平面几何之辅助线

寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线第1页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线初中数学辅助线的添加第#页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线第#页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线添辅助线有二种情况:1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们，相交后证交角为 90 ;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该 叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直 线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。出现角平分线与垂线组合时可延 的基本图形。出现线段倍半关系且倍线段（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形:出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本 图形。（5 ）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点 没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线 段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行 线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中 点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线 段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶 角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线（7）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现 相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有 多种浅线方法。（8）特殊角直角三角形当出现30, 45，60, 135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1： 1：V 2 ； 30度角直角三角形三边比为1： 2 : V 3进行证明（9 ）半圆上的圆周角出现直径与半圆上的点， 添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦 - 直径；平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰,木等组成一样。二基本图形的辅助线的画法1三角形问题添加辅助线方法方法1:有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目常常利用三角形的 中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。方法2 :含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条 件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。方法3 :结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。方法4:结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分， 证其中的一部分等于第一条线段， 而另 一部分等于第二条线段。2. 平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2 ）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或 中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。（5 ）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等3. 梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（1在梯形内部平移一腰。（2 ）梯形外平移一腰（3 ）梯形内平移两腰（4 ）延长两腰（5）过梯形上底的两端点向下底作高（6）平移对角线（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。（9 ）作中位线当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。4. 圆中常用辅助线的添法在平面几何中，解决与圆有关的问题时， 常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。（1见弦作弦心距有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟 通题设与结论间的联系。（2 ）见直径作圆周角在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角这一特征来证明问题。（3）见切线作半径命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用切线与半径垂直这一性质来证明问题。（4）两圆相切作公切线对两圆相切的问题， 一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。（5）两圆相交作公共弦对两圆相交的问题， 通常是作出公共弦， 通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。第5页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线作辅助线的方法一：中点、中位线，延线，平行线。如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延 长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。二：垂线、分角线，翻转全等连。如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的 平分线。三：边边若相等，旋转做实验。