【方法指导】求解数列通项公式的常用方法

求解数列通项公式的常用方法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。一 观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，（2）（3）（4）解：（1）变形为：1011，1021，1031，1041， 通项公式为： （2） （3） （4）.观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系。 二、定义法例2： 已知数列an是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q的(qR且q1)的等比数列，若函数f (x) = (x1)2，且a1 = f (d1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q1)，(1)求数列 a n 和 b n 的通项公式；解：(1)a 1=f (d1) = (d2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，a3a1=d2(d2)2=2d，d=2，an=a1+(n1)d = 2(n1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q1)=(q2)2，=q2，由qR，且q1，得q=2，bn=bqn1=4(2)n1当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。三、叠加法例3：已知数列6，9，14，21，30，求此数列的一个通项。解 易知 各式相加得一般地，对于型如类的通项公式，只要能进行求和，则宜采用此方法求解。四、叠乘法例4：在数列中， =1, (n+1)=n，求的表达式。解：由(n+1)=n得，= 所以一般地，对于型如=(n)类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。五、公式法若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 求解。例5：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。（1）。 （2）解： （1）=3此时，。=3为所求数列的通项公式。（2），当时 由于不适合于此等式 。 注意要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。 例6. 设数列的首项为a1=1，前n项和Sn满足关系求证：数列是等比数列。 解析：因为 所以 所以，数列是等比数列。六、阶差法例7.已知数列的前项和与的关系是 ，其中b是与n无关的常数，且。求出用n和b表示的an的关系式。解析：首先由公式：得： 利用阶差法要注意：递推公式中某一项的下标与其系数的指数的关系，即其和为。七、待定系数法例8：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn解：设 点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则，（b、为常数），若数列为等比数列，则，。八、 辅助数列法有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。例9.在数列中，求。解析：在两边减去，得 是以为首项，以为公比的等比数列，由累加法得= = = 例10.设为常数，且（），证明：对任意n1，证明：设， 用代入可得 是公比为，首项为的等比数列， （），即：型如an+1=pan+f(n) (p为常数且p0, p1)可用转化为等比数列等.(1)f(n)= q (q为常数)，可转化为an+1+k=p(an+k)，得 an+k 是以a1+k为首项，p为公比的等比数列。例11：已知数的递推关系为，且求通项。解： 令则辅助数列是公比为2的等比数列即 例12： 已知数列中且（），求数列的通项公式。解： ， 设，则故是以为首项，1为公差的等差数列 例13.设数列的首项（1）求的通项公式；解：（1）由整理得又，所以是首项为，公比为的等比数列，得注：一般地，对递推关系式an+1=pan+q (p、q为常数且，p0，p1)可等价地改写成 则成等比数列，实际上，这里的是特征方程x=px+q的根。(2) f(n)为等比数列，如f(n)= qn (q为常数) ，两边同除以qn，得，令bn=，可转化为bn+1=pbn+q的形式。例14.已知数列an中，a1=， an+1=an+（）n+1，求an的通项公式。解：an+1=an+（）n+1 乘以2n+1 得 2n+1an+1=(2nan)+1 令bn=2nan 则 bn+1=bn+1 易得 bn= 即 2nan= an=(3) f(n)为等差数列例15.已知已知数列an中，a1=1，an+1+an=3+2 n，求an的通项公式。解： an+1+an=3+2 n，an+2+an+1=3+2(n+1)，两式相减得an+2-an=2 因此得，a2n+1=1+2(n-1), a2n=4+2(n-1), an=。注：一般地，这类数列是递推数列的重点与难点内容，要理解掌握。(4) f(n)为非等差数列，非等比数列例16.在数列中，其中（）求数列的通项公式；解：由，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。九、归纳、猜想如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。例17.已知点的序列，其中，是线段的中点，是线段的中点，是线段的中点，（1） 写出与之间的关系式（）。（2） 设，计算，由此推测的通项公式，并加以证明。（3） 略解析：（1） 是线段的中点， （2），=，=，猜想，下面用数学归纳法证明 当n=1时，显然成立； 假设n=k时命题成立，即 则n=k+1时，= = 当n=k+1时命题也成立， 命题对任意都成立。例18：在数列中，则的表达式为 。分析：因为，所以得：，猜想：。十、倒数法数列有形如的关系，可在等式两边同乘以先求出例19设数列满足求解：原条件变形为两边同乘以得.综而言之，等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上；以上介绍的仅是常见可求通项基本方法,同学们应该在学习不断的探索才能灵活的应用.只要大家认真的分析求通项公式并不困难.