相似三角形综合大题305解析

真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。相似三角形综合大题（30）5(扫描二维码可查看试题解析)一解答题（共30小题） 1（2013香坊区二模）在ABC中，H为BC边上一点，连接AH，且BAH=BCA，ABC的角分线分别交AH、AC于D、E两点，过点D作DFBC交于点F（1）如图1，求证：AD=FC；（2）如图2，若BD=BH，且AE=2EF，作BMDH，垂足为M，BM的延长线交AC于点G，请探究线段DF与CG之间的数量关系，并证明你的结论 2（2013吉安模拟）如图，正方形ABCD中，AB=4，点P是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连接PB，作BPE=45 （1）求证：当PC=AB时，PA=EC； （2）当点P是AC上任意点时，设PA=x，BE=y，求y与x的函数关系式； （3）是否存在D，P，E三点在同一直线的情况？如果存在，求此时BP+PE的值；如果不存在，说明理由 3（2013梅列区模拟）已知：DBC=ACB，BC=2AC，BD=BC，CD、AB交于点E（1）如图，当ACB=90时，求出线段DE、CE之间的数量关系；（2）如图，当ACB=120时，求证：DE=3CE；（3）如图，在（2）的条件下，F是BC边的中点，连接DF交AB于点G，若CE=2，求DF的长 4（2013武汉模拟）已知等边ABC边AB上一动点P，连PC，在PC上方作等边PDC，连AD（1）如图1，求证：ADBC；（2）如图2，若AP=2BP，过P点作PFCD，交AC于E，交CD于F，AC与PD相交于N点，求证：PN=2DN；（3）在（2）中，若CD=3，求PE的长 5（2013朝阳区一模）在RtABC中，A=90，D、E分别为AB、AC上的点（1）如图1，CE=AB，BD=AE，过点C作CFEB，且CF=EB，连接DF交EB于点G，连接BF，请你直接写出的值；（2）如图2，CE=kAB，BD=kAE，求k的值 6（2013浦东新区一模）如图，已知在ABC中，A=90，经过这个三角形重心的直线DEBC，分别交边AB、AC于点D和点E，P是线段DE上的一个动点，过点P分别做PMBC，PFAB，PGAC，垂足分别为点M、F、G设BM=x，四边形AFPG的面积为y（1）求PM的长；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）连接MF、MG，当PMF与PMG相似时，求BM的长 7（2013香坊区三模）在四边形ABCD中，点E是CD上一点，BC2=CECD，连接BD（1）如图1，若BD=DE，求证：2CBDBDC=180；（2）如图2，在（1）的条件下，过点A作BC的平行线交BD于点N，交CD于点G，将射线BC沿BE翻折交CD于点F，连接AF交BD于点H，若DAN=ABD，AD=BE，请探究线段AH与BH之间的数量关系，并证明你的结论 8（2013道里区三模）如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，点D在CA延长线上，DECE，CE=CB，DF平分EDC交AB于点F，连接DF（1）EFD=90+；（2）设DF的延长线交BC于点G，连接FC，若FG：DF=3：2，请你探究线段CF与线段AF之间的数量关系，并证明你的结论 9（2013新洲区模拟）等腰RtABC中，ACB=90，AC=BC，点D是斜边AB上一点，以CD为直角边作等腰RtCDE，其中DCE=90，CD=CE，直线BC、DE交于点F（1）如图1，若CD=DF，求证：AD=（1）BD；（2）如图2，若BD=2AD，判断DF与EF之间的数量关系，并证明；（3）如图3，当点D在BA的延长线上时，若AB=kAD，则DF=EF（用含k的式子表示） 10（2013镇赉县校级一模）已知点C、A、D在同一条直线上，ABC=ADE=，线段BD、CE交于点M（1）如图1，若AB=AC，AD=AE问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；求BMC的大小（用表示）；（2）如图2，若AB=BC=kAC，AD=ED=kAE，则线段BD与CE又有怎样的数量关系？并说明理由；BMC=（用表示） 11（2013春盐都区期末）如图，将直角梯形OABC放在平面直角坐标系中，已知OA=5，OC=4，BCOA，BC=3，点E在OA上，且OE=1，连接OB、BE（1）求证：OBC=ABE；（2）如图，过点B作BDx轴于D，点P在直线BD上运动，连接PC、PE、PA和CE当PCE的周长最短时，求点P的坐标；如果点P在x轴上方，且满足SCEP：SABP=2：1，求DP的长 12（2013春成都期末）如图1，直角三角形ABC中，ABC=90，E是边BC上一点，EMAE，EM交边AC于点M，BGAC，垂足为G，BG交AE于点H（1）求证：ABHECM；（2）如图2，其它条件不变的情况下，作CF垂直BC于点C，并与EM延长线交于点F，若E是BC中点，BC=2AB，试判四边形ABCF的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB=2，求AH的长 13（2012秋西岗区期末）已知梯形ABCD中，ADBC，ABBC，（1）如图1，P为AB边上的一动点，连接PD并延长到点E，使得DE=PD，以PE，PC为边作平行四边形PEFC平行四边形PEFC能否为矩形？