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有 时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。四:造角、平、相似，和、差、积、商见。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角； 第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交，连心公共弦。如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。六：两圆相切、离，连心，公切线。如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连 心线或内外公切线。七：切线连直径，直角与半圆。如果条件中出现圆的切线， 那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助 线。如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反， 条件中有半圆，那么在直径上找圆周角一一直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦成立。如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。九：面积找底高，多边变三边。如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。第7页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线第#页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线三角形中作辅助线的常用方法举例一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时， 若直接证不出来，可连接两点或延长某边 构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中， 再运用三角形三边的不等关系证 明，如： 例1 已知如图1-1: D、E ABC内两点，求证:AB + AC BD + DE+ CE.证明：（法一）将DE两边延长分别交 AB、AC于M、N ,在厶 AMN 中，AM + AN MD + DE + NE; (1)在厶 BDM 中，MB + MD BD ;(2)在厶 CEN 中，CN + NE CE;(3)由(1) + ( 2) + ( 3)得：AM + AN + MB + MD + CN + NE MD + DE+ NE + BD + CE AB + AC BD + DE+ EC（法二：）如图1-2, 延长BD交AC于F,延长CE交BF于G,在厶ABF和厶GFC和厶GDE中有：AB + AF BD + DG + GF （三角形两边之和大于第三边）（1）GF+ FCGE+ CE (同上) (2)DG + GEDE (同上)(3)由(1) + ( 2) + ( 3)得：AB + AF+ GF + FC+ DG + GE BD+ DG + GF + GE+ CE+ DE - AB + AC BD + DE+ EC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时， 可连接两点或延 长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上， 小角处于这个三角形的 内角位置上，再利用外角定理：例如：如图 2-1 :已知 D为厶ABC内的任一点，求证：/ BDC /BAC。因为/ BDC与/ BAC不在同一个三角形中，没有直接的联系, 可适当添加辅助线构造新的三角形，使/BDC处于在外角的位置，/ BAC处于在内角的位置；证法一：延长BD交AC于点E,这时/ BDC是厶EDC的外角，证法二：连接 AD，并延长交BC于F/ BDC / DEC，同理/ DECZ BAC,： / BDC Z BAC/ BDF是厶ABD的外角/ BDF / BAD，同理，/ CDF / CAD / BDF + / CDF / BAD + / CAD即：/ BDC / BAC。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小 角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等 三角形，如: 例如：如图3-1 :已知AD % ABC的中线，且/ 1=/ 2, / 3 = /4, 求证：BE+ CF EF。分析：要证 BE+ CF EF，可利用三角形三边关系定理证明，须ra-rrwvs-B-rwsrflrmnrwvi-HirBWB-rvB-B-rwBimrii-BvrinwwrwvBri-riirnriwM-B-Bvi-H-arriB-B-wrvBri-riiriirirs-srwTB-BTi-wmwww-rviin-riiriirflrwrwwnrmrwwwB-wwawB-wwi-srwTTni-BTi-B-B-iTf-r 把BE, CF,EF移到同一个三角形中，而由已知/ 1 = / 2，/ 3 =/ 4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相 等，把EN , FN , EF移到同一个三角形中。证明：在DA上截取 DN = DB，连接NE, NF，贝U DN = DC ,在厶DBE和厶DNE中:DN二DB（辅助线的作法）=/2（已知）ED =ED（公共边） DBEBA DNE （ SAS BE= NE （全等三角形对应边相等）同理可得：CF= NF在厶EFN中EN + FN EF （三角形两边之和大于第三边） BE+ CF EF。 第9页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然 后用全等三角形的性质得到对应元素相等。四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例如：如图 4-1: AD % ABC 的中线，且/ 1=7 2，/ 3 = Z 4，求证：BE+ CF EF证明：延长ED至M，使DM=DE，连接ACM , MF。在 BDE 和厶 CDM 中，/BD二CD（中点的定义）E F f Z/CDM （对顶角相等） 2 3 *ED =MD（辅助线的作法）1二/4Cl BD BDEA CDM（ SAS图4 一17 1+7 2 + 7 3+7 4 = 180 （平角的定义） 7 3 + 7 2=90 ，即：7 EDF= 90 7 FDM =7 EDF = 90 在厶EDF和厶MDF中又/ 7 1=7 2, 7 3=7 4 （已知）MED =MD（辅助线的作法）T WEDF =. FDM （已证）DF =DF（公共边） EDFA MDF（ SAS EF= MF （全等三角形对应边相等）在 CMF中，CF+ CM MF （三角形两边之和大于第三边） BE+ CF EF注：上题也可加倍 FD，证法同上。