题意知，易得 ABC ADE,ADE,得得y y与与x x的函数关系式。的函数关系式。100135xxy,24260,243622DExyDEyx的两个根，的长恰好是方程06,2attAEAD965, 4aDE242610DExyADEABC)2(ABEBEEFADEABCD求证：，的中点，是中，如图，正方形. 1EBFABCDFE的面积最大。何处时，在的函数解析式，且点与，求面积为高中，如图，PMNMxyyPMNxBCBMACPMABMNADBCABC,/,/,10,12. 2APBCMDN 3、RtABC中，中， ACB90 ，CDAB于于D。（1）写出图中所有的相似三角形，并选择其中一）写出图中所有的相似三角形，并选择其中一对说明理由。对说明理由。（2）若）若AD1cm, BD4cm,请你求出请你求出CD的长度。的长度。BDAC 4.如图：在如图：在ABC中，中， C= 90,BC=8,AC=6.点点P从点从点B出发，沿着出发，沿着BC向点向点C以以2cm/秒的速度移动秒的速度移动;点点Q从点从点C出发，沿着出发，沿着CA向点向点A以以1cm/秒的速度移动。秒的速度移动。如果如果P、Q分别从分别从B、C同时出发，问：同时出发，问：经过多少秒时经过多少秒时CPQ CBA; AQPCBAQPCB 经过多少秒时以经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与为顶点的三角形恰好与ABC相似？相似？CBD1FEGH23A 5.如图，这是由三个全等的正方形组成的广告如图，这是由三个全等的正方形组成的广告牌。你能从中找出一对相似三角形吗？说明理由牌。你能从中找出一对相似三角形吗？说明理由（全等三角形除外全等三角形除外）1 1+ 2+ 32+ 3 度度 6、如图、如图 ,E为为DC边上的一点，边上的一点，连接连接AE并延长交并延长交BC的延长线于的延长线于F，在这个，在这个图形中，有几对相似三角形？若图形中，有几对相似三角形？若CF:CB1:2, SCEF4，求，求SAED 和和SABF。ABCDAOBECFD7.7.如图如图, ,添加一个条件添加一个条件, ,使则使则ABCABCAED,AED,则这条件可以则这条件可以是是 . . 8.8.如图所示如图所示, ,在在ABCABC中中, ,底边底边BC=60cm,BC=60cm,高高 AD=40cm,AD=40cm,四边形四边形PQRSPQRS是矩形形是矩形形. .(1)(1)ASRASR与与ABCABC相似吗相似吗? ?为什么为什么? ?(2)(2)求矩形求矩形PQRSPQRS的边长的边长. .AEDCBABCSREPD Q9在直角坐标系中，点在直角坐标系中，点A（2，0），），B（0，4），），C（0，3）。过点作直线交）。过点作直线交x轴于点，使以、轴于点，使以、为顶点的三角形与为顶点的三角形与AOB相似，这样的直线最多可相似，这样的直线最多可以作（以作（ ）条）条 A .2 B .3 C . 4 D. 6ABCDDODD三、三、相似图形的特例相似图形的特例图形的位似图形的位似 1. 1.如果两个图形不仅相似如果两个图形不仅相似, ,而且每组对应顶点所在的直而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点线都经过同一个点, ,那么这样的两个图形叫做那么这样的两个图形叫做位似图形位似图形, ,这个点叫做这个点叫做位似中心位似中心, ,这时的相似比又称为这时的相似比又称为位似比位似比. . 2. 2.性质：性质： 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比等于位似比. .DEFAOBCDEFAOBC 3. 3.如何作位似图形如何作位似图形( (放大放大) ). . 5. 5.体会位似图形何时为体会位似图形何时为正像正像何时为何时为倒像倒像. . 4. 4.如何作位似图形如何作位似图形( (缩小缩小) ). .OPABGCEDFPBACDEFGABCDEFGABGCEDFP
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