若能，求出此时AP的长；若不能，说明理由线段FP能否垂直于AB？若能，求出此时AP的长；若不能，说明理由（2）如图2，若P为CD边上一动点，连接PA并延长到点E，使得AE=nPA，以PE、PB为边作平行四边形PEFB，线段PF能否垂直于CD？若能，求出此时PD的长（用含n的代数式表示）；若不能，说明理由 14（2013秋青羊区校级期中）等边ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边APD和等边APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）（1）求证：AM=AN；（2）设BP=x若BM=，求x的值；记四边形ADPE与ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；如图2，当x取何值时，BAD=15？ 15（2013秋兰溪市校级期中）将一块足够大的三角形板，其直角顶点放在点A（3，2），两直角边分别交x轴、y轴于点B，C设B（t，0）（1）如图1，当t=3时，求线段BC的长；（2）如图2，点B，C分别在x轴，y轴的正半轴上，设BOC的面积为S，试求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值；（3）取BC的中点D，过点D作y轴的垂线与直线AC交于点E，CDE能否成为等腰三角形？若能，请求出点B的坐标；若不能，请说明理由 16（2013春惠山区期中）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，BAC=AGF=90，它们的斜边长为，若ABC固定不动，AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n（1）请在图1中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对证明它们相似；（2）根据图1，求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；（3）以ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）旋转AFG，使得BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2；（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由 17（2013春亭湖区校级期中）（1）如图1，把两块全等的含45的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点E与三角板ABC的斜边中点重合可知：BPECEQ （不需说理）（2）如图2，在（1）的条件下，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点E旋转，让三角板两边分别与线段BA的延长线、边AC的相交于点P、Q，连接PQ若BC=4，设BP=x，CQ=y，则y与x的函数关系式为；写出图中能用字母表示的相似三角形；试判断BPE与EPQ的大小关系？并说明理由（3）如图3，在（2）的条件下，将三角板ABC改为等腰三角形，且AB=AC，三角板DEF改为一般三角形，其它条件不变，要使（2）中的结论成立，猜想BAC与DEF关系为（将结论直接填在横线上）（4）如图3，在（1）的条件下，将三角板ABC改为等腰三角形，且BAC=120，AB=AC，三角板DEF改为DEF=30直角三角形，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点E旋转，让三角板两边分别与线段BA的延长线、边AC的相交于点P、Q，连接PQ若SPEQ=2，PQ=2，求点C到AB的距离 18（2013秋沈丘县校级期中）有两个全等的等腰直角ABC、DEF，BAC=EDF=90，AB=AC=DE=DF=2将DEF的顶点E放在BC上移动（E与B、C不重合），在E点移动过程中，始终保持DE经过点A，EF交BC于点G当E为BC的中点时，如图，易证ABEECG（1）当E不是BC的中点时，如图，ABEECG还成立吗？请说明理由（2）在图中，如果BE=1，求CG的长；（3）在E点移动过程中，CG的长也在变化，请直接写出CG的最大值 19（2012三明）在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），BPE=ACB，PE交BO于点E，过点B作BFPE，垂足为F，交AC于点G（1）当点P与点C重合时（如图1）求证：BOGPOE；（2）通过观察、测量、猜想：=，并结合图2证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若ACB=，求的值（用含的式子表示） 20（2012营口）如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F（1）如图1，求证：AE=DF；（2）如图2，若AB=2，过点M作 