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角 形，使题中分散的条件集中。五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图5-1: AD为 ABC的中线，求证：AB + AC 2AD。分析：要证 AB + AC 2AD，由图想到：AB + BD AD,AC+ CD AD，所以有 AB + AC + BD + CD AD + AD = 2AD，左边比要证结论多 BD + CD , 故不能直接证出此题，而由 2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同 一个三角形中去。证明：延长 AD至E,使DE=AD，连接BE,贝U AE = 2AD AD % ABC的中线 （已知） BD = CD（中线定义）在厶ACD和厶EBD中图5-1图5-2BD =CD（已证）NADC =NEDB（对顶角相等）.AD =ED（辅助线的作法） ACD EBD （SAS） BE= CA （全等三角形对应边相等）在 ABE中有：AB + BE AE （三角形两边之和大于第三 边） AB + AC 2AD。（常延长中线加倍，构造全等三角形）练习：已知 ABC, AD是BC边上的中线，分别以 AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图 5-2 , 求证EF= 2AD。六、截长补短法作辅助线。例如：已知如图 6-1 :在 ABC中，AB AC, / 1=Z 2, P为AD上任一点。求证： AB AC PB PC。分析：要证：AB AC PB PC,想到利用三角形三边关 系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于 第三边，从而想到构造第三边AB AC,故可在AB上截取nWWWWMMWWIWWWUMWmWWWWWWMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWIWWWWWWWWWWVWUWWMWIWWWUaUMWWWWWWWMWIWWWWVUMWWWAN 等于 AC，得 AB AC = BN , 再连接 PN，贝U PC = PN，又在 PNB 中，PB PN V BN，即：AB AC PB PC。证明：（截长法）在AB上截取 AN = AC连接PN , 在厶APN和厶APC中AN二AC（辅助线的作法）T O =/2（已知）AP二AP（公共边） APN APC （ SAS PC= PN （全等三角形对应边相等）在 BPN中，有 PB PN V BN （三角形两边之差小于第三边） BP PCV AB AC证明：（补短法）延长AC至M，使AM = AB，连接PM ,在厶ABP和厶AMP中AB =AM （辅助线的作法）4=.2（已知）AP =AP（公共边） ABPBA AMP （SAS PB= PM（全等三角形对应边相等）又在 PCM中有：CM PM PC（三角形两边之差小于第三边 ） AB AC PB PC。七、延长已知边构造三角形: 例如：如图 7-1 :已知 AC = BD , AD丄AC于A , BC丄BD于B, 求证：AD = BC分析：欲证 AD = BC,先证分别含有 AD , BC的三角形全等，有几种方案： ADC与厶 BCD , AOD 与厶BOC , ABD与厶BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相 等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明：分别延长DA , CB,它们的延长交于 E点,/ AD丄AC BC丄BD（已知） / CAE=Z DBE = 90 （垂直的定义）在厶DBE与厶CAE中E= E（公共角）-DBE = CAE（已证）BD =AC（已知） DBEBA CAE(AAS) ED= EC EB= EA （全等三角形对应边相等） ED- EA= EC EB即: AD = BC。（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）rrrl er_ -ler fl r亠 r .一 r_L - r .一 r_L rr - r = r r lr fm r r wmr- -llll rfl l r r wi-r -ll=lr l. r -l r_r r r_L -l八、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图 8-1: AB / CD, AD / BC 求证：AB=CD。分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。证明：连接AC （或BD）/ AB / CD AD / BC （已知）在厶ABC与厶CDA中1=Z 2，/ 3 =Z 4 （两直线平行，内错角相等）21 二.2（已证）AC二CA（公共边） .3 Z4（已证） ABCCDA （ASA） AB = CD （全等三角形对应边相等）九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图 9-1 :在 Rt ABC 中，AB = AC, / BAC = 90。，/ 1 = Z 2 , CE 丄 BD 的延长于E。求证：BD = 2CEr r r- mr- l. rr- L.r r r-Lyr 、= mr- lllll Lir rLg ”证明：分别延长 BA , CE交于点F。F分析：要证 BD = 2CE，想到要构造线段 2CE，同时CE 与/ ABC的平分线垂直，想到要将其延长。/ BE丄CF （已知）/ BEF=/ BEC= 90 （垂直的定义）在厶BEF与厶BEC中， 1 =/2（已知）BE =BE（公共边）J-ZBEF /BEC（已证）第17页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线1 BEFBA BEC （ASA）： CE=FE= CF（全等三角形对应边相等）2/ BAC=90 BE丄 CF （已知）/ BAC = Z CAF = 90 / 1+Z BDA = 90 Z 1 + Z BFC= 90 / BDA = Z BFC在厶ABD与厶ACF中.BAC = . CAF （已证）/BDA = . BFC （已证）AB = AC（已知） ABD也厶ACF （AAS）. BD = CF （全等三角形对应边相等） BD = 2CE十、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图 10-1; AC、BD相交于0点，且AB = DC , AC = BD，求证：Z A=Z D。分析：要证Z A = Z D，可证它们所在的三角形 ABO和厶DCO全等，而只有 AB = DC和 对顶角两个条件，差一个条件，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB =DC , AC = BD，若连接 BC,则厶ABC和厶DCB全等，所以，证得Z A=Z D。