数列求和在全国高中数学联赛中的应用

数列求和在全国高中数学联赛中的应用数列求和的过程中蕴含着丰富的数学思想方法，是高中数学竞赛的常见内容，同时也是研究数列性质的一个重要层面。常用的数列求和方法主要有：公式法、累加法、错位相减法、倒序相加法、通项展开分类求和法、裂项法、和利用数列周期性、递推关系求和法等。一、基础知识1 .常用的数列求和公式Snn(a1an)naiWd22na 1( q 1) Snai(1 qn)i qaianq(q i)ln(n i); 2nk2k ii n(n i)(2n6n3_ i_ 2i) ; k3 n(n i)2ki22 .累加法：给出数列an的递推式和初始值(等差数列和等比数列有时可以看成是特殊的递推式)，求数列通项时常用累加法，也叫叠加法。3 .错位相减法：主要用于求形如anbn数列前n项的和，其中an、加分别成等差数列和等比数列。等比数列的求和公式，当qi时的情况:Snai(iqn)就是通过错位相减法得到的。iq4 .倒序相加法：将数列的顺序倒过来排列，与原数列两式相加，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，这样的数列可用倒序相加法求和。等差数列的求和公式：Snn(aian)就是用倒序相加法推导出来的。25 .通项展开分类求和法：把数列的每一项都写成通项的形式，然后根据不同数列的特点进行分类求和。例i.已知数列an的通项公式是：ann(ni)(2ni),试求an的前n项和Sn。导析：很多学生会试图计算出ai6,a230,a384,以此找出规律，但这很难解决问题。因此需要对数列的通项展开进行分析。把通项展开得：an2n33n2n,故可把an分成三类分别求和。Sn2(1323n3)3(1222n2)(12n)利用求和公式可得:Sn22n(n 1) n(n 1)(2n 1)326n(n 1)2n(n 1)2(n 2)26 .裂项法：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法实质是将数列中的某些项分解而后重新组合，使之能够消去一些项，最终达到求和的目的。7 .利用数列周期性求和：有的数列是周期数列，把握了数列的周期则可顺利求和。关键之处是寻找周期。例2.已知数列许中,41,a22,anan1an2anan1an2,且an 1an 219991, 则S1999ann 1。（1999年河南省高中数学竞赛）导析：此题中给出的是数列递推式，不难想到an是周期数列。把a1 1,a2 2 代入anan 1an 2 an an 1再用n+1去换(1)式中n可得： an 1an 2aan2anan,可求出2 an 3a33 ；(2)。由（2） - （1）得：（an 3an 1an 21 故 an 3 an二、综合应用an )(an 1a n,周期为3,2 1）。通过计算可得S19993997例3.设f (x)4x4x那么和式21(1001)(1001端1)f(1000)的值等于: 1001。（1986年全国高中数学联赛）导析：题中的, 理，1000直接代入f(x)不仅计算量大, 1001 10011001 1001而且很难得到正确结果，于是转而寻求这些变量的关系。设x+y=1,则有:f(x) f(y)(1001)4x4x 2(1001)4yFf(嚅）4x4x1001)喘）_41 x241 x 2f(曾10011,故此题可用倒序相加法。(1)(2)1,.所求的值为500。值得说明的是:An,Bn两点，以|AnBn|表示两点间的距离，则|A1B1|A2B2|IA1992B1992I的值是（）（1992年全国高中数学联赛）1991A. 19921992 B.1993c 1991C.19931993D.19921I AnBn I n故 | A1B1 | | A2B2| A1992 B1992 |(12)11()1992 1993需要指出的是:1(199211993)对于形如：an11993t19921993(n P)(n q)（其中t、p、q是常数），一般用裂项法，把明拆成q p去，从而实现求和的目的。(n）形式，使中间的一些项能够消导析：设计此题目的是考察数列的通项知识和数列的裂项求和法。当y=0时可求得：x1a11a12a13a14a1na21a22a23a24a2na31a32a33a34a3na41a42a43a44a4nan1an2an3an4annn行n歹U,例5. n2（n 4）个正数排成其中每一行数成等差数列，每一列的数成等比数列，等，已知 a24 1,a42 ,a43 ，求 S a11 a 22816全国高中数学联赛）导析：设第一行数的公差为 d,各列的公比为q并且所有的公比都有相a33anno(1990 年则第四行数列公差是dq3,a 24(aii3d)q 1是，由题设得出方程组：a42(aiid)q3解之得：an d qa 43dq3 16因为这n2个数均为正数，故 a111q 20而对于任意的 1 k n 有：akk a1kqk1a11 (k 1)dqk 112k这类数列求和，我们通常考虑用错位相减法，在两边同时乘以2s1221221112223n -212n1nt2n 1由-得:例6.