MGEF交线段BC于点G，判断GEF的形状，并说明理由；（3）如图3，若AB=，过点M作 MGEF交线段BC的延长线于点G直接写出线段AE长度的取值范围；判断GEF的形状，并说明理由 21（2012镇江）等边ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边APD和等边APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）（1）求证：AM=AN；（2）设BP=x若BM=，求x的值；求四边形ADPE与ABC重叠部分的面积S与x之间的函数关系式以及S的最小值；连接DE分别与边AB、AC交于点G、H（如图2）当x为何值时，BAD=15？此时，以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由 22（2012莆田）（1）如图，在RtABC中，ABC=90，BDAC于点D求证：AB2=ADAC；（2）如图，在RtABC中，ABC=90，点D为BC边上的点，BEAD于点E，延长BE交AC于点F，求的值；（3）在RtABC中，ABC=90，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），直线BEAD于点E，交直线AC于点F若，请探究并直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示），不必证明 23（2012哈尔滨）已知：在ABC中，ACB=90，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MNAC于点N，PQAB于点Q，AQ=MN（1）如图1，求证：PC=AN；（2）如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，DKE=ABC，EFPM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求DQ的长 24（2012邵阳）如图所示，直线y=与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B，将AOB沿着y轴折叠，使点A落在x轴上，点A的对应点为点C（1）求点C的坐标；（2）设点P为线段CA上的一个动点，点P与点A、C不重合，连接PB，以点P为端点作射线PM交AB于点M，使BPM=BAC求证：PBCMPA；是否存在点P使PBM为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 25（2012枣阳市模拟）如图（1），长方形纸片ABCD的边长AB=2AD，将它沿EF折叠（点E，F分别在边AB，CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP，设，其中0n1（1）当n=，即M为AD的中点时，如图（2），求证：EP=AE+DP；（2）随着n的变化，的值是否发生变化？说明理由 26（2012新区二模）在图形的全等变换中，有旋转变换，翻折（轴对称）变换和平移变换一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动（1）第一小组的同学发现，在如图11的矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，RtADC可以由RtABC经过一种变换得到，请你写出这种变换的过程（2）第二小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕EF（如图21）；再沿GC折叠，使点B落在EF上的点B处（如图22），这样能得到BGC的大小，你知道BGC的大小是多少吗？请写出求解过程（3）第三小组的同学，在一个矩形纸片上按照图31的方式剪下ABC，其中BA=BC，将ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换，每次均移动AC的长度，得到了CDE、EFG和GHI，如图32已知AH=AI，AC长为a，现以AD、AF和AH为三边构成一个新三角形，已知这个新三角形面积小于15，请你帮助该小组求出a可能的最大整数值（4）探究活动结束后，老师给大家留下了一道探究题：如图41，已知AA=BB=CC=2，AOB=BOC=COA=60，请利用图形变换探究SAOB+SBOC+SCOA与的大小关系 27（2012宝安区二模）如图1，已知矩形ABCD中，O是矩形ABCD的中心，过点O作OEAB于E，作OFBC于F，得矩形BEOF（1）线段AE与CF的数量关系是，直线AE与CF的位置关系是；（2）固定矩形ABCD，将矩形BEOF绕点B顺时针旋转到如图2的位置，连接AE、CF那么（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；（3）若AB=8，当矩形BEOF旋转至点O在CF上时（如图3），设OE与BC交于点P，求PC的长 