证明：连接 BC,在 ABC和厶DCB中亦=DC （已知）AC=DB （已知）BC =CB（公共边 ABCDCB （SSS）Z A = Z D （全等三角形对应边相等）卜一、取线段中点构造全等三有形。例如：如图 11-1: AB = DC,Z A=Z D 求证：Z ABC = Z DCB。inr1i8rvrrTrwrnrrwwwsrwTrr-wi8rvrrTrw?srv!ni_vrwWB_warvB_B_BH-8w!ni_vni-wirwnr-srvBB_rwsmsw!rTrwwHWB_wsrvnrBM-srBrsr_?1w-wriBiirHnrirvirBTrsrirBrrB_-WTrwsr分析：由AB = DC ,Z A=Z D，想到如取 AD的中点N，连接NB , NC,再由SAS公理有 ABN DCN，故 BN = CN , Z ABN =Z DCN。下面只需证Z NBC =Z NCB，再取 BC 的中点 M，连接 MN，则由SSS公理有 NBM NCM，所以Z NBC = Z NCB。问题得 证。证明：取 AD , BC 的中点 N、M，连接 NB , NM , NC。贝U AN=DN , BM=CM，在寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线图11 T寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线第21页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线 ABN禾叱DCN中AN =DN（辅助线的作法） 二/D（已知）AB 二 DC （已知） ABN DCN/ ABN =Z DCN（SASNB = NC （全等三角形对应边、角相等）在厶NBM 与厶NCM 中T BM = CM （辅助线的作法）NM = NM （公共边） NMB NCM , （SSS） NBC = Z NCB （全等三角形对应角相等） ABN =Z NCB +Z DCN 即/ ABC =Z DCB。NBC +Z第#页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线G,则有 EF : GC= AF : AC因为CG : DE= BC : BD又因为BC= CD所以BC : BD = 1 : 2CG : DE= 1 : 2即 DE=2GC巧求三角形中线段的比值例 1.如图 1,在厶 ABC 中，BD : DC = 1: 3 , AE: AF: FC。解：过点 D作DG/AC，交BF于点G所以 DG : FC= BD : BC因为 BD: DC= 1: 3 所以 BD : BC= 1: 4即 DG : FC= 1: 4, FC = 4DG因为 DG : AF = DE : AE 又因为 AE: ED= 2 : 3所以 DG : AF = 3 : 222AF = -DG-DG即、所以AF : FC=例 2.如图 2 , BC= CD , AF = FC,求 EF: FD解：过点C作CG/DE交AB于点因为 AF = FC 所以 AF : AC= 1 : 2即 EF : GC = 1 : 2 ,第#页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线EF: FD =因为丄 GCS -GC = lr 32132GC-GC= -GCFD = ED EF=-三所以一3 2 * J小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两例，让我们感受其中的奥妙！例 3.如图 3 , BD : DC = 1 : 3, AE : EB= 2 : 3，求 AF : FD。解：过点B作BG/AD，交CE延长线于点 G。所以 DF : BG= CD : CB因为 BD : DC= 1 : 3 所以 CD: CB= 3 : 44即DF :BG = 3: 4,4因为AF:BG= AE: EB又因为AE :EB= 2 : 3AF_ 2BG所以AF:BG= 2 : 3即 3-BG.3 -BG= 8：9所以AF:DF =4例 4.如图 4 , BD : DC = 1: 3, AF = FD,求 EF: FC。解：过点 D作DG/CE，交AB于点G所以 EF： DG = AF: AD因为 AF = FD所以 AF : AD = 1: 2EF = -DG即 EF: DG = 1: 2因为 DG : CE= BD : BC,又因为 BD : CD = 1: 3 , 所以 BD : BC= 1: 4即 DG : CE= 1 :4, CE= 4DG4DG-DG=DG因为 FC= CE EF=17_DGt -DG所以 EF: FC = ：-= 1: 7练习：1. 如图 5 , BD = DC, AE: ED= 1: 5，求 AF : FB。m EiBIK 1 F W mE E 1 E Bi 1 1 f m F 1 H H M E II2. 如图 6, AD : DB = 1: 3, AE: EC= 3: 1,求 BF: FC。答案：1、1: 10;2. 9 : 1初中几何辅助线初中几何常见辅助线口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。四边形口。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为和平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。圆形半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。由角平分线想到的辅助线口诀:图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行 线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 从角平分线上一点向两边作垂线； 利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规 律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。如图 1-1,/ AOC= / BOC，如取 OE=OF，并连接 DE、DF，则有 OED OFD , 从而为我们证明线段、角相等创造了条件。DC例 1. 如图 1-2, AB/CD , BE 平分/ BCD , CE 平分/ BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平 分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对 称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。 但无论延长还是截取都要证明线段的相等， 延长要证 明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等， 进而达到 所证明的目的。