设数列an前n项和Sn2an1（n1,2,），数列bn满足：b13,bk1akbk（k1,2,）。求数列bn的前n项和。（1996年全国高中数学联赛，第二试第一题）导析：此题bn依赖于an,故应先求出an。由Sn2an1可得：Sn12am1(n2)。由-得an2an1(n2),当n=1时：a1S12a1，a11。因此an是以1为首项，公比为2的等比数列。对于bk1akbk(k1,2,)有：b13b3a2b2b4a3b3bnan1bn1将上列等式两端相加，得：bnSn 1 b12n 13 2n 1 2。所以m的前n项和：Sn/ 1 2 222n 1 2n 2n 2n 1。值得说明的是：如上式的递推关系求数列通项时一般用累加法, 而消去一些项，以利于求和。三、强化训练即把n个等式右分别相加。从1.设n为自然数，且an31n2 2n 1 3,n2 1 3n2 2n 1 则111a1a3 a5A.31a997B.4a999的值是（）（中等数学竞赛训练题）2.设 Sn 1 2 3C.5n, n N。求 f (n)D.6Sn(n 32)Sn 1的最大值。(2000年全国高中数学联赛）3 .设an是(3j7)n的展开式中x项的系数(n=1,2,3,)则:limn3233a2a33nan。(2000年全国高中数学联赛)4 .数列an中，al1,a21,a32,若对自然数n有anan1an2an3anan1an2an3Man1an2an31则该数列的前4321项和S4321=。(2000年上海高中数学竞赛)5.已知 f (x) 10gl (3x 1)31 .，abx为偶函数，g(x)22xa-b为奇函数, 2x2320002.3,2000其甲a,bC)则aaaabbbb=(2000年河北省高中数学竞赛)6.设正数列 a0,a1,a2, an,满足. an an 2.an 1an 2 2an 1 (n 2)且a0 a1 1,求an通项公式。(1993年全国高中数学联赛)3.18;4.利用周期性可得：-4321;5.-2;6.利用累加法和递推关系可500答案提示：1.-(Vn-73/n-l),a2i15；an2i1n得：当n=0时a01;当nN时，an(2k1)2k1数列求和在全国高中数学联赛中的应用数列求和的过程中蕴含着丰富的数学思想方法，是高中数学竞赛的常见内容，同时也是研究数列性质的一个重要层面。常用的数列求和方法主要有：公式法、累加法、错位相减法、倒序相加法、通项展开分类求和法、裂项法、和利用数列周期性、递推关系求和法等。三、 基础知识1 .常用的数列求和公式：n(a1an)n(n1)(1) Sn;na1-d2 2Snna/q1)a1(1qn)1qa11anqq(q1)-n(n1);2k2k1n1312n(n1)(2n1);k3n(n1)6k122 .累加法：给出数列an的递推式和初始值(等差数列和等比数列有时可以看成是特殊的递推式)，求数列通项时常用累加法，也叫叠加法。3 .错位相减法：主要用于求形如anbn数列前n项的和，其中an、bn分别成等差数列和等比数列。等比数列的求和公式，当q1时的情况:sna1(1qn)就是通过错位相减法得到的。1q4.倒序相加法：将数列的顺序倒过来排列，与原数列两式相加，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，这样的数列可用倒序相加法求和。等差数列的求和公式：Sna1a就是用倒序相加法推导出来的。25.通项展开分类求和法：把数列的每一项都写成通项的形式，然后根据不同数列的特点进行分类求和。例3.已知数列an的通项公式是：ann(n1)(2n1),试求an的前n项和Sn。导析：很多学生会试图计算出a16,a230,a384,以此找出规律，但这很难解决问题。因此需要对数列的通项展开进行分析。把通项展开得：an2n33n2n,故可把an分成三类分别求和。_3_33_2_22一Sn2(1323n3)3(1222n2)(12n)利用求和公式可得:Sn22n(n1)n(n1)(2n1)n(n1)36丁、2一n(n1)2(n2)6 .裂项法：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法实质是将数列中的某些项分解而后重新组合，使之能够消去一些项，最终达到求和的目的。7 .利用数列周期性求和：有的数列是周期数列，把握了数列的周期则可顺利求和。关键之处是寻找周期。例4.已知数列an中,a11,a22,ananan2anan1an2,且1999an1an21,则Sl999Sn=n1。(1999年河南省高中数学竞赛)导析：此题中给出的是数列递推式，不难想到an是周期数列。把a11,a22代入anan1an2anan1an2(1)，可求出a33；再用n+1去换(1)式中n可得：an1an2an3an1an2an3(2)由(2)-(1)得：(an3an)(an1an21)。