28（2012金牛区二模）在矩形纸片ABCD中，AD=12cm，现将这张纸片按下列图示方式折叠，AE是折痕（1）如图1，P，Q分别为AD，BC的中点，点D的对应点F在PQ上，求PF和AE的长；（2）如图2，DP=AD，CQ=BC，点D的对应点F在PQ上，求AE的长；如图3，DP=AD，CQ=BC，点D的对应点F在PQ上直接写出AE的长（用含n的代数式表示） 29（2012简阳市模拟）如图，在ABC中，点E、D是AB、AC上两点，满足EDBC，ED=2，BC=4，点M时ED的中点，MBC是等边三角形（1）求证：ABC是等腰三角形（2）动点P、Q分别在线段BC、MC上运动，且MPQ=60保持不变设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式当y取最小值时，判断PQC的形状，并说明理由 30（2012石家庄二模）如图，在RtABC中，ACB=90，CP平分ACB，CP与AB交于点D，且 PA=PB（1）请你过点P分别向AC、BC作垂线，垂足分别为点E、F，并判断四边形PECF的形状；（2）求证：PAB为等腰直角三角形；（3）设PA=m，PC=n，试用m、n的代数式表示ABC的周长；（4）试探索当边AC、BC的长度变化时，的值是否发生变化，若不变，请直接写出这个不变的值，若变化，试说明理由相似三角形综合大题（30）5参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2013香坊区二模）在ABC中，H为BC边上一点，连接AH，且BAH=BCA，ABC的角分线分别交AH、AC于D、E两点，过点D作DFBC交于点F（1）如图1，求证：AD=FC；（2）如图2，若BD=BH，且AE=2EF，作BMDH，垂足为M，BM的延长线交AC于点G，请探究线段DF与CG之间的数量关系，并证明你的结论考点：相似形综合题菁优网版权所有分析：（1）过D作DPAC交BC于点P，DPAC，DFBC根据平行四边形性质得出FC=DP，C=DPH，求出DPH=ABD，证ABDPBD，推出AD=DP即可；（2）求出AD=AE，证FDEFAD，推出DF2=EFAF，设AE=2a，EF=a，求出DF=a，DE=a，根据DFBC得出，求出BC=3a，BD=a，延长DF交BG延长线于点Q，求出BD=DQ=a，QF=a，证FGQCGB求出GC=a，即可得出答案解答：证明：（1）过D作DPAC交BC于点P，DPAC，DFBC，四边形FDPC是平行四边形，FC=DP，C=DPH，BAH=C，DPH=ABD，在ABD与PBD中ABDPBD（AAS），AD=DP，DP=FC（2）DF=GC，证明：BD=BH，BDH=BHD，BDH=ABD+BAD，BEA=EBC+BCA，ABD=EBC，BAD=BCA，AED=BDH=BHD=ADE，ABD=HAC=DBH，AD=AE，DFBC，EDF=EBC=DAE，DFE=DFE，FDEFAD，DF2=EFAF，设AE=2a，EF=a，AD=FC=2a，DF2=a（2a+a）=3a2DF=a，=DE=a，DFBC，=，=，BC=3a，BD=a，延长DF交BG延长线于点Q，Q=QBC=QBD，BD=DQ=a，QF=DQDF=aa=a，BGC=FGQ，FGQCGB，=，GC=a，=DF=GC点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形外角性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，本题综合性比较强，难度偏大2（2013吉安模拟）如图，正方形ABCD中，AB=4，点P是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连接PB，作BPE=45 （1）求证：当PC=AB时，PA=EC； （2）当点P是AC上任意点时，设PA=x，BE=y，求y与x的函数关系式； （3）是否存在D，P，E三点在同一直线的情况？如果存在，求此时BP+PE的值；如果不存在，说明理由考点：相似形综合题菁优网版权所有分析：（1）通过证明ABPCPE（AAS）可以证得PA=EC；（2）首先根据勾股定理求得AC=4；然后通过“两角法”证得ABPCPE，则该相似三角形的对应边成比例：=，把相关线段的长度代入比例式并整理得到y=x2x+4（0x4）；（3）存在D，P，E三点在同一直线的情况如图2，易证ABPADP（SAS），则对应边、对应角相等：BP=DP，3=4由1=7=45、三角形内角和定理及平角的定义求得5=3，所以AB=AP=4再利用（2）中的关系式得到：BE=y=84，EC=4BE=44，由BP=DP得到：BP+PE=4解答：（1）证明：如图1，在正方形ABCD中，1=45，6=454=1=45，1+2+3=3+4+5=180，2=5，在ABP与CPE中，ABPCPE（ASA），PA=EC；（2）如图1，当点P是AC上任意一点时AB=BC=4，AC=4，PC=4x，EC=4y，由（1）知，1=6，2=5，ABPCPE，=，即=，则y=x2x+4，即y与x的函数关系式是：y=x2x+4（0x4）；（3）存在D，P，E三点在同一直线的情况如图2，在ABP与ADP中，ABPADP（SAS），BP=DP，3=41=7=45，1+3+5=4+3+7=180，5=4，5=3，AB=AP=4由（2）知，BE=y=x2x+4=164+4=84，EC=4BE=44，