简证：在此题中可在长线段 BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。 这里面用到了角平分线来构造全等三角形。 另外一个全等自已证明。 此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。例2 .已知：如图 1-3, AB=2AC，/ BAD= / CAD , DA=DB，求证 DC 丄 AC分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。问题自已证明。构造的方法还是截取线段相等。其它第25页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线第#页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线图1-4例3. 已知：如图1-4,在厶ABC中，/ C=2 / B,AD平分/ BAC，求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要 用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问 题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线 段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？练习1. 已知在 ABC 中，AD 平分/ BAC, / B=2 / C, 求证：AB+BD=AC2. 已知：在厶 ABC 中，/ CAB=2 / B, AE 平分/ CAB 交 BC 于 E, AB=2AC，求证： AE=2CE3. 已知：在厶ABC中，ABAC,AD 为/ BAC的平分线，M为AD上任一点。求证：BM-CMAB-AC 已知：D是厶ABC的/ BAC的外角的平分线 AD上的任一点，连接 DB、DC。求 证：BD+CDAB+AC 。第#页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线， 利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例 1. 如图 2-1,已知 ABAD, / BAC= / FAC,CD=BC。求证：/ ADC+ / B=180分析：可由C向/ BAD的两边作垂线。近而证/ ADC与/ B 之和为平角。图2-1例2 .如图 2-2，在 ABC 中，/ A=90 , AB=AC，/ ABD= / CBD。求证：BC=AB+AD分析：过D作DE丄BC于E,则AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。已知如图2-3 , ABC的角平分线 BM、CN相交于点P。求证：/ BAC的平分线也经过点P。分析：连接AP,证AP平分/ BAC即可，也就是证 P至U AB、AC的距离相等。练习:M FC1.如图 2-4 / AOP= / B0P=15 如果 PC=4，贝U PD=()A 4 B 3 C 22 .已知在厶ABC中，/ C=90,PC/OA ,D 1,AD平分/PD 丄 OA ,ACAB,3 .已知：如图 2-5, / BAC= / CAD,ABAD , CE丄 AB,D页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线AE= 2 （ AB+AD ）.求证：/ D+ / B=180。4. 已知：如图2-6,在正方形 ABCD中，E为CD的中点，F为BC上的点，/ FAE= / DAE。求证：AF=AD+CF。5. 已知：如图 2-7，在Rt ABC中，/ ACB=90 ,CD丄AB ,垂足为 D , AE平分/ CAB交CD于F,过F作FH/AB 交BC于H。求证 CF=BH。第#页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线第#页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线,使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形,第#页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线第#页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线垂足为底边上的中点， 该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一 边相交）。第#页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线第#页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线例1.已知：如图3-1,Z BAD= / DAC , ABAC,CD 丄 AD 于 D,H是BC中点。求第#页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线C1证：DH=（AB-AC ）2分析：延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。问题可证。例2 .已知：如图 3-2 , AB=AC，/ BAC=90 , AD 为/ ABC的平分线，CE丄BE求证：BD=2CE。分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。例3 .已知：如图3-3在厶ABC中，AD、AE分别/ BAC的内、外角平分线，过顶点BN 图 3-3作BFAD，交AD的延长线于 F,连结FC并延长交 AE于M。求证：AM=ME。分析：由AD、AE是/ BAC内外角平分线，可得 EA丄AF,从而有BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。例4.已知：如图3-4，在 ABC中，AD平分/ BAC, A1D=AB , CM丄AD交AD延长线于 M。求证：AM= (AB+AC )2分析：题设中给出了角平分线 AD，自然想到以AD为轴作对称变换，作 ABD关于A1D的对称 AED，然后只需证 DM= EC,另外由求证的结21果 AM= - （AB+AC ）,即 2AM=AB+AC ，也可尝试作 A2CM关于CM的对称 FCM，然后只需证 DF=CF即可。练习：1. 已知：在厶ABC中，AB=5 , AC=3 , D是BC中点，AE是/ BAC的平分线，且 CE丄AE于E,连接DE, 求 DE。AF丄BF于F, AE丄B2. 已知BE、BF分别是 ABC的/ABC的内角与外角的平分线,1E于E,连接 EF分别交AB、AC于M、N，求证 MN= BC2（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。