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中档题保分练(四)1. (2018 唐山模拟)已知 a= (2sin x, sin 3x+ cos 3，b= (cos 3x, /3(sin wx cos 3), 0v wV 1,函数f(x) = a b,直线x=5已是函数f(x)图象的一条对称轴.(1) 求函数f(x)的解析式及单调递增区间；解析：(1) f(x) = a b = sin 2wx 3cos 2w 2sin 2(2) 在厶ABC 中，已知 f(A) = 0, c= 3, a= , 13,求 b.3x 3 .x=函数f(x)图象的一条对称轴,時,5 n n n OX 3 3= kn+ 2, k. 3=3k 15 + 2,k.3q0,1),k= 0, 3= 2,f(x) = 2sinn3.令 2kn qWx 32kn+ q,/口冗5 nk, 得 2kn 6x 0,.b= 4.+ 32 13 2bX 3X 2 = 0,2. （2018哈师大附中模拟）哈师大附中高三学年统计甲、乙两个班级一模数学分 数（满分150分），每个班级20名同学，现有甲、乙两班本次考试数学分数如下 列茎叶图所示：叩乙2 11 11355121 3015579呂 7321 25 6 8 8 8112 11 12387G 131 01 39曲19（1）根据茎叶图求甲、乙两班同学数学分数的中位数，并将乙班同学的分数的频 率分布直方图填充完整；频率 组距（2）根据茎叶图比较在一模考试中，甲、乙两班同学数学分数的平均水平和分数的分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（3）若规定分数在100,120）的成绩为良好，分数在120,150）的成绩为优秀，现从甲、 乙两班成绩为优秀的同学中，按照各班成绩为优秀的同学人数占两班总的优秀人 数的比例分层抽样，共选出12位同学参加数学提优培训，求这12位同学中恰含 甲、乙两班所有140分以上的同学的概率.解析：（1）甲班数学分数的中位数:122+ 114=118,128+ 128乙班数学分数的中位数:(2)乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平;甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度(3)由频率分布直方图可知：甲、乙两班数学成绩为优秀的人数分别为10、14,若从中分层抽样选出12人，则应从甲、乙两班各选出5人、7人,设“选出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学”为事件A,8X 7X 63X 2X 111X 10X 9X 8一4X 3X2X 1则 P(A)= X - =XC10 C1410X 9X 8X 7X 6 14X 13X 12X 11X 10X 9X 85X4X 3X2X17X6X 5X4X 3X 2X 12 559X 52 234.所以选出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学的概率为5234.3. 如图，矩形 ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，/ BCF = 90 BE/ CF, CE丄 EF, AD= 3, EF = 2.(1)求异面直线AD与EF所成的角；当AB的长为何值时，二面角 A-EF-C的大小为45解析：如图，以点C为坐标原点，分别以CB, CF和CD作为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系 C-xyz设AB = a, BE=b， CF= c(b 0,t1 +12= (2sina2cos c) = 2 2sin a 4 , t1 t2=1 0.t + (2si n a 2cos t + 1 = 0.t1 t2= 1 0,1 , t2 同号，二血|+ |t2|= |t1 + t2|.1111MI+ 悝| |tl|+ |t2|由t的几何意乂可得：两+ |AQ厂面+氐厂 丽p二下It1+划|( n厂= 2逞 sin 4 ;.2,2曲，二两+ |AQ| 2,2 2-(选修4 5:不等式选讲)已知函数f(x)= |2x+ b|+ |2x-b|.(1) 若b= 1,解不等式f(x)4,(2) 若不等式f(a) |b+ 1|对任意的实数a恒成立，求b的取值范围.解析：(1) b= 1 时，f(x)= |2x+ 1|+ |2x 1|4,1 1 11x 2x 1 或2? xv 1 或 4 4x 42 4所以解集为(X, 1)U(1,+x).(2)f(a) = |2a+ b|+ |2a b|= |2a+ b|+ |b 2a| |(2a+ b) + (b 2a)匸 |2b|.当且仅当(2a + b) (b 2a)0 时(f(a)min= |2b|,所以 |2b|b+ 1|,所以(2b)2(b+ 1)2，所以(3b + 1)(b 1) 0.所以b的取值范围为i x, 3 L(1, + x).
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