由BP=DP得到：BP+PE=DE=4点评：本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点难度较大，解题时，注意找准全等三角形的对应边和对应角3（2013梅列区模拟）已知：DBC=ACB，BC=2AC，BD=BC，CD、AB交于点E（1）如图，当ACB=90时，求出线段DE、CE之间的数量关系；（2）如图，当ACB=120时，求证：DE=3CE；（3）如图，在（2）的条件下，F是BC边的中点，连接DF交AB于点G，若CE=2，求DF的长考点：相似形综合题菁优网版权所有专题：综合题分析：（1）由DBC=ACB=90，利用同旁内角互补得到DB与AC平行，由平行得到两对内错角相等，进而确定出三角形DBE与三角形ACE相似，由相似得比例，根据BC=BD=2AC，求出相似比，求出DE与EC之比，即可确定出DE与CE的数量关系；（2）过B作BMDC，交DC于点M，由三角形DBC为顶角为120的等腰三角形，得到DM=DC，D=DCB=30，在直角三角形BDM中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到DB=2BM，即BC=2BM，由BC=2AC，得到BM=AC，再由一对直角相等，一对对顶角相等，利用AAS得到三角形BME与三角形ACE全等，利用全等三角形的对应边相等得到ME=CE=MC=DC，即可得证；（3）延长CB，过D作DNCN，过M作BMDC，交DC于点M，由（2）的结论求出DE的长，进而求出DC的长，在直角三角形DCN中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出DN的长，在直角三角形BDN中，利用外角性质求出DBN=60，求出BDN=30，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到BC=BD=2BN，由F为BC中点，得到BF=FC=BC，确定出NB=BF=FC，即NF=BC，在直角三角形BMC中，利用勾股定理及方程思想求出BC的长，即为NF的长，在直角三角形DFN中，利用勾股定理即可求出DF的长解答：解：（1）DBC=ACB=90，DBAC，BDEACE，=，BC=BD=2AC，=2，即DE=2CE；（2）过B作BMDC，交DC于点M，ACB=DBC=120，BC=BD，D=DCB=30，DM=CM=DC，ACE=12030=90，BME=ACE=90，在RtBDM中，D=30，BM=DB=BC，BC=2AC，即AC=BC，BM=AC，在BME和ACE中，BMEACE（AAS），ME=CE=CM=DC，即DC=4CE，DC=DE+EC=4EC，DE=3EC；（3）延长CB，过D作DNCN，过M作BMDC，交DC于点M，由（2）得：DE=3EC=6，即DC=DE+EC=6+2=8，即CM=4，在RtDCN中，DCN=30，DN=DC=4，DBN=BDC+BCD=60，BDN=30，在RtBDN中，NB=DB=BC，F为BC中点，BF=BC，BN=BF=FC，NF=NB+BF=CF+FB=BC，在RtBCM中，设BM=x，则BC=2x，根据勾股定理得：x2+42=（2x）2，解得：x=，NF=BC=，在RtDNF中，根据勾股定理得：DF=点评：此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键4（2013武汉模拟）已知等边ABC边AB上一动点P，连PC，在PC上方作等边PDC，连AD（1）如图1，求证：ADBC；（2）如图2，若AP=2BP，过P点作PFCD，交AC于E，交CD于F，AC与PD相交于N点，求证：PN=2DN；（3）在（2）中，若CD=3，求PE的长考点：相似形综合题菁优网版权所有专题：综合题分析：（1）证明BCPACD，得出CAD=B=60，利用内错角相等，两直线平行可得出结论；（2）延长DP交CB的延长线于点G，分别根据ADPBGP、ADNCGN，得出各线段之间的关系，然后可得出结论；（3）取DN中点H，连接FH，则可判断HF是DNC的中位线，得出HFCN，利用相似三角形的性质，可得出PE与PF之间的比例关系，在RtPCF中求出PF，即可得出PE解答：解：（1）BCP+PCA=ACD+PCA=60，BCP=ACD，ABC、PDC是等边三角形，BC=AC，CP=CD，在BCP和ACD中，BCPACD（SAS），CAD=B=60，CAD=ACB，ADBC（2）延长DP交CB的延长线于点G，设PB=2，则AP=4，由（1）知：AD=PB=2，ADBC，ADPBGP，=2，AD=2BG，又ADNCGN，=，设DN=2m，则NG=7m，PD=2PG，PD=6m，PG=3m，PN=NGPG=4m，PN=2DN（3）取DN中点H，连接FH，H是ND中点，F是CD中点，HF是DNC的中位线，HFCN，=，又PN=2ND，ND=2NH，=，PE=PF，在RtPCF中，PF=，PE=点评：本题考查了相似形的综合，涉及了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及平行线的性质，综合性较强，解答本题需要同学们有扎实的基本功，熟练数形结合思想的运用5（2013朝阳区一模）在RtABC中，A=90，D、E分别