【方法指导】求解数列通项公式的常用方法

上传人:szh****04 文档编号:67873792 上传时间:2022-04-01 格式:DOC 页数:8 大小:555.50KB
返回 下载 相关 举报
【方法指导】求解数列通项公式的常用方法_第1页
第1页 / 共8页
【方法指导】求解数列通项公式的常用方法_第2页
第2页 / 共8页
【方法指导】求解数列通项公式的常用方法_第3页
第3页 / 共8页
点击查看更多>>
资源描述
求解数列通项公式的常用方法数列是高考中的重点内容之一,每年的高考题都会考察到,小题一般较易,大题一般较难。而作为给出数列的一种形式通项公式,在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。一 观察法例1:根据数列的前4项,写出它的一个通项公式:(1)9,99,999,9999,(2)(3)(4)解:(1)变形为:1011,1021,1031,1041, 通项公式为: (2) (3) (4).观察各项的特点,关键是找出各项与项数n的关系。 二、定义法例2: 已知数列an是公差为d的等差数列,数列bn是公比为q的(qR且q1)的等比数列,若函数f (x) = (x1)2,且a1 = f (d1),a3 = f (d+1),b1 = f (q+1),b3 = f (q1),(1)求数列 a n 和 b n 的通项公式;解:(1)a 1=f (d1) = (d2)2,a 3 = f (d+1)= d 2,a3a1=d2(d2)2=2d,d=2,an=a1+(n1)d = 2(n1);又b1= f (q+1)= q2,b3 =f (q1)=(q2)2,=q2,由qR,且q1,得q=2,bn=bqn1=4(2)n1当已知数列为等差或等比数列时,可直接利用等差或等比数列的通项公式,只需求得首项及公差公比。三、叠加法例3:已知数列6,9,14,21,30,求此数列的一个通项。解 易知 各式相加得一般地,对于型如类的通项公式,只要能进行求和,则宜采用此方法求解。四、叠乘法例4:在数列中, =1, (n+1)=n,求的表达式。解:由(n+1)=n得,= 所以一般地,对于型如=(n)类的通项公式,当的值可以求得时,宜采用此方法。五、公式法若已知数列的前项和与的关系,求数列的通项可用公式 求解。例5:已知下列两数列的前n项和sn的公式,求的通项公式。(1)。 (2)解: (1)=3此时,。=3为所求数列的通项公式。(2),当时 由于不适合于此等式 。 注意要先分n=1和两种情况分别进行运算,然后验证能否统一。 例6. 设数列的首项为a1=1,前n项和Sn满足关系求证:数列是等比数列。 解析:因为 所以 所以,数列是等比数列。六、阶差法例7.已知数列的前项和与的关系是 ,其中b是与n无关的常数,且。求出用n和b表示的an的关系式。解析:首先由公式:得: 利用阶差法要注意:递推公式中某一项的下标与其系数的指数的关系,即其和为。七、待定系数法例8:设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和,若c1=2,c2=4,c3=7,c4=12,求通项公式cn解:设 点评:用待定系数法解题时,常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式,一般地,若数列为等差数列:则,(b、为常数),若数列为等比数列,则,。八、 辅助数列法有些数列本身并不是等差或等比数列,但可以经过适当的变形,构造出一个新的数列为等差或等比数列,从而利用这个数列求其通项公式。例9.在数列中,求。解析:在两边减去,得 是以为首项,以为公比的等比数列,由累加法得= = = 例10.设为常数,且(),证明:对任意n1,证明:设, 用代入可得 是公比为,首项为的等比数列, (),即:型如an+1=pan+f(n) (p为常数且p0, p1)可用转化为等比数列等.(1)f(n)= q (q为常数),可转化为an+1+k=p(an+k),得 an+k 是以a1+k为首项,p为公比的等比数列。例11:已知数的递推关系为,且求通项。解: 令则辅助数列是公比为2的等比数列即 例12: 已知数列中且(),求数列的通项公式。解: , 设,则故是以为首项,1为公差的等差数列 例13.设数列的首项(1)求的通项公式;解:(1)由整理得又,所以是首项为,公比为的等比数列,得注:一般地,对递推关系式an+1=pan+q (p、q为常数且,p0,p1)可等价地改写成 则成等比数列,实际上,这里的是特征方程x=px+q的根。(2) f(n)为等比数列,如f(n)= qn (q为常数) ,两边同除以qn,得,令bn=,可转化为bn+1=pbn+q的形式。例14.已知数列an中,a1=, an+1=an+()n+1,求an的通项公式。解:an+1=an+()n+1 乘以2n+1 得 2n+1an+1=(2nan)+1 令bn=2nan 则 bn+1=bn+1 易得 bn= 即 2nan= an=(3) f(n)为等差数列例15.已知已知数列an中,a1=1,an+1+an=3+2 n,求an的通项公式。解: an+1+an=3+2 n,an+2+an+1=3+2(n+1),两式相减得an+2-an=2 因此得,a2n+1=1+2(n-1), a2n=4+2(n-1), an=。注:一般地,这类数列是递推数列的重点与难点内容,要理解掌握。(4) f(n)为非等差数列,非等比数列例16.在数列中,其中()求数列的通项公式;解:由,可得,所以为等差数列,其公差为1,首项为0,故,所以数列的通项公式为这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。九、归纳、猜想如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项,我们可以根据前几项的规律,归纳猜想出数列的通项公式,然后再用数学归纳法证明之。例17.已知点的序列,其中,是线段的中点,是线段的中点,是线段的中点,(1) 写出与之间的关系式()。(2) 设,计算,由此推测的通项公式,并加以证明。(3) 略解析:(1) 是线段的中点, (2),=,=,猜想,下面用数学归纳法证明 当n=1时,显然成立; 假设n=k时命题成立,即 则n=k+1时,= = 当n=k+1时命题也成立, 命题对任意都成立。例18:在数列中,则的表达式为 。分析:因为,所以得:,猜想:。十、倒数法数列有形如的关系,可在等式两边同乘以先求出例19设数列满足求解:原条件变形为两边同乘以得.综而言之,等差、等比数列是两类最基本的数列,是数列部分的重点,自然也是高考考查的热点,而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力,这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上;以上介绍的仅是常见可求通项基本方法,同学们应该在学习不断的探索才能灵活的应用.只要大家认真的分析求通项公式并不困难.
展开阅读全文
相关资源
正为您匹配相似的精品文档
相关搜索

最新文档


当前位置:首页 > 图纸专区 > 中学资料


copyright@ 2023-2025  zhuangpeitu.com 装配图网版权所有   联系电话:18123376007

备案号:ICP2024067431-1 川公网安备51140202000466号


本站为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,本站只是中间服务平台,本站所有文档下载所得的收益归上传人(含作者)所有。装配图网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。若文档所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知装配图网,我们立即给予删除!