an1an21故an3an，周期为3,通过计算可得S19993997四、 综合应用例3.设f (x)4x F 一口，那么和式f(10011001f(1001f()的值等于：。11986年全国高中数学联赛)1001导析：题中的，二_,丝9,侬直接代入f(x)不仅计算量大,1001100110011001由(1) + (2)可得 2S=1 1 11000 个500。值得说明的是:而且很难得到正确结果，于是转而寻求这些变量的关系。设x+y=1,则有:f(x)f(y)4x4y4x41x4x24y24x241x21,故此题可用倒序相加法。Sf(1001)f(1001)f(1001)乌1001(1)S喘)f()1001(2)1,.所求的值为此题不用倒序相加法，而用首尾相加法也可，不过这样必须讨论n是奇数还是偶数，从本题中也可以看到倒序相加法可以避免讨论的优点。例4.对于每个自然数n,抛物线y(n2n)x2(2n1)x1与x轴交于An，Bn两点，以|AnBnl表示两点间的距离，则|A|A2B2|IA1992B1992I的值是()(1992年全国高中数学联赛)A1991B1992C1991D1993,199219931993,1992导析：设计此题目的是考察数列的通项知识和数列的裂项求和法。当y=0时可求得：x111,x2,nn1|AnBn|1。onn1故|A1B1|A2B2|A1992B1992|11(12)(2111)()3199219931111(1)()(2231992康）需要指出的是：对于形如:1,1993t19921993an(nP)(nq)（其中t、p、q是常数），一般用裂项法，把an拆成Lqp去，从而实现求和的目的。(n1二）形式，使中间的一些项能够消例5.n2（n4）个正数排成a11a12a13a14a1na21a22a23a24a2na31a32a33a34a3na41a42a43a44a4nan1an2an3an4annn行n歹U,其中每一行数成等差数列，每一列的数成等比数列,并且所有的公比都有相等,已知a241,a42-,a43，求Sana22816全国高中数学联赛）导析：设第一行数的公差为d,各列的公比为q是，由题设得出方程组:因为这n2个数均为正数，故而对于任意的kn有:a24a42a43aiiakk(a11(aii3d)q1d)q3dqk1a1kq16aiia33%口。（1990年则第四行数列公差是dq3,122(k解之得：an1)dqk1这类数列求和，我们通常考虑用错位相减法，在两边同时乘以2s1112223nF7由-得:12k1111111n2S222232n*S2212n例6.设数列aj前n项和Sn2an1（n1,2,），数列bj满足：b13,bk1akbk（k1,2,）。求数列bn的前n项和。（1996年全国高中数学联赛，第二试第一题）导析：此题bn依赖于an,故应先求出ano由Sn2an1可得：Sn122口11(n2)。由-得an2an1(n2),当n=1时：a1S12al1/.a11。因此an是以1为首项，公比为2的等比数列。对于bk1akbk(k1,2,)有：b13b3a2b2b4a3b3bnan1bn112n1将上列等式两端相加，得：bnSn1b132n12。所以bn的12前n项和：Sn/ 1 2 222n 1 2n 2n 2n 1。值得说明的是：如上式的递推关系求数列通项时一般用累加法, 而消去一些项，以利于求和。即把n个等式右分别相加。从、强化训练1.设n自然数，且 an Vn2 2n 1 3 n2 1 3n2 2n 1 则a1a3 a5a9971 ，一一的值是（）a999（中等数学竞赛训练题）A.3B.4C.52.设 Snn, n N。求 f (n)D.6Sn(n 32)Sn 1的最大值。(2000年全国高中数学联赛）3.设an是(3Jx）n的展开式中x项的系数（n=1,2,3,）则:limn32333na2 a3an。（2000年全国高中数学联赛）4.数列an中,a11,a2 1,a32,若对自然数 n有ananan 22n 3anan 1an2an坦an冏2an31则该数列的前43214.利用周期性可得：-4321;5.-2;6.利用累加法和递推关系可S4321=。（2000年上海高中数学竞赛）1ab5.已知f（x）logi（31）abx为偶函数，g（x）2一1为奇函数,31 5001答案提示：1.一 - (Vn 1 3rn 1),a2i 1 5;2.；3.18;2x其中a,bC,则aa2aan2i 150a2000bb2b3b2000=。（2000年河北省高中数学竞赛）6.设正数列20,d电，,an,满足而询!冏22an（n2）且a。ai1,求an通项公式。（1993年全国高中数学联赛）n得：当n=0时a01；当nN时，an(2k1)2k1(1)+(2)可得2S=1111000个此题不用倒序相加法，而用首尾相加法也可，不过这样必须讨论n是奇数还是偶数，从本题中也可以看到倒序相加法可以避免讨论的优点。例4.对于每个自然数n，抛物线y（n2n）x2（2n1）x1与x轴交于