第29页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线第#页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线第#页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线第31页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线如图,ABAC,AB ACBD CD。如图,BCBA ,BD 平分/ ABC ,且 AD=CD，求证：/ A+ / C=180。如图,AB / CD,AE、DE 分另平分/ BAD 各/ ADE，求证：AD=AB+CDo练习:1.已知，如图，/ C=2AC=2BC。求证： ABC是直角三角形。2.已知：如图， AB=2AC ,/ 1= / 2, DA=DB，求证：DC 丄 AC第#页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线C3 .已知 CE、AD是厶ABC的角平分线，/ B=60 ，求证：AC=AE+CD4.已知：如图在厶 ABC中，/ A=90 , AB=AC , BD是/ ABC的平分线，求证： BC =AB+ADC三由线段和差想到的辅助线口诀：线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：1截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线 段。对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例1、 已知如图1-1: D、E ABC内两点，求证:AB+AOBD+DE+CE.证明：（法一）将DE两边延长分别交 AB、AC于M、N , 在厶 AMN 中，AM+ANMD+DE+NE;（ 1）在厶 BDM 中，MB+MDBD ；（ 2）在厶 CEN 中，CN+NECE ； （ 3）由（1）+（ 2）+（ 3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE AB+ACBD+DE+EC（法二：图 1-2）延长BD交AC于F,廷长CE交BF于G ,在厶ABF和厶GFC 和厶GDE中有：AB+AFBD+DG+GF （三角形两边之和大于第三边）（1）GF+FOGE+CE （同上）（2）DG+GEDE （同上）（3）由（1） + （2） + （3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE AB+ACBD+DE+EC 。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直 接证不出来时，可连接两点或延长某边， 构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的 位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图2-1 :已知D为厶ABC内的任一点，求证：/ BDC Z BAC。分析:因为Z BDC与Z BAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使Z BDC处于在外角的位置，Z BAC处于在内角的位置；证法一：延长BD交AC于点E,这时Z BDC是厶EDC的外角， Z BDC Z DEC，同理Z DEC Z BACBDC Z BAC证法二：连接 AD，并廷长交 BC于F,这时/ BDF是厶ABD的外角，/ BDF / BAD，同理，/ CDF / CAD ,二/ BDF+/ CDF / BAD+ / CAD，即：/ BDC / BAC。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上,小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如:BD图3-1例如：如图3-1 :已知AD为厶ABC的中线，且/ 1= Z 2, Z3= Z 4,求证：BE+CFEF。分析：要证BE+CFEF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE, CF , EF移到同一个三角形中，而由已知/1= / 2,/ 3= / 4,可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把 EN , FN , EF移到同个三角形中。证明：在DN上截取 DN=DB ,连接NE, NF ,贝U DN=DC , 在厶DBE和厶NDE中：DN=DB （辅助线作法）/ 1= / 2 （已知）、ED=ED （公共边） DBEBA NDE （ SAS BE=NE （全等三角形对应边相等）同理可得：CF=NF在厶EFN中EN+FNEF （三角形两边之和大于第三边） BE+CFEF。注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形, 然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。四、截长补短法作辅助线。例如：已知如图 6-1 :在 ABC中，ABAC，/ 1= / 2 , P为AD上任一点求证：AB-AOPB-PC。分析：要证：AB-AOPB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得 AB-AC=BN，再连接 PN，贝U PC=PN，又在 PNB 中，PB-PNBN，即: AB-AOPB-PC。证明：（截长法）在AB上截取 AN=AC 连接PN,在厶APN和厶APC中AN=AC （辅助线作法）1= / 2 （已知）AP=AP （公共边） APN APC （ SAS，二PC=PN （全等三角形对应边相等）在 BPN中，有PB-PNBN （三角形两边之差小于第三边） BP-PCPM-PC（三角形两边之差小于第三边 ） AB-AOPB-PC。C例 1.如图，AC 平分/ BAD , CE丄AB,且/ B+ / D=180例2如图，在四边形 ABCD中，AC平分/ BAD , CE丄AB于E, AD+AB=2AE求证：/ ADC+ / B=180 on例3已知：如图，等腰三角形 ABC中，AB=AC , - A=108 , BD平分 ABC。求证：BC=AB+DC。第37页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线第#页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线例4如图，已知 Rt ABC中，/ ACB=90 , AD是/ CAB的平分线，DM丄AB于M ,1且AM=MB。求证：CD= 2 DB。第#页寒假辅导讲义（三）：平面几何之辅助线第#页寒假辅导讲义（三）：平面几何