为AB、AC上的点（1）如图1，CE=AB，BD=AE，过点C作CFEB，且CF=EB，连接DF交EB于点G，连接BF，请你直接写出的值；（2）如图2，CE=kAB，BD=kAE，求k的值考点：相似形综合题菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形BFCE是平行四边形，根据平行四边形的对边平行可得BFCE，对边相等可得BF=CE，从而得到AB=BF，再根据两直线平行，同旁内角互补求出DBF=90，然后利用“边角边”证明ABE和BFD全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=BE，全等三角形对应角相等可得ABE=BFD，再求出CFD=90，从而判断出CDF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得DC=CF，然后相比即可得解；（2）过点C作CFBE且是CF=BE，判断出四边形BFCE是平行四边形，根据平行四边形的对边互相平行可得BFCE，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出DBF=90，再根据两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似求出ABE和BFD相似，根据相似三角形对应边成比例可得=k，相似三角形对应角相等可得ABE=BFD，然后求出DCF=90，利用勾股定理列式用CF表示出DC，然后列出方程求解即可解答：解：（1）CFEB，且CF=EB，四边形BFCE是平行四边形，BFCE，BF=CE，DBF=180A=18090=90，A=90，A=DBF，CE=AB，AB=BF，在ABE和BFD中，ABEBFD（SAS），DF=BE，ABE=BFD，CFBE，EBF+BFC=180，CFD=180BFDEBF=180ABEEBF=180ABF=18090=90，CDF是等腰直角三角形，DC=CF，CF=EB，=；（2）如图，过点C作CFBE且是CF=BE，则四边形BFCE是平行四边形，BFCE，BF=CE，DBF=180A=18090=90，A=90，A=DBF，CE=kAB，BD=kAE，=k，ABEBFD，=k，ABE=BFD，CF=BE，=k，DF=kCF，CFBE，EBF+BFC=180，CFD=180BFDEBF=180ABEEBF=180ABF=18090=90，由勾股定理得，DC=CF，=，=，EB=CF，=，两边平方并整理得，k2=3，解得k=，k=（舍去）点评：本题是相似形综合题，主要利用了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，（1）求出CDF是等腰直角三角形是解题的关键，难点在于（2）利用（1）的思路作辅助线构造出相似三角形以及直角三角形6（2013浦东新区一模）如图，已知在ABC中，A=90，经过这个三角形重心的直线DEBC，分别交边AB、AC于点D和点E，P是线段DE上的一个动点，过点P分别做PMBC，PFAB，PGAC，垂足分别为点M、F、G设BM=x，四边形AFPG的面积为y（1）求PM的长；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）连接MF、MG，当PMF与PMG相似时，求BM的长考点：相似形综合题菁优网版权所有专题：综合题分析：（1）过点A作ANBC于点N，交DE于点H，则点H为ABC的重心，由重心的性质即可求出HE的长度，也即得出PM的长度；（2）过点D作DIBC于I，表示出DP、PE，继而表示出FP、PG，从而得出y关于x的函数解析式，也可得出x的取值范围；（3）因为两三角形有公共边，分两种情况讨论，PMFPMG，PMFPGM，分别求出x的值即可解答：解：（1）过点A作ANBC于点N，交DE于点H，则点H为ABC的重心，由题意得ABC是等腰直角三角形，故AN=BC=3，由重心的性质可得：=2，=，故HN=AN=1，DE=4，即可得PM的长为1（2）过点D作DIBC于I，过点E作EKBC于点K，则BI=DI=PM=1，设BM=x，则IM=DP=x1，PE=4DP=5x，易得FDP、GPE均为等腰直角三角形，PF=，PG=，则y=PFPG=（x1）（5x）=，由图形可得点M处于IK之间，故可得：1x5综上可得y=，（1x5）（3）当PMFPMG时，此时点P与点H重合，BM=BN=3；当PMFPGM时，=，即=，整理得：=，解得x=3综上可得当PMF与PMG相似时，求BM的长为3，3点评：本题考查了相似形综合题，涉及了等腰直角三角形的性质、矩形的面积及三角形重心的性质，注意结合图形进行解答，观察图形得出点M运动的范围，难度较大7（2013香坊区三模）在四边形ABCD中，点E是CD上一点，BC2=CECD，连接BD（1）如图1，若BD=DE，求证：2CBDBDC=180；（2）如图2，在（1）的条件下，过点A作BC的平行线交BD于点N，交CD于点G，将射线BC沿BE翻折交CD于点F，连接AF交BD于点H，若DAN=ABD，AD=BE，请探究线段AH与BH之间的数量关系，并证明你的结论考点：相似形综合题菁优网版权所有分析：（1）BC2=CECD利用两边对应成比例且夹角相等证得BCEDCB，得到1=2，从而得到DBE=3=902，利用2CBDBDC=2（1+DBE）2=2（1+902）2=21+18022即可得到结论；（2）结论仍然成立；AH=BH，首先根据（1）中的结论得到BE=BF，然后证得DNGDFB得到DNDB=DFDG，从而证得ANDBAD，进一步得到ADGFDA，最后得到AHDHBF，利用相似三角形对应边成比例得到=，从而证得结论：解答：证明：（1）BC2=CECD即=，又C=CBCEDCB1=2BD=DEDBE=3在BED中DBE+2+3=180，3+2+3=180DBE=3=9022CBDBDC=2（1+DBE）2=2（1+902）2=21+18022=21+18021=180，即2CBDBDC=180；（2）AH=BH理由为：1=EBF，1=21=2=EBF，由（1）的结论：2CBDBDC=180得：2（1+EBF+4）2=180，2（2+2+4）2=180，2（2+BFE）2=180，BFE=902，由（1）知：3=902，3=BFEBE=BF（1分）4=BFE2，C=31，3=BFE，1=2，4=C，NGBC，DGN=C，DGN=4又2=2，DNGDFB=DNDB=DFDG，5=ABD，ANDBAD，=，AD2=DNBDAD2=DFDG即=，又ADG=FDA，ADGFDADGA=DAF，AGD=4DAF=4，又AHD=BHF，AHDHBF，=，点评：本题考查了相似三角形的综合知识，题目中多次用到相似三角形的判定，解题时要细心，难度偏大8（2013道里区三模）如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，点D在CA延长线上，DECE，CE=CB，DF平分EDC交AB于点F，连接DF（1）EFD=90+；（2）设DF的延长线交BC于点G，连接FC，若FG：DF=3：2，请你探究线段CF与线段AF之间的数量关系，并证明你的结论考点：相似形综合题菁优网版权所有专题：综合题；探究型分析：（1）过点F作FPCD，FQDE，FRCE，点P，Q，R分别为垂足，连接CF，由DF平分EDC，利用角平分线定理得到FP=FQ，根据三个角为直角的四边形为矩形得到ERFQ为矩形，利用矩形的对边相等，等量代换得到RE=FQ=FP，根据三角形ABC为等腰直角三角形得到B=CAB=45，确定出三角形APF为等腰直角三角形，得到PF=AP=FQ=ER，进而确定出CR=CP，再由CF=CF，利用HL得到三角形CFR与三角形CFP全等，进而得到FR=FP，RCF=PCF，等量代换得到FR=FQ，利用角平分线逆定理得到EF为角平分线，得到CEF=DEF=45，利用内角和定理及等量代换即可得证；（2）根据CF与DF为角平分线，求出FCD+FDC的度数，利用外角性质得到GFC=45，过F作FHBC，过G作GKCF，交FH于点N，由FH与CD平行，得到三角形FGH与三角形GCD相似，由相似得比例列出比例式，表示出GH，HC，进而表示出GC，根据题意得到三角形GKF为等腰直角三角形，得到GK=FK，再利用同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用ASA得到三角形GCK与三角形FNK全等，得到NF=CG，表示出NF，由三角形GHN与三角形FHC相似，得比例，表示出HN，利用勾股定理表示出CF，根据FP=CH，表示出FP，由三角形APF为等腰直角三角形，表示出AF，即可确定出AF与CF的数量关系解答：（1）证明：过点F作FPCD，FQDE，FRCE，点P，Q，R分别为垂足，连接CF，DF平分EDC，FP=FQ，CED=ERF=FQE=90，四边形ERFQ为矩形，RE=FQ=FP，ACB=90，AC=BC，B=CAB=45，FPA=90，即APF为等腰直角三角形，FP=PA=FQ=ER，CE=CA，CERE=CAPA，即CR=CP，在RtCRF和RtCPF中，RtCRFRtCPF（HL），FR=FP，RCF=PCF，FR=FQ，FQDE，FRCE，CEF=DEF=CED=45，则EFD=180FEDFDE=180（CED+CDE）=180（180ECD）=90+ECD；（2）解：FCD+FDC=（ECD+EDC）=（180CED）=（18090）=45，GFC=FCD+FDC=45，过F作FHBC，过G作GKCF，交FH于点N，FHCD，GHFGCD，=，设GH=3a，HC=2a，则GC=5a，GKFC，GFC=45，KGF=45，KG=KF，GCK+CGK=GCK+CFH=90，CGK=CFH，在GKC和FKN中，GKCFKN（ASA），NF=CG=5a，GHN=FHC=90，HGN=HFC，GHNFHC，=，即=，解得：HN=a或HN=6a（舍去），CF=2a，矩形FHCP，PF=HC=2a，AF=PF=2a，=，则FC=FA点评：此题属于相似形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线定理及逆定理，勾股定理，熟练掌握判定与性质是解本题的关键9（2013新洲区模拟）等腰RtABC中，ACB=90，AC=BC，点D是斜边AB上一点，以CD为直角边作等腰RtCDE，其中DCE=90，CD=CE，直线BC、DE交于点F（1）如图1，若CD=DF，求证：AD=（1）BD；（2）如图2，若BD=2AD，判断DF与EF之间的数量关系，并证明；（3）如图3，当点D在BA的延长线上时，若AB=kAD，则DF=（k+1）EF（用含k的式子表示）考点：相似形综合题菁优网版权所有分析：（1）先利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可以求得AB=BC，然后再根据CD=DF可得出CFD=DCF，进而可得BDC=DCF，则有BC=BD，于是可得出结论；（2）根据各角之间的关系可证得CEFCAD，BCDDCF，则有，再根据CE=CD，CA=CB，可得，则可得出；（3）首先证明CADCEF，BCAECA，根据相似三角形的对应边的比相等即可证得，从而求解解答：解：（1）等腰RtABC中，ACB=90，AC=BC根据勾股定理可得AB=BC，B=A=45，CD=DF，等腰RtCDE，CFD=DCB，E=CDE=45，CFD=BFD+B=BFD+45，CDB=BFD+CDE=BFD+45，CFD=CDB，DCB=CDB，BD=BC，AD=ABBD=BDBD=（1）BD；（2）DF=2EF证明：ACB=DCE=90，ACBBCD=DCEBCD，ECB=ACD，由（1）知B=A=E=CDE=45，CFD=CDB，CEFCAD，BCDDCF，CE=CD，CA=CB，（3）解：BCA和ECD都是等腰直角三角形，得FCE=ACD，CEF=CAD=135，CADCEF又BCAECA，又AB=kAD，DE=kEF，DF=（k+1）EF点评：本题考查的是等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，（3）中由相似三角形的对应边的比相等，再根据等量代换得到是关键10（2013镇赉县校级一模）已知点C、A、D在同一条直线上，ABC=ADE=，线段BD、CE交于点M（1）如图1，若AB=AC，AD=AE问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；求BMC的大小（用表示）；（2）如图2，若AB=BC=kAC，AD=ED=kAE，则线段BD与CE又有怎样的数量关系？并说明理由；BMC=90（用表示）考点：相似形综合题菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）首先根据已知得出BAD=CAE，进而得出ABDACE，求出即可；利用ABDACE，得出BDA=CEA，则BMC=MCD+CEA=EAD即可得出答案；（2）首先得出BAC=，同理可得出：DAE=，进而得出ABDACE，即可得出线段BD与CE的关系以及BMC的度数解答：解：（1）BD=CE，理由：AD=AE，AED=ADE=，DAE=1802ADE=1802，同理可得出：BAC=1802，DAE=BAC，DAE+BAE=BAC+BAE，即BAD=CAE，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），BD=CE；ABDACE，BDA=CEA，BMC=MCD+MDC，BMC=MCD+CEA=EAD=1802；（2）BD=kCE，理由：AB=BC=kAC，AD=ED=kAE，BAC=BCA，ABC=ADE=，BAC=，同理可得出：DAE=，DAE=BAC，DAE+BAE=BAE+BAE，即BAD=CAE，ABC=kAC，AD=ED=kAE，=k，ABDACE，=k，BD=kCE，BMC=EAD=90故答案为：90点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出BMC=MCD+CEA是解题关键11（2013春盐都区期末）如图，将直角梯形OABC放在平面直角坐标系中，已知OA=5，OC=4，BCOA，BC=3，点E在OA上，且OE=1，连接OB、BE（1）求证：OBC=ABE；（2）如图，过点B作BDx轴于D，点P在直线BD上运动，连接PC、PE、PA和CE当PCE的周长最短时，求点P的坐标；如果点P在x轴上方，且满足SCEP：SABP=2：1，求DP的长考点：相似形综合题菁优网版权所有分析：（1）先由已知条件及勾股定理求出AE=4，AB=2，得到=，又OAB=BAE，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似证明OABBAE，得出AOB=ABE，再由两直线平行，内错角相等得出OBC=AOB，从而证明OBC=ABE；（2）由于CE为定长，所以当PC+PE最短时，PCE的周长最短，而E与A关于BD对称，故连接AC，交BD于P，即当点C、P、A三点共线时，PCE的周长最短由PDOC，得出=，求出PD的值，从而得到点P的坐标；由于点P在x轴上方，BD=4，所以分两种情况：0PD4与PD4设PD=t，先用含t的代数式分别表示SCEP与SABP，再根据SCEP：SABP=2：1，即可求出DP的长解答：解：（1）OC=4，BC=3，OCB=90，OB=5OA=5，OE=1，AE=4，AB=2，=，又OAB=BAE，OABBAE，AOB=ABEBCOA，OBC=AOB，OBC=ABE；（2）BDx轴，ED=AD=2，E与A关于BD对称，当点C、P、A三点共线时，PCE的周长最短PDOC，=，即=，PD=，点P的坐标为（3，）；设PD