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【名师面对面】2014届数学一轮知识点讲座：考点33 椭圆加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标椭圆的定义、标准方程、几何性质；椭圆的几何性质及其应用，椭圆方程的求法。二.知识梳理1.椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2椭圆的标准方程：， （）3椭圆的性质：由椭圆方程() (1)范围: ,，椭圆落在组成的矩形中(2)对称性:图象关于轴对称图象关于轴对称图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心轴、轴叫椭圆的对称轴从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点： ，加两焦点共有六个特殊点叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴长分别为 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长，椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点 (4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比椭圆形状与的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例 4（*）.椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆,其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式5（*）椭圆的准线方程对于，左准线；右准线对于，下准线；上准线焦点到准线的距离（焦参数）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称6（*）椭圆的焦半径公式：（左焦半径）,（右焦半径）,其中是离心率,焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式： （ 其中分别是椭圆的下上焦点）焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关,可以记为：左加右减，上减下加7（*）.椭圆的参数方程三.考点逐个突破1.椭圆的标准方程例1.（1）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆方程为()A.1 B.1 C.1 D.1答案D解析2a12，a6，e，c2，b2a2c232，故选D.（2）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2y22x150的半径，则椭圆的标准方程是()A.1 B.1 C.y21 D.1答案A解析由x2y22x150得，(x1)2y216，r4，2a4，a2，e，c1，b2a2c23.故选A.2.椭圆的定义例2. （1）已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线答案B解析点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|PN|，又AM是圆的半径，|PM|PN|PM|PA|AM|6|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆（2）已知F1、F2分别为椭圆C：1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则PF1F2的重心G的轨迹方程为()A.1(y0) B.y21(y0)C.3y21(y0) Dx21(y0)答案C解析椭圆C：1中，a24，b23，c2a2b21，焦点F1(1,0)，F2(1,0)，设G(x，y)，P(x1，y1)，则，P在椭圆C上，1，3y21.当y0时，点G在x轴上，三点P、F1、F2构不成三角形，y0，点G的轨迹方程为3y21.(y0)3.椭圆的离心率例3.(1)个正数a、b的等差中项是，等比中项是 ，且ab，则椭圆1的离心率e等于A. B. C. D.答案C解析由题意可知又因为ab，所以解得所以椭圆的半焦距为c，所以椭圆的离心率e，故选C.(2)已知P是以F1，F2为焦点的椭圆1(ab0)上的一点，若0，tanPF1F2，则此椭圆的离心率为_答案解析0，PF1PF2，在RtPF1F2中，tanPF1F2，设|PF2|x，则|PF1|2x，由椭圆的定义|PF1|PF2|2a，x，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，x24x24c2，a24c2，e.(3) 已知1(m0，n0)，则当mn取得最小值时，椭圆1的离心率是_答案解析m0，n012，mn8，当且仅当，即n2m时等号成立，由解得m2，n4.即当m2，n4时，mn取得最小值8，离心率e.4.椭圆中的最值问题例4.直线l：xy0与椭圆y21相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则ABC面积的最大值为_答案解析设与l平行的直线方程为xya0，当此直线与椭圆的切点为C时，ABC的面积最大，将yxa代入y21中整理得，3x24ax2(a21)0，由16a224(a21)0得，a，两平行直线xy0与xy0的距离d，将yx代入y21中得，x1，x2，|AB|()|，SABC|AB|d.5.椭圆与其他知识的综合例5.（1）已知实数k使函数ycoskx的周期不小于2，则方程1表示椭圆的概率为_答案解析由条件2，k，当0b0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2)(1)求椭圆G的方程；(2)求PAB的面积解析(1)由已知得，c2，解得a2，又b2a2c24，所以椭圆G的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm，由得4x26mx3m2120.设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1b0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切(1)求椭圆C的方程；(2)设过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足t(O为坐标原点)，当|0，k2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，x1x2，x1x2.t，(x1x2，y1y2)t(x，y)，x，yk(x1x2)4k.点P在椭圆上，22，16k2t2(12t2)|，|x1x2|，(1k2)(x1x2)24x1x2，即(1k2)40，解得：k2，k2.又16k2t2(12k2)，t28，t24，2t或tb0)，它与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点，点D(0,4)，若3，|2.(1)求椭圆G的方程； (2)过点D的直线l交椭圆G于M，N两点，若NMO90，求|MN|的长解析(1)A(a,0)、B(a,0)、D(0,4)、C(0，b)，3，|2，a24，b21，椭圆G的方程为y21.(2)设M(x1，y1)，则有x1，y1，直线l的斜率k则直线l的方程为yx4，由21x232x600，x1x2，